华师大版数学八年级19.2.2菱形的判定 教学设计
课题
19.2.2菱形的判定
单元
第十九章
学科
数学
年级
八
学习
目标
知识目标：
1．理解菱形的定义,掌握菱形的判定方法．
2．会用这些判定方法进行有关的论证和计算．
3．尝试从不同角度寻求菱形的判定方法,并能有效地解决问题．
能力目标：
在菱形判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
情感目标：
启发引导学生理解探索结论和证明结论的过程，掌握合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系，培养学生合作交流的能力,以及独立思考的良好习惯．
重点
探索证明菱形的两个判定方法,掌握证明的基本要求和方法．
难点
明确推理证明的条件和结论,能用数学语言正确表达．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
取两根长度不等的细纸条，将两根纸条的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出纸条四个端点的连线，则这四条线段组成一个什么图形，若转动其中一根纸条，使两根纸条之间的夹角等于 90° ，请猜想这时图形的形状是什么图形？
阅读理解情境问题．
通过情境问题引起学生探究的兴趣．
讲授新课
师：菱形的定义是什么？
生：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
归纳：数学语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD．
∴四边形ABCD是菱形．
师：菱形的定义作为我们判定菱形的基本方法，接下来我们从边上来研究菱形的判定方法．
师：“菱形的四条边相等”这一性质的逆命题是什么？
生：四条边相等的四边形是菱形．
师：这个逆命题成立吗？
师：请同学们根据作图步骤回答问题：
作一个四条边都相等的四边形．
步骤：
1．画两条相等的线段AB、CD；
2．分别以点B和点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于点C；
3．连结BC、CD，即得一个四条边都相等的四边形ABCD．
这个四边形是菱形吗？
生：画出图形，写出已知、求证并证明．
师：有三条边相等的四边形是菱形吗？请同学动手画一画，你发现什么结论？
生：动手画图并归纳结论：有三条边相等的四边形不是菱形．
例4 如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是四条边的中点，试问四边形EFGH是什么图形？并说明理由．
生：完成例题的证明．
师：若四边形ABCD的对角线AC⊥BD，则四边形ABCD是不是菱形？请画图说明．
生：对角线互相垂直的四边形不能判定为菱形．
师：对角线垂直的平形四边形是菱形吗？
观察作图过程回答问题：
作一个两条对角线互相垂直的平行四边形．
步骤：
1．人两条互相垂直的直线m，n，记交点为点O；
2．以点O为圆心，适当长为半径画弧，在直线m上截取相等的两条线段OA、OC；
3．以点O为圆心，另一适当长为半径画弧，在直线n上截取相等的两条线段OB、OD；
4．顺次连结所行的四点，即得一个对角线互相垂直且平分的四边形ABCD，显然，它是一个对角线互相垂直的平行四边形．
这个平行四边形是菱形吗？
生：画出图形，写出已知、求证并证明．
师：请同学们运用所学的知识解决本节课前所提出的问题．
生：运用所学的知识解决问题．
例5 如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD 、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
理解并掌握菱形的定义．
探究“四条边相等的四边形是菱形”这一判定定理．
探究“三条边相等的四边形是不菱形”．
完成例4．
探究“对角线互相垂直的平形四边形是菱形”这一判定定理．
小组合作写出定理的证明过程．
完成例5．
掌握菱形的定义，为本节课的探究活动做好铺垫．
通过对“四条边相等的四边形是菱形”的探究掌握这一判定定理．
通过探究活动进一步掌握“四条边相等的四边形是菱形”．
通过例题的完成会应用判定定理进行有关的证明．
通过对“对角线互相垂直的平形四边形是菱形”的探究掌握这一判定定理．
掌握定理的证明，培养学生推理能力．
通过例题的完成培养学生运用知识解决问题的能力．
课堂练习
1、判断题
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）
（2）一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ）
（3）对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）
（4）对角线相等的四边形是菱形（ ）
（5）对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形（ ）
（6）两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形（ ）
2．□ABCD的对角线AC与BD相交于点O， （1）若AB=AD，则□ABCD是 形； （2）若AC=BD，则□ABCD是 形； （3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形； （4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形．
3、下列命题中正确的是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．三条边相等的四边形是菱形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．四个角相等的四边形是菱形
4、对角线互相垂直且平分的四边形是（ ）
A．矩形 B．一般的平行四边形 C．菱形 D．以上都不对
5、下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BD，AC与BD互相平分
B．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD
C．AB=BC=CD=DA
D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．
证明：四边形ADCE是菱形．
拓展提高：
7、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA=BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC=5，BD=8，求四边形ABED的周长．
中考链接：
【2018?四川】如图，在?ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．
完成练习．
通过练习的完成掌握本节课所学的知识，培养学生运用所学的知识解决问题的能力．
课堂小结
菱形的判定方法
①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
+ 邻边相等=
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
+对角线线互相垂直 =
③有四条边相等的四边形是菱形．
四条边相等 + =
对本节课所学的知识进行归纳．
进一步掌握本节课所学的知识，培养学生归纳问题的能力．
板书
菱形的判定方法：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
有四条边相等的四边形是菱形．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
例4
例5
19.2.2菱形的判定 同步练习
时间：30分钟，总分：100分 班级：_____________ 姓名：_____________
一、选择题（每小题5分，共30分）
1. 如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件可使的?ABCD为菱形的是（ ）
A．AC=BD B．∠DAB=∠DCB C．AD=BC D．∠AOD=90°
2. 下列说法中正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分的四边形是菱形
3. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（ ）
A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD
4. 用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
5． 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BP∥OC，且BP=OC，连接CP，则四边形COBP的形状是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
6．如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
二．填空题（每小题5分，共30分）
7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，当AB=____________时，四边形ABCD为菱形．
8．如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是____________（写出一个即可）．
9．如图，下列条件之一能使?ABCD是菱形的有__________（填序号）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
10．如图，?ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，当AB与AC满足条件____________时，四边形AFCE是菱形．
11．如图，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F，那么四边形DFCE是_______．
12．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是____________．
三、解答题（共40分）
13．（本题满分12分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．
14．（本题满分14分）已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．
求证：四边形ABCD为菱形．
15．（本题满分14分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：
（1）AC⊥BD；
（2）四边形ABCD是菱形．
参考答案
一、选择题：
1．【答案】D．
【解析】添加∠AOD=90°可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证明?ABCD为菱形，故选D．
2．【答案】A．
【解析】A、四边相等的四边形是菱形，说法正确；B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形，说法错误；C、对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误；D、对角线互相平分的四边形是菱形，说法错误；故选A．
3．【答案】B．
【解析】∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．故选B．
4．【答案】B．
【解析】由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB，根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．故选B．
5．【答案】B．
【解析】四边形COBP的形状是菱形，理由是：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OC=OB，∵BP∥OC，BP=OC，∴四边形COBP是平行四边形，∵OC=OB，∴平行四边形COBP是菱形．故选B．
6．【答案】C．
【解析】甲的作法正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO，在△AOE和△COF中，∵，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；
乙的作法正确；
∵AD∥BC，∴∠1=∠2，∠6=∠7，∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，∴∠2=∠3，∠5=∠6，∴∠1=∠3，∠5=∠7，∴AB=AF，AB=BE，∴AF=BE，∵AF∥BE，且AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=AF，∴平行四边形ABEF是菱形；故选C．
二、填空题：
7．【答案】AD．
【解析】可添加的条件为AB=AD．∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴四边形ABCD为菱形．故答案是AD．
8．【答案】此题答案不唯一，如：CB=BF；BE⊥CF；∠EBF=60°；BD=BF等．
【解析】根据题意可得出：四边形CBFE是平行四边形，当CB=BF时，平行四边形CBFE是菱形，当CB=BF；BE⊥CF；∠EBF=60°；BD=BF时，都可以得出四边形CBFE为菱形．
9．【答案】①③．
【解析】因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．则能使?ABCD是菱形的有①或③．
10．【答案】AB⊥BC．
【解析】当AB⊥AC时，四边形AFCE是菱形；∵?ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，∴AE∥CF且AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，当平行四边形ADCE是菱形时，AE=AF，∴AF=BC，∴∠BAC=90°，∴此时AB⊥BC．
11．【答案】菱形．
【解析】四边形DFCE是菱形，理由是：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠FCD，∵CD平分∠ACB，∴∠ECD=FCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=EC，∴平行四边形DFCE是菱形．
12．【答案】菱形．
【解析】过点D分别作AB，BC边上的高为AE，AF，∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF（两纸条相同，纸条宽度相同），∵S平行四边形ABCD=AB?ED=BC?DF，∴AB=CB，∴四边形ABCD是菱形．
三、解答题：
13．【答案】见解析．
【解析】证明：∵AB∥DC，CE∥DA，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAE，又∵CE∥DA，∴∠ACE=∠CAD，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，又∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形．
14．【答案】见解析．
【解析】证明：∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC，∴∠AEB=∠CFD，在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（ASA），∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAF，∵∠BAE=∠DCF，∴∠DAF=∠DCF，∴AD=CD，∴四边形ABCD是菱形．
15．【答案】证明：（1）见解析；（2）见解析．
【解析】证明：（1）∵AE∥BF，∴∠BCA=∠CAD，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∴∠BCA=∠BAC，∴△BAC是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；
（2）∵△BAC是等腰三角形，∴AB=CB，∵∠CBD=∠ABD=∠BDA，∴△ABD也是等腰三角形，∴AB=AD，∴DA=CB，∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．
课件28张PPT。菱形的判定数学华师大版 八年级下新知导入取两根长度不等的细纸条，将两根纸条的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出纸条四个端点的连线，则这四条线段组成一个什么图形，若转动其中一根纸条，使两根纸条之间的夹角等于 90° ，请猜想这时图形的形状是什么图形？新知讲解1．定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形的定义作为我们判定菱形的基本方法，接下来我们从边上来研究菱形的判定方法．∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD．∴四边形ABCD是菱形．数学语言新知讲解四条边相等的四边形是菱形．菱形的四条边相等．逆命题这个逆命题成立吗？新知讲解作一个四条边都相等的四边形．
步骤：
1．画两条相等的线段AB、CD；
2．分别以点B和点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于点C；
3．连结BC、CD，即得一个四条边都相等的四边形ABCD．这个四边形是菱形吗？新知讲解命题：四条边相等的四边形是菱形．已知：在四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA．
求证：四边形ABCD是菱形．证明：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．定理：四条边相等的四边形是菱形．菱形判定定理1新知讲解有三条边相等的四边形是菱形吗？请同学动手画一画，你发现什么结论？结论：有三条边相等的四边形不是菱形．新知讲解数学语言：
在四边形ABCD中，
∵ AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形．菱形的判定1：
四条边都相等的四边形是菱形．新知讲解例4 如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是四条边的中点，试问四边形EFGH是什么图形？并说明理由．解：∵H点为AD的中点，∴AH=HD，
∵E点为AB的中点，AE= AB，
G点为DC的中点，DG= CD ，
又∵AB=DC，∴AE=DG．
∵∠HAE=∠HDG，∴△EAH≌△GDH ， ∴HE=HG ，
同理EF=FG=HG=HE ，
∴四边形EFGH是菱形．新知讲解若四边形ABCD的对角线AC⊥BD，则四边形ABCD是不是菱形？结论：对角线互相垂直的四边形不能判定为菱形．对角线互相垂直的平形四边形是菱形吗？新知讲解作一个两条对角线互相垂直的平行四边形．
步骤：
1．作两条互相垂直的直线m，n，记交点为点O；
2．以点O为圆心，适当长为半径画弧，在直线m上截取相等的两条线段OA、OC；
3．以点O为圆心，另一适当长为半径画弧，在直线n上截取相等的两条线段OB、OD；
4．顺次连结所行的四点，即得一个对角线互相垂直且平分的四边形ABCD，显然，它是一个对角线互相垂直的平行四边形．这个平行四边形是菱形吗？新知讲解命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．已知：在平行四边形ABCD中，AC⊥BD ．
求证：平行四边形ABCD是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC．
又∵AC⊥BD，
∴BA=BC，
∴ 平行四边形ABCD是菱形．（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．新知讲解数学语言：∵在□ABCD中，AC⊥BD，
∴ □ABCD是菱形．菱形的判定2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．平行四边形ABCD菱形ABCD新知讲解取两根长度不等的细纸条，将两根纸条的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出纸条四个端点的连线，则这四条线段组成一个什么图形，若转动其中一根纸条，使两根纸条之间的夹角等于 90° ，请猜想这时图形的形状是什么图形？这四条线段组成平行四边形，
理由：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
当两根纸条之间的夹角等于 90° 时，这时图形是菱形，
理由：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．新知讲解例5 如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD 、BC分别交于E、F． 求证：四边形AFCE是菱形．分析：要证四边形AFCE是菱形，由已知条件可知EF⊥AC，所以只需证明四边形AFCE是平行四边形，又知EF垂直平分AC，所以只需证明OE=OF．新知讲解证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴ ∠1=∠2，
∵EF平分AC，
∴OA=OC．
又∵ ∠AOE=∠COF=90°，
∴ △AOE≌△COF．
∴ 四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．1、判断题
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）
（2）一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ）
（3）对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）
（4）对角线相等的四边形是菱形（ ）
（5）对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形（ ）
（6）两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形（ ）课堂练习×√××√√课堂练习2．□ABCD的对角线AC与BD相交于点O， （1）若AB=AD，则□ABCD是 形； （2）若AC=BD，则□ABCD是 形； （3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形； （4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形．菱矩矩菱课堂练习3、下列命题中正确的是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．三条边相等的四边形是菱形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．四个角相等的四边形是菱形
4、对角线互相垂直且平分的四边形是（ ）
A．矩形 B．一般的平行四边形 C．菱形 D．以上都不对
5、下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD
C．AB=BC=CD=DA D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BDCCB课堂练习6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．
证明：四边形ADCE是菱形．证明：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴AD=CD=BD．
∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形且AD=CD，
∴四边形ADCE是菱形．拓展提高7、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA=BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC=5，BD=8，求四边形ABED的周长．拓展提高（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AD=AB，
∵BA=BC，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BA=BC，
∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵DE⊥BD，∴∠BDE=90°，
∴∠DBC+∠E=∠BDC+∠CDE=90°，
∵CB=CD，∴∠DBC=∠BDC，
∴∠CDE=∠E，
∴CD=CE=BC，
∴BE=2BC=10，
∵BD=8，
∴DE= =6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=5，
∴四边形ABED的周长=AD+AB+BE+DE=26．中考链接【2018?四川】如图，在?ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD//BC， ∵DE=BF， ∴AE=CF，∵AE//CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形． 课堂总结有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．有四条边相等的四边形是菱形．菱形的判定方法板书设计菱形的判定方法：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
有四条边相等的四边形是菱形．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．例4
例5作业布置教材118页，第2题、第3题、第4题．谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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