19.2.2 菱形的判定 试卷
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19.2.2菱形的判定 同步练习
时间：30分钟，总分：100分 班级：_____________ 姓名：_____________
一、选择题（每小题5分，共30分）
1. 如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件可使的?ABCD为菱形的是（ ）
A．AC=BD B．∠DAB=∠DCB C．AD=BC D．∠AOD=90°
2. 下列说法中正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分的四边形是菱形
3. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（ ）
A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD
4. 用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
5． 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BP∥OC，且BP=OC，连接CP，则四边形COBP的形状是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
6．如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
二．填空题（每小题5分，共30分）
7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，当AB=____________时，四边形ABCD为菱形．
8．如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是____________（写出一个即可）．
9．如图，下列条件之一能使?ABCD是菱形的有__________（填序号）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
10．如图，?ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，当AB与AC满足条件____________时，四边形AFCE是菱形．
11．如图，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F，那么四边形DFCE是_______．
12．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是____________．
三、解答题（共40分）
13．（本题满分12分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．
14．（本题满分14分）已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．
求证：四边形ABCD为菱形．
15．（本题满分14分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：
（1）AC⊥BD；
（2）四边形ABCD是菱形．
参考答案
一、选择题：
1．【答案】D．
【解析】添加∠AOD=90°可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证明?ABCD为菱形，故选D．
2．【答案】A．
【解析】A、四边相等的四边形是菱形，说法正确；B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形，说法错误；C、对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误；D、对角线互相平分的四边形是菱形，说法错误；故选A．
3．【答案】B．
【解析】∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．故选B．
4．【答案】B．
【解析】由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB，根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．故选B．
5．【答案】B．
【解析】四边形COBP的形状是菱形，理由是：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OC=OB，∵BP∥OC，BP=OC，∴四边形COBP是平行四边形，∵OC=OB，∴平行四边形COBP是菱形．故选B．
6．【答案】C．
【解析】甲的作法正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO，在△AOE和△COF中，∵，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；
乙的作法正确；
∵AD∥BC，∴∠1=∠2，∠6=∠7，∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，∴∠2=∠3，∠5=∠6，∴∠1=∠3，∠5=∠7，∴AB=AF，AB=BE，∴AF=BE，∵AF∥BE，且AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=AF，∴平行四边形ABEF是菱形；故选C．
二、填空题：
7．【答案】AD．
【解析】可添加的条件为AB=AD．∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴四边形ABCD为菱形．故答案是AD．
8．【答案】此题答案不唯一，如：CB=BF；BE⊥CF；∠EBF=60°；BD=BF等．
【解析】根据题意可得出：四边形CBFE是平行四边形，当CB=BF时，平行四边形CBFE是菱形，当CB=BF；BE⊥CF；∠EBF=60°；BD=BF时，都可以得出四边形CBFE为菱形．
9．【答案】①③．
【解析】因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．则能使?ABCD是菱形的有①或③．
10．【答案】AB⊥BC．
【解析】当AB⊥AC时，四边形AFCE是菱形；∵?ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，∴AE∥CF且AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，当平行四边形ADCE是菱形时，AE=AF，∴AF=BC，∴∠BAC=90°，∴此时AB⊥BC．
11．【答案】菱形．
【解析】四边形DFCE是菱形，理由是：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠FCD，∵CD平分∠ACB，∴∠ECD=FCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=EC，∴平行四边形DFCE是菱形．
12．【答案】菱形．
【解析】过点D分别作AB，BC边上的高为AE，AF，∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF（两纸条相同，纸条宽度相同），∵S平行四边形ABCD=AB?ED=BC?DF，∴AB=CB，∴四边形ABCD是菱形．
三、解答题：
13．【答案】见解析．
【解析】证明：∵AB∥DC，CE∥DA，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAE，又∵CE∥DA，∴∠ACE=∠CAD，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，又∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形．
14．【答案】见解析．
【解析】证明：∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC，∴∠AEB=∠CFD，在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（ASA），∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAF，∵∠BAE=∠DCF，∴∠DAF=∠DCF，∴AD=CD，∴四边形ABCD是菱形．
15．【答案】证明：（1）见解析；（2）见解析．
【解析】证明：（1）∵AE∥BF，∴∠BCA=∠CAD，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∴∠BCA=∠BAC，∴△BAC是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；
（2）∵△BAC是等腰三角形，∴AB=CB，∵∠CBD=∠ABD=∠BDA，∴△ABD也是等腰三角形，∴AB=AD，∴DA=CB，∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．
时间：30分钟，总分：100分 班级：_____________ 姓名：_____________
一、选择题（每小题5分，共30分）
1. 如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件可使的?ABCD为菱形的是（ ）
A．AC=BD B．∠DAB=∠DCB C．AD=BC D．∠AOD=90°
2. 下列说法中正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分的四边形是菱形
3. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（ ）
A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD
4. 用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
5． 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BP∥OC，且BP=OC，连接CP，则四边形COBP的形状是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
6．如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
二．填空题（每小题5分，共30分）
7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，当AB=____________时，四边形ABCD为菱形．
8．如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是____________（写出一个即可）．
9．如图，下列条件之一能使?ABCD是菱形的有__________（填序号）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
10．如图，?ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，当AB与AC满足条件____________时，四边形AFCE是菱形．
11．如图，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F，那么四边形DFCE是_______．
12．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是____________．
三、解答题（共40分）
13．（本题满分12分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．
14．（本题满分14分）已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．
求证：四边形ABCD为菱形．
15．（本题满分14分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：
（1）AC⊥BD；
（2）四边形ABCD是菱形．
参考答案
一、选择题：
1．【答案】D．
【解析】添加∠AOD=90°可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证明?ABCD为菱形，故选D．
2．【答案】A．
【解析】A、四边相等的四边形是菱形，说法正确；B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形，说法错误；C、对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误；D、对角线互相平分的四边形是菱形，说法错误；故选A．
3．【答案】B．
【解析】∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．故选B．
4．【答案】B．
【解析】由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB，根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．故选B．
5．【答案】B．
【解析】四边形COBP的形状是菱形，理由是：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OC=OB，∵BP∥OC，BP=OC，∴四边形COBP是平行四边形，∵OC=OB，∴平行四边形COBP是菱形．故选B．
6．【答案】C．
【解析】甲的作法正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO，在△AOE和△COF中，∵，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；
乙的作法正确；
∵AD∥BC，∴∠1=∠2，∠6=∠7，∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，∴∠2=∠3，∠5=∠6，∴∠1=∠3，∠5=∠7，∴AB=AF，AB=BE，∴AF=BE，∵AF∥BE，且AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=AF，∴平行四边形ABEF是菱形；故选C．
二、填空题：
7．【答案】AD．
【解析】可添加的条件为AB=AD．∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴四边形ABCD为菱形．故答案是AD．
8．【答案】此题答案不唯一，如：CB=BF；BE⊥CF；∠EBF=60°；BD=BF等．
【解析】根据题意可得出：四边形CBFE是平行四边形，当CB=BF时，平行四边形CBFE是菱形，当CB=BF；BE⊥CF；∠EBF=60°；BD=BF时，都可以得出四边形CBFE为菱形．
9．【答案】①③．
【解析】因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．则能使?ABCD是菱形的有①或③．
10．【答案】AB⊥BC．
【解析】当AB⊥AC时，四边形AFCE是菱形；∵?ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，∴AE∥CF且AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，当平行四边形ADCE是菱形时，AE=AF，∴AF=BC，∴∠BAC=90°，∴此时AB⊥BC．
11．【答案】菱形．
【解析】四边形DFCE是菱形，理由是：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠FCD，∵CD平分∠ACB，∴∠ECD=FCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=EC，∴平行四边形DFCE是菱形．
12．【答案】菱形．
【解析】过点D分别作AB，BC边上的高为AE，AF，∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF（两纸条相同，纸条宽度相同），∵S平行四边形ABCD=AB?ED=BC?DF，∴AB=CB，∴四边形ABCD是菱形．
三、解答题：
13．【答案】见解析．
【解析】证明：∵AB∥DC，CE∥DA，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAE，又∵CE∥DA，∴∠ACE=∠CAD，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，又∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形．
14．【答案】见解析．
【解析】证明：∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC，∴∠AEB=∠CFD，在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（ASA），∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAF，∵∠BAE=∠DCF，∴∠DAF=∠DCF，∴AD=CD，∴四边形ABCD是菱形．
15．【答案】证明：（1）见解析；（2）见解析．
【解析】证明：（1）∵AE∥BF，∴∠BCA=∠CAD，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∴∠BCA=∠BAC，∴△BAC是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；
（2）∵△BAC是等腰三角形，∴AB=CB，∵∠CBD=∠ABD=∠BDA，∴△ABD也是等腰三角形，∴AB=AD，∴DA=CB，∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．