第四章 受力分析共点力的平衡检测题Word版含答案

受力分析　共点力的平衡
一、基础与经典
1．用一轻绳将小球P系于光滑墙壁上的O点，在墙壁和球P之间夹有一矩形物块Q，如图所示。P、Q均处于静止状态，则下列相关说法正确的是(　　)
A．P受3个力
B．Q受3个力
C．若绳子变短，Q受到的静摩擦力将增大
D．若绳子变长，绳子的拉力将变小
答案　D
解析　P受到重力、Q的支持力、Q的静摩擦力、绳子的拉力，共4个力作用，故A错误；Q受到重力、墙壁的弹力、P的压力和静摩擦力，共4个力作用，故B错误；Q受到的静摩擦力竖直向上，与其重力平衡，与绳子长度无关，所以若绳子变短，Q受到的静摩擦力不变，故C错误；设绳子与竖直方向的夹角为α，绳子的拉力大小为F，P对Q的摩擦力为f，则由平衡条件得：f＝GQ，GP＋f＝Fcosα，则GP＋GQ＝Fcosα，GP与GQ不变，若绳子变长，α变小，cosα变大，则F变小，故D正确。
2．如图所示，斜面体放置在粗糙的水平地面上，在水平向右的推力F作用下，物体A和斜面体B均保持静止。若减小推力F，物体A仍然静止在斜面上，则(　　)
A．物体A所受合力一定变小
B．斜面对物体A的支持力一定变小
C．斜面对物体A的摩擦力一定变小
D．斜面对物体A的摩擦力一定为零
答案　B
解析　物体A始终处于平衡状态，所以受到的合力始终等于0，不变，故A错误；如图对物体A进行受力分析有：
F合x＝Fcosθ＋f－Gsinθ＝0　①
F合y＝FN－Gcosθ－Fsinθ＝0　②
由②知，FN＝Gcosθ＋Fsinθ，当F减小时，则支持力减小，所以B是正确的；由①知f＝Gsinθ－Fcosθ，因为不知道摩擦力的方向，故当f方向向上为正值时，F减小则f增大，若f为负值即沿斜面向下时，F减小则f亦减小，不一定为0，故C、D错误。故选B。
3．如图所示，倾角为45°的斜面B放置在水平面上，物块A放在斜面B上，A、B接触面光滑，水平力F作用在物块A上，A、B一起沿着水平面向左匀速滑动，若B与水平面间的动摩擦因数为μ，则A与B的质量之比为(　　)
A． B． C． D．
答案　A
解析　把A、B看成一个整体，根据平衡条件得F＝μ(mA＋mB)g，A物体在三个力的作用下受力平衡，因为斜面的倾角为45°，可知F＝mAg，联立解得＝，A正确。
4．如图所示，一根不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端分别系一小球P和物块Q，Q与水平地面间的动摩擦因数恒定。现使P竖直向下运动从而使Q水平向左做匀速运动，则下列说法正确的是(　　)
A．Q可能受到三个力的作用
B．轻绳的拉力大小不变
C．地面对Q的支持力逐渐减小
D．Q受到的滑动摩擦力不变
答案　C
解析　Q受到重力mg、轻绳的拉力T、地面的支持力N和地面的滑动摩擦力f共四个力的作用，A错误；设轻绳与竖直方向的夹角为θ，则对Q受力分析，有Tcosθ＋N＝mg，μN′＝Tsinθ，其中N＝N′，得T＝，N＝，Q向左运动过程中θ逐渐减小，T会随θ的变化而变化，N逐渐减小，C正确，B错误；Q受到的滑动摩擦力f＝μN′，即f也逐渐减小，D错误。
5． 如图所示，斜劈ABC放在粗糙的水平地面上，在斜劈上放一重为G的物块，物块和斜劈均处于静止状态。现用一竖直向下且逐渐增大的力F作用于物块上，则下列说法正确的是(　　)
A．斜劈对物块的支持力增大
B．物块所受的合力变大
C．当力F足够大时斜劈将沿水平地面向右滑动
D．斜劈ABC受到水平地面向左的摩擦力作用，且随力F的增大而增大
答案　A
解析　重为G的物块静止在斜劈上，对物块：mgsinθ≤μmgcosθ，即sinθ≤μcosθ。当用一竖直向下的力F作用于物块上，可等效于物块更重了，物块对斜劈的压力增大，则斜劈对物块的支持力增大，A正确；但此时sinθ≤μcosθ仍成立，故物块仍静止，合力保持为零不变，B错误；以物块与斜劈组成的整体为研究对象，水平方向上不受力，故C、D错误。
6．(多选)如图所示，用光滑的粗铁丝做成一直角三角形，BC边水平，AC边竖直，∠B＝β，∠A＝α，AB及AC两边上分别套有细线系着的铜环M、N，当它们静止时，细线与AB所成的角为γ，与AC所成的角为θ(细线长度小于BC)，则(　　)
A．γ＝β B．θ＝
C．θ>－α D．β<γ<
答案　CD
解析　假设AC上的铜环的质量为零，重力为零，它仅受线的拉力和铁丝AC的弹力，由于铁丝对AC上的环的弹力垂直于AC，则细线必定垂直于AC，则细线平行于BC，此时γ＝β，但实际上AC上的环的质量不为零，要使此环处于静止状态，细线的左端略高，则有γ>β，假设AB上的铜环的质量为零，重力为零，它仅受细线的拉力和铁丝AB的弹力，则平衡时，细线与AB垂直，γ＝，而AB上的铜环的质量不为零，要使此环处于静止状态，细线不能与AB垂直，应有γ<，故β<γ<，θ>－α，A、B错误，C、D正确。
7． 课堂上，老师准备了“L”形光滑木板和三个完全相同、外表面光滑的匀质圆柱形积木，要将三个积木按图示(截面图)方式堆放在木板上，则木板与水平面夹角θ的最大值为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案　A
解析　将三个积木按图示方式堆放在木板上，增大θ角的过程中，最上面两个积木之间先是存在压力，θ增大到某一角度时，压力消失，此时θ角也达到最大值，之后再增大θ角，最上面的积木便无法保持平衡状态，当θ角达到最大值时，积木状态如图所示，所以θ角最大为30°，A正确。
8．(多选)如图所示，一根轻质细绳跨过定滑轮连接两个小球A、B，它们都穿在一根光滑的竖直杆上，不计细绳与滑轮之间的摩擦，当两球平衡时OA绳与水平方向的夹角为60°，OB绳与水平方向的夹角为30°，则A、B的质量之比和杆对A、B的弹力之比分别为(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
答案　AC
解析　
分别对A、B两球受力分析，如图所示，由几何知识得T1sin60°＝mAg，T2sin30°＝mBg，T1＝T2，故mA∶mB＝sin60°∶sin30°＝∶1，同理，＝＝，A、C正确，B、D错误；故选A、C。
9．(多选)如图所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑的半球形容器底部O′处(O为球心)，弹簧另一端与质量为m的小球相连，小球静止于P点。已知容器半径为R，与水平地面之间的动摩擦因数为μ，OP与水平方向的夹角为θ＝30°。下列说法正确的是(　　)
A．容器相对于水平面有向左的运动趋势
B．容器和弹簧对小球的作用力的合力竖直向上
C．弹簧原长为
D．轻弹簧对小球的作用力大小为mg
答案　BC
解析　对小球受力分析，如图所示。θ＝30°，三角形OO′P为等边三角形，由相似三角形法得FN＝F＝mg，D错误。由整体法得，竖直方向有总重力、地面的支持力，根据平衡条件可知，容器不受水平面的静摩擦力，容器与地面没有相对运动趋势，A错误。小球处于平衡状态，容器和弹簧对小球的作用力的合力与重力平衡，B正确。由胡克定律有F＝mg＝k(L0－R)，解得弹簧原长L0＝R＋，C正确。
10．如图甲所示，水平地面上固定一倾角为30°的表面粗糙的斜劈，一质量为m的小物块能沿着斜劈的表面匀速下滑。现对小物块施加一水平向右的恒力F，使它沿该斜劈表面匀速上滑。如图乙所示，则F大小应为(　　)
A．mg B．mg C．mg D．mg
答案　A
解析　小物块能沿着斜劈的表面匀速下滑，则有mgsin30°＝μmgcos30°，可得小物块与斜劈表面间的动摩擦因数μ＝tan30°，由小物块能沿着斜劈表面匀速上滑，受力分析如图所示。
根据平衡条件：
沿斜面方向：Fcos30°－f－mgsin30°＝0，
垂直斜面方向：N＝mgcos30°＋Fsin30°。
又f＝μN，联立可得：F＝mg，故A正确，B、C、D错误。
二、真题与模拟
11． (2016·全国卷Ⅱ)质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示，用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中(　　)
A．F逐渐变大，T逐渐变大
B．F逐渐变大，T逐渐变小
C．F逐渐变小，T逐渐变大
D．F逐渐变小，T逐渐变小
答案　A
解析　设绳OA段与竖直方向的夹角为θ，对O点进行受力分析，列平衡方程得F＝mgtanθ，T＝，则随θ的逐渐增大，F逐渐增大，T逐渐增大，A正确。
12．(2016·全国卷Ⅰ) (多选)如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态。若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则(　　)
A．绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
答案　BD
解析　系统处于静止状态，连接a和b的绳的张力大小T1等于物块a的重力Ga，C项错误；以O′点为研究对象，受力分析如图甲所示，T1恒定，夹角θ不变，由平衡条件知，绳OO′的张力T2恒定不变，A项错误；以b为研究对象，受力分析如图乙所示，则
FN＋T1cosθ＋Fsinα－Gb＝0
f＋T1sinθ－Fcosα＝0
FN、f均随F的变化而变化，故B、D项正确。
13．
(2017·全国卷Ⅰ)(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　)
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
答案　AD
解析　设重物的质量为m，绳OM中的张力为TOM，绳MN中的张力为TMN。开始时，TOM＝mg，TMN＝0。由于缓慢拉起，则重物一直处于平衡状态，两绳张力的合力与重物的重力mg等大、反向。如图所示，已知角α不变，在绳MN缓慢拉起的过程中，角β逐渐增大，则角(α－β)逐渐减小，但角θ不变，在三角形中，利用正弦定理得：＝，(α－β)由钝角变为锐角，则TOM先增大后减小，D正确；同理知＝，在β由0变为的过程中，TMN一直增大，A正确。
14．(2018·河南省商丘模拟)如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔，质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住，现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中手对线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是(　　)
A．F不变，FN增大 B．F不变，FN减小
C．F减小，FN不变 D．F增大，FN减小
答案　C
解析　小球沿圆环缓慢上移可看成小球处于平衡状态，对小球进行受力分析，如图所示，由图可知＝＝，当小球上移时，R不变，AB减小，故F减小，FN不变，故C正确。
15．(2018·江西省毕业班质量检测) 如图所示，圆环固定在竖直平面内，打有小孔的小球穿过圆环。细绳a的一端固定在圆环的A点，细绳b的一端固定在小球上，两绳的连接点O悬挂着一重物，O点正好处于圆心。现将小球从B点缓慢移到B′点，在这一过程中，重物一直保持静止。则在此过程中绳a的拉力(　　)
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
答案　A
解析　对连接点O进行受力分析，把连接点受到的重物拉力(等于重力)、两绳的拉力放到一个矢量三角形中，如图所示，小球从B点缓慢移到B′点，Fa逐渐变大，A正确。
16．(2018·东北三省三校高三一模)如图所示，在粗糙的水平面上，固定一个半径为R的半圆柱体M，挡板PQ固定在半圆柱体M上，PQ的延长线过半圆柱截面圆心O，且与水平面成30°角。在M和PQ之间有一个质量为m的光滑均匀球体N，其半径也为R。整个装置处于静止状态，则下列说法正确的是(　　)
A．N对PQ的压力大小为mg
B．N对PQ的压力大小为mg
C．N对M的压力大小为mg
D．N对M的压力大小为mg
答案　D
解析　设N的球心为O′，画出受力分析图如图，由几何关系知，∠O′OD＝30°，所以∠OO′E＝∠DO′E＝30°，设N对M的压力为F1，N对PQ的压力为F2，N受到的支持力F1′、F2′的合力大小等于mg，由牛顿第三定律F1＝F1′，F2＝F2′，则F1＝F2＝F1′＝F2′＝mg，D正确。
17．(2018·河南省高三第二次仿真模拟)放在粗糙的水平地面上的斜面体，倾角θ＝45°，斜面光滑。斜面上有两个质量均为m的小物块A、B，它们之间有轻绳连接。当用水平外力F推物块A时，两个物块和斜面体一起向左做匀速直线运动。若斜面对物块A的支持力大小为NA、斜面对物块B的支持力大小为NB，则下列结论正确的是(　　)
A．NA＝mg，NB＝mg
B．NA＝mg，NB＝mg
C．NA＝mg，NB＝mg
D．NA＝mg，NB＝mg
答案　C
解析　当用水平力F推A时，A、B和斜面一起向左做匀速直线运动，A、B所受合力为零。对小物块A、B的整体分析，沿斜面方向：Fcos45°＝2mgsin45°，即F＝2mg，则斜面对小物块A的支持力：NA＝mgcos45°＋Fsin45°＝mg；斜面对小物块B的支持力：NB＝mgcos45°＝mg，故选C。
18．(2018·安徽芜湖期末)在竖直墙壁间有半圆球A和圆球B，其中圆球B的表面光滑，半圆球A与左侧墙壁之间的动摩擦因数为，两球心之间连线与水平方向成30°的夹角，两球恰好不下滑，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则半圆球A和圆球B的质量之比为(　　)
A． B． C． D．
答案　C
解析　设A的质量为m，B的质量为M，对B受力分析如图所示，可得FNB＝Fcos30°，Mg－Fsin30°＝0，解得FNB＝，两球组成的整体，水平方向平衡，有FNA＝FNB，竖直方向有(m＋M)g－μFNA＝0，联立解得＝，C正确。
19．(2018·河南郑州金水区模拟)如图所示，小球A置于固定在水平面上的光滑半圆柱体上，小球B用水平轻弹簧拉着固定在竖直板上，两小球A、B通过光滑滑轮O用轻质细线相连，两球均处于静止状态，已知B球质量为m，O点在半圆柱体圆心O1的正上方，OA与竖直方向成30°角，OA长度与半圆柱体半径相等，OB与竖直方向成45°角，则下列叙述正确的是(　　)
A．小球A、B受到的拉力FTOA与FTOB相等，且FTOA＝FTOB＝mg
B．弹簧弹力大小为mg
C．A球质量为m
D．光滑半圆柱体对A球支持力的大小为mg
答案　C
解析　对小球A、B受力分析如图所示，对B分析，水平方向有FTOBsin45°＝F，竖直方向有FTOBcos45°＝mg，则FTOB＝mg，弹簧弹力F＝mg，根据定滑轮的特性知FTOA与FTOB相等，A、B错误。对A分析，由几何关系可知，拉力FTOA和支持力FN与水平方向的夹角都为60°，则FN和FTOA相等，且2FTOAsin60°＝mAg，解得mA＝m，由对称性可得FN＝FTOA＝mg，C正确，D错误。
20．(2018·重庆一中月考)如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的内表面光滑，一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是m1、m2，当它们静止时，m1、m2与球心的连线跟水平面分别成60°、30°角，则碗对两小球的弹力大小之比是(　　)
A．1∶2 B．∶1 C．1∶ D．∶2
答案　B
解析　选取两小球和杆组成的整体为研究对象，分析受力并正交分解如图所示，由平衡条件得F1在水平方向的分力F′和F2在水平方向的分力F″大小相等，即F1cos60°＝F2cos30°，解得＝＝，B正确。
21． (2019·湖南湘东六校联考)如图所示，斜面体静置于粗糙水平面上，用一轻绳拴住小球置于光滑的斜面上，轻绳左端固定在竖直墙面上的P处，初始时轻绳与斜面平行，若将斜面体移至虚线位置处，斜面体仍处于静止状态，则与在原来位置相比(　　)
A．在虚线位置时轻绳对小球的拉力小
B．在虚线位置时斜面体对小球的支持力大
C．在虚线位置时斜面体对水平面的压力大
D．在虚线位置时斜面体对水平面的摩擦力小
答案　D
解析　
隔离小球分析其受力，小球受到竖直向下的重力、垂直斜面向上的支持力、轻绳的拉力，画出小球受力的矢量三角形，如图所示。由图可知，斜面体在虚线位置时轻绳对小球的拉力大，斜面体对小球的支持力小，A、B错误；把小球和斜面体看成一个整体，由于斜面体在虚线位置时轻绳对小球的拉力大，由平衡条件可知，斜面体在虚线位置时水平面对斜面体的支持力小，摩擦力小，根据牛顿第三定律可知，斜面体在虚线位置时对水平面的压力小，摩擦力小，C错误，D正确。
22．(2018·黑龙江省伊春模拟)如图所示，在竖直放置的穹形光滑支架上，一根不可伸长的轻绳通过光滑的轻质滑轮悬挂一重物G，现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近，则绳中拉力大小变化的情况是(　　)
A．先变小后变大 B．先变小后不变
C．先变大后不变 D．先变大后变小
答案　C
解析　当轻绳的右端从B点移到直杆最上端时，设两绳的夹角为2θ，绳中的拉力大小为F，以滑轮为研究对象，受力分析如图甲所示，根据平衡条件得2Fcosθ＝mg，得到绳子的拉力大小为F＝，所以在轻绳的右端从B点移到直杆最上端的过程中，θ增大，cosθ减小，则F变大，当轻绳的右端从直杆最上端移到C点时，如图乙，设两绳的夹角为2α，设绳子总长为L，两直杆间的距离为s，由数学知识得sinα＝，L、s不变，则α保持不变，再根据平衡条件可知，两绳的拉力F保持不变，所以绳中拉力大小变化的情况是先变大后不变，C正确。
23．(2018·湖南省益阳市、湘潭市调研)如图所示，小球A、B通过一条细绳跨过定滑轮连接，它们都套在一根竖直杆上，当两球平衡时，连接A、B两球的细绳与水平方向的夹角分别为θ和2θ，假设装置中的各处摩擦均不计，则A、B球的质量之比为(　　)
A．2cosθ∶1 B．1∶2cosθ
C．tanθ∶1 D．1∶2sinθ
答案　B
解析　对A、B两球受力分析如图所示，由力的平衡条件可知，T′sinθ＝mAg，Tsin2θ＝mBg，T′＝T，解得mA∶mB＝sinθ∶sin2θ＝1∶2cosθ，B正确。
24． (2018·吉林省长春一测)(多选)如图所示，质量为M的三角形木块A静止在水平地面上，其左右两斜面光滑，一质量为m的物块B沿倾角α＝30°的右侧斜面加速下滑时，三角形木块A刚好保持静止，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则当物块B沿倾角β＝60°的左侧斜面下滑时，下列说法正确的是(　　)
A．A仍然静止不动，地面对A的摩擦力两种情况下等大
B．A仍然静止不动，对地面的压力比沿右侧斜面下滑时对地面的压力小
C．A将向右滑动，若使A仍然静止需对其施加向左的作用力
D．若α＝45°，B沿右侧斜面下滑时A将滑动
答案　CD
解析　物块B沿着右侧斜面下滑时，对斜面的压力等于其重力沿垂直斜面的分力，为F＝mgcos30°，对木块A受力分析，木块A受重力、压力、支持力和向右的静摩擦力，如图1所示，木块A恰好不滑动，故静摩擦力达到最大值，等于滑动摩擦力，根据平衡条件有，水平方向：f＝Fsin30°，竖直方向：N＝Mg＋Fcos30°，f＝μN1，其中N＝N1，解得μ＝。物块B从左侧下滑时，先假设木块A不动，木块A受重力、支持力、压力和向左的摩擦力，如图2所示。压力等于物块B重力沿垂直斜面的分力，即F′＝mgcos60°，竖直方向一定受力平衡，即支持力N′＝Mg＋F′cos60°＝Mg＋mg，N′＝N″，故最大静摩擦力fm＝μN″＝Mg＋mg，压力沿水平方向的分力为F′sin60°＝mg>fm，故A一定会滑动，要使A静止，需要对其施加向左的推力，故C正确，A、B错误；若α＝45°，物块B沿右侧斜面下滑时，先假设A不动，B对A的压力为mgcos45°，该压力沿水平方向的分力为mgcos45°·sin45°，竖直方向的分力为mgcos45°·cos45°，与α＝30°时相比，B对A压力沿水平方向的分力变大，B对A压力沿竖直方向的分力变小，最大静摩擦力变小，故A一定滑动，D正确。
一、基础与经典
25． 如图所示，在倾角为θ的粗糙斜面上，有一个质量为m的物体被水平力F推着静止于斜面上，已知物体与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ答案　 mg　 mg
解析　因为μmgsinθ＝Fcosθ＋f，f＝μFN，FN＝mgcosθ＋Fsinθ，
解得F＝ mg，
当物体恰好不上滑时，受力如图乙所示，有
mgsinθ＋f＝Fcosθ，f＝μFN，
FN＝mgcosθ＋Fsinθ，解得F＝ mg。
26． 质量为m＝0．8 kg的砝码悬挂在轻绳PA和PB的结点上并处于静止状态，PA与竖直方向的夹角为37°，PB沿水平方向，质量为M＝10 kg的木块与PB相连，静止于倾角为37°的斜面上，如图所示。(取g＝10 m/s2，sin37°＝0．6，cos37°＝0．8)求：
(1)轻绳PB拉力的大小；
(2)木块所受斜面的摩擦力和弹力大小。
答案　(1)6 N　(2)64．8 N　76．4 N
解析　(1)对点P受力分析如图甲所示，根据共点力的平衡条件得FB－FAsin37°＝0，FAcos37°－mg＝0，
联立解得FB＝＝6 N。
(2)对木块受力分析如图乙所示，由共点力的平衡条件得
Mgsin37°＋FBcos37°－Ff＝0，
FN＋FBsin37°－Mgcos37°＝0，
联立解得Ff＝Mgsin37°＋FBcos37°＝(10×10×0．6＋6×0．8) N＝64．8 N，
FN＝Mgcos37°－FBsin37°＝(10×10×0．8－6×0．6) N＝76．4 N。
27． 如图所示，质量M＝2 kg的木块套在水平固定杆上，并用轻绳与质量m＝1 kg的小球相连。今用跟水平方向成60°角的力F＝10 N拉着小球并带动木块一起向右做匀速直线运动，运动中M、m的相对位置保持不变，g＝10 m/s2。在运动过程中，求：
(1)轻绳与水平方向的夹角θ；
(2)木块M与水平杆间的动摩擦因数μ。
答案　(1)30°　(2)
解析　(1)小球处于匀速直线运动状态，其合力为零。
以小球为研究对象，由平衡条件得
水平方向Fcos60°－FTcosθ＝0①
竖直方向Fsin60°－FTsinθ－mg＝0②
由①②得θ＝30°。
(2)木块、小球整体处于匀速直线运动状态，可看做整体，系统所受合力为零。
以木块、小球整体为研究对象，由平衡条件得
水平方向Fcos60°－μFN＝0③
竖直方向FN＋Fsin60°－Mg－mg＝0④
由③④得μ＝。
二、真题与模拟
28． (2018·河北衡水中学调研)如图所示，放在粗糙的固定斜面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态，轻绳AO绕过光滑的定滑轮与轻弹簧的右端及轻绳BO的上端连接于O点，轻弹簧中轴线沿水平方向，轻绳的OC段与竖直方向的夹角θ＝53°，斜面倾角α＝37°，物块A和B的质量分别为mA＝5 kg，mB＝1．5 kg，弹簧的劲度系数k＝500 N/m(sin37°＝0．6，cos37°＝0．8，重力加速度g取10 m/s2)，求：
(1)弹簧的伸长量x；
(2)物块A受到的摩擦力。
答案　(1)4 cm　(2)5 N，方向沿斜面向上
解析　(1)对结点O受力分析如图甲所示。
根据平衡条件，有FTcosθ－mBg＝0
FTsinθ－F＝0，且F＝kx
解得x＝4 cm。
(2)设物块A所受摩擦力沿斜面向下，对物块A受力分析如图乙所示。
根据平衡条件，有FT′－Ff－mAgsinα＝0，且FT′＝FT
解得Ff＝－5 N
即物块A所受摩擦力大小为5 N，方向沿斜面向上。
29．
(2019·石家庄二中调研)如图所示，用三条完全相同的轻质细绳1、2、3将A、B两个质量均为m的完全相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，轻绳1与竖直方向的夹角为45°，轻绳3水平，则轻质细绳1、2、3的拉力分别为多大？
答案　2 mg　mg　2mg
解析　设三条绳上的拉力分别为FT1、FT2、FT3；把A、B两个小球视为整体，受力分析如图甲，由平衡条件可得2mg＝FT1cos45°，FT3＝FT1sin45°，解得FT1＝2mg，FT3＝2mg，隔离小球B，受力分析如图乙，FT2＝＝mg。

阶段综合测评(一)
对应学生用书P009　　时间：90分钟　　　满分：110分
第Ⅰ卷 (选择题，共48分)
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，1～8题只有一项符合题目要求，9～12题有多项符合题目要求。全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．某同学用位移传感器探究木块沿倾角为θ＝30°的斜面下滑时的运动情况，装置如图甲所示，乙图记录了木块下滑过程中的位移—时间图象，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A．木块在t＝0时速度为零
B．木块在t＝1 s时速度大小为2 m/s
C．木块的加速度逐渐增大
D．木块的加速度大小为5 m/s2
答案　A
解析　木块下滑过程中受力情况不变，由x-t图象知，木块运动的速度在增大，所以木块做匀加速直线运动，C错误；设木块下滑的初速度为v0，加速度为a，根据位移时间关系可得x＝v0t＋at2，根据图乙可知，t＝1 s时，x＝2 m，t＝2 s时，x＝8 m，代入公式可得v0＝0，a＝4 m/s2，即在t＝0时木块开始沿斜面下滑，此时速度为零，A正确，D错误；木块在t＝1 s时，v＝at＝4 m/s2×1 s＝4 m/s，B错误。
2．物体做匀加速直线运动，在时间T内通过位移x1到达A点，接着在时间T内又通过位移x2到达B点，则物体(　　)
A．在A点的速度大小为
B．在B点的速度大小为
C．运动的加速度为
D．运动的加速度为
答案　A
解析　匀变速直线运动全程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，则vA＝＝，A正确；设物体的加速度为a，则x2－x1＝aT2，所以a＝，C、D均错误；物体在B点的速度大小为vB＝vA＋aT，代入数据得，vB＝，B错误。
3．两辆完全相同的汽车，沿平直公路一前一后以相同的速度匀速行驶，若前车突然以恒定的加速度a刹车，在它刚停住时，后车开始以恒定的加速度刹车，已知前车在刹车过程中所行驶的距离为x0，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为(　　)
A．x0 B．2x0 C．2．5x0 D．3x0
答案　D
解析　两辆完全相同的汽车以相同的速度匀速行驶，前车的刹车位移为x0，加速度大小为a，刹车的时间t＝，刹车的位移x0＝，在此时间内，后车做匀速直线运动，位移为x＝v0t＝，所以x＝2x0，此后后车刹车，加速度大小为，后车的刹车位移x′＝＝＝2x0，要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的最小距离Δx＝x＋x′－x0＝3x0，故选D。
4．一质点做匀加速直线运动时，速度变化Δv时发生位移x1，紧接着速度变化同样的Δv时发生位移x2，则该质点的加速度为(　　)
A． B．
C．(Δv)2 D．(Δv)2
答案　A
解析　质点做匀变速直线运动，速度变化相同时所用时间相同，则设两个阶段的时间均为t。由匀变速直线运动的推论Δx＝aT2可得：x2－x1＝at2，又由加速度定义可得：a＝，联立解得：a＝，故A项正确。
5．如图所示的装置中，小球的质量均相同，弹簧和细线的质量均不计，一切摩擦忽略不计，平衡时各弹簧的弹力分别为F1、F2、F3，其大小关系是(　　)
A．F1＝F2＝F3 B．F1＝F2C．F1＝F3>F2 D．F3>F1>F2
答案　A
解析　题图甲中以下面小球为研究对象，由平衡条件知，弹簧的弹力等于小球的重力G；题图乙中以小球为研究对象，由平衡条件知，弹簧的弹力等于小球的重力G；题图丙中以任意一个小球为研究对象，由平衡条件知，弹簧的弹力等于小球的重力G；所以平衡时各弹簧的弹力大小相等，即有F1＝F2＝F3，故A正确。
6．
(2018·贵州省贵阳摸底)如图所示，一物块放在倾斜的木板上，当木板的倾角θ分别为30°和45°时物块所受的摩擦力的大小相等，则物块与木板间的动摩擦因数为(　　)
A． B． C． D．
答案　B
解析　木板倾角较小时，物块与木板间为静摩擦力，由平衡条件可知，Ff＝mgsin30°；倾角较大时，物块与木板间为滑动摩擦力，即Ff′＝μmgcos45°，由题意知，μmgcos45°＝mgsin30°，得μ＝，B正确。
7．
如图所示，用一轻绳将光滑小球P系于竖直墙壁上的O点，在墙壁和球P之间夹有一长方体物块Q，P、Q均处于静止状态，现有一铅笔紧贴墙壁压着绳子从O点开始缓慢下移，则在铅笔缓慢下移的过程中(　　)
A．P所受的合力增大
B．Q受到墙壁的摩擦力逐渐变大
C．P对Q的压力逐渐减小
D．细绳的拉力逐渐增大
答案　D
解析　球P保持静止，合力一直为零，保持不变，故A错误；对P进行受力分析，如图所示，受竖直向下的重力GP，沿细绳向上的拉力T和水平向右的Q对P的支持力N，对Q进行受力分析，受竖直向下的重力GQ，P对Q水平向左的压力N1，墙壁水平向右的支持力N2和竖直向上的摩擦力f，因球P是静止的，所以在竖直方向上和水平方向上合力都为零，铅笔紧贴墙壁从O点开始缓慢下移，会使得细绳与墙壁间的夹角变大，所以绳子的拉力T会变大，所以D是正确的；绳子的拉力T在水平方向上的分量变大，所以N会变大，P对Q的压力和Q对P的支持力是作用力与反作用力，所以N＝N1，N变大的同时，N1也变大，故C错误；f与GQ是一对平衡力，大小始终相等，因GQ不变，所以Q受到墙壁的摩擦力不变，故B错误。
8．(2018·河北衡水中学五月冲刺)如图所示，B、C两个小球用细绳悬挂于竖直墙面上的A、D两点，两球均保持静止，已知两球的重力均为G，细绳AB与竖直墙面之间的夹角为30°，细绳CD与竖直墙面之间的夹角为60°，则(　　)
A．AB绳中的拉力为G
B．CD绳中的拉力为2G
C．BC绳中的拉力为G，与竖直方向的夹角θ为30°
D．BC绳中的拉力为G，与竖直方向的夹角θ为60°
答案　D
解析　把两个小球看成整体进行受力分析，如图a所示，根据平衡条件，x轴上：FABsin30°＝FCDsin60°，y轴上：FAB·cos30°＋FCDcos60°＝2G，得：FAB＝G，FCD＝G，A、B错误；隔离C球，对C球受力分析，如图b所示，根据平衡条件，x轴上：FBCsinθ＝FCDsin60°，y轴上：FBCcosθ＋FCDcos60°＝G，得FBC＝G，θ＝60°，C错误，D正确。
9．
如图所示，水平桌面上平放一叠共计54张的扑克牌，每一张的质量均为m。用一手指以竖直向下的力压第1张牌，并以一定速度向右移动手指，确保手指与第1张牌之间有相对滑动。设最大静摩擦力与滑动摩擦力相同，手指与第1张牌之间的动摩擦因数为μ1，相邻两张牌间的动摩擦因数均为μ2，第54张牌与桌面间的动摩擦因数为μ3，且有μ1<μ2 <μ3。则下列说法正确的是(　　)
A．第1张牌受到手指的摩擦力向左
B．第2张牌到第53张牌之间可能发生相对滑动
C．第2张牌到第53张牌之间不可能发生相对滑动
D．第54张牌受到水平桌面向左的静摩擦力
答案　CD
解析　第1张牌相对于手指的运动方向与手指的运动方向相反，则受到手指的摩擦力方向与手指的运动方向相同，故A错误。设手指对第1张牌的压力为F，对第2张牌分析，第3张牌对它的最大静摩擦力Fm＝μ2(2mg＋F)，而受到的第1张牌的最大静摩擦力为fm＝μ2(mg＋F)10．
如图所示，两根光滑细棒在同一竖直平面内，两棒与水平面成37°角，棒上各穿有一个质量为m的相同小球，两球用轻质弹簧连接，两小球在图中位置处于静止状态，此时弹簧与水平面平行，则下列判断正确的是(　　)
A．弹簧处于拉伸状态
B．弹簧处于压缩状态
C．弹簧的弹力大小为mg
D．弹簧的弹力大小为mg
答案　AC
解析　以左侧小球为研究对象，假如弹簧处于压缩状态，弹簧对该球的弹力方向水平向左，小球还受到竖直向下的重力和棒的弹力，棒的弹力垂直于棒，根据平行四边形定则可以知道，这三个力的合力不可能为零，则小球不可能处于静止状态，与题矛盾，所以弹簧一定处于拉伸状态，所以A项正确，B项错误。对左侧小球受力分析，如图，根据平衡条件得：Fcos37°＝mgsin37°，则得弹簧的弹力大小F＝mg，所以C项正确，D项错误。
11．
两物体M、m用跨过光滑定滑轮的轻绳相连，如图所示，OA、OB与水平面的夹角分别为30°、60°，M、m均处于静止状态。则(　　)
A．绳OA对M的拉力大小大于绳OB对M的拉力大小
B．绳OA对M的拉力大小小于绳OB对M的拉力大小
C．m受到水平面的静摩擦力大小为零
D．m受到水平面的静摩擦力的方向水平向左
答案　BD
解析　取O点为研究对象进行受力分析，如图所示，FAsin60°＝FBsin30°，则有FA12．(2018·潍坊市高三一模)如图所示，光滑圆圈竖直固定，A为最高点，橡皮条上端固定在A点，下端连接一套在圆圈上的轻质小环，小环位于B点，AB与竖直方向夹角为30°，用光滑钩拉橡皮条中点，将橡皮条中点拉至C点时，钩的拉力大小为F。为保持小环静止于B点，需给小环施加一作用力F′，下列说法正确的是(　　)
A．若F′沿水平方向，则F′＝F
B．若F′沿竖直方向，则F′＝F
C．F′的最大值为F
D．F′的最小值为F
答案　AD
解析　由题图可知△ABC为等边三角形，以C点为研究对象，受力分析如图甲所示，橡皮条张力大小为F1，由力的平衡条件得F＝2F1cos30°，解得F1＝F。以小环为研究对象，若加水平方向的力F′，受力分析如图乙所示，则由力的平衡条件可知，F′＝F1＝F，A正确；若对小环加竖直方向的力，受力分析如图丙所示，则由力的平衡条件可知F1sin30°＝F′cos30°，解得F′＝F1tan30°＝F，B错误；以小环为研究对象，由力的平衡条件可知，圆圈对小环的支持力和作用力F′的合力与F1等大反向，由图丁可知，由合力的端点向FN作垂线，此时作用力F′最小，其最小值为F′min＝F1sin30°＝F，D正确；由图丁可知作用力F′没有最大值，C错误。
第Ⅱ卷 (非选择题，共62分)
二、实验题(本题共2小题，共12分)
13．(6分)在“研究匀变速直线运动”的实验时，所使用的电源是50 Hz的交流电，某同学打好三条纸带，选取其中最好的一条，其中一段如图所示，图中A、B、C、D、E为计数点，相邻两个计数点间有四个点未画出，根据纸带可计算出打B点时小车的速度vB＝________ m/s，小车的加速度a＝________ m/s2。(结果保留三位有效数字)
答案　0．877　3．51
解析　B点是从A到C的中间时刻对应的点，做匀变速直线运动的物体中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，vB＝＝0．877 m/s，
利用逐差法a＝＝ m/s2＝3．51 m/s2。
14．(6分)在做“验证力的平行四边形定则”的实验时，先将橡皮条的一端固定在水平木板上，另一端系上带有绳套的两根细绳；先后两次拉伸橡皮条，一次是用两个弹簧测力计通过两细绳互成角度地拉橡皮条(如图甲所示)，另一次是用一个弹簧测力计通过细绳拉橡皮条。
(1)实验操作中，下列说法正确的是________。
A．弹簧测力计、细绳、橡皮条都应贴近木板且与木板平行
B．拉橡皮条的细绳要长些，标记同一细绳方向的两点要远些
C．拉力F1和F2的夹角越大越好
D．先将其中一个弹簧测力计沿某一方向拉到最大量程，然后只需调节另一个弹簧测力计拉力的大小和方向，把橡皮条另一端拉到O点
(2)在共点力合成的实验中，根据实验数据画出力的图示，如图乙所示。图上标出了F1、F2、F、F′四个力，其中________(选填上述字母)不是由弹簧测力计直接测得的。
(3)
在做“验证力的平行四边形定则”的实验时，用甲、乙两个弹簧测力计通过绳拉橡皮条的结点，使其到达O点，此时α＋β＝90°，如图丙所示，然后保持乙的示数不变，而使α角减小，为保持结点位置不变，可采用的方法是________。
A．减小甲的示数同时减小β角
B．增大甲的示数同时减小β角
C．增大甲的示数同时增大β角
D．减小甲的示数同时增大β角
答案　(1)AB　(2)F　(3)AC
解析　(1)实验中弹簧测力计、细绳、橡皮条都应贴近木板且与木板平行，A正确；拉橡皮条的细绳要长些，标记同一细绳方向的两点要远些，以减小误差，B正确；实验中拉力F1和F2的夹角不能太小，也不能太大，故C错误；先将其中一个弹簧测力计沿某一方向拉到最大量程，然后调节另一个弹簧测力计拉力的大小和方向，在两个弹簧测力计都不超过量程的情况下，不一定能将橡皮条另一端拉到O点，故D错误。
(2)力F是由平行四边形定则求出的，F′是一个弹簧测力计的拉力。
(3)甲、乙两力在改变时，合力不变，乙的大小不变，即可以O点为圆心，以乙力的大小为半径作圆，如图所示，由于初始时F甲、F乙两力垂直，所以bc与圆相切，此时α为最大值，当乙的方向改变，使α角减小时，根据力的平行四边形定则可知，可以减小甲的示数同时减小β角，也可以增大甲的示数同时增大β角，选A、C。
三、计算题(本题共4小题，共50分。解答时应写出必要的文字说明、方程式和演算步骤，有数值计算的要注明单位)
15．(10分)相同的小球从斜面的某一位置每隔0．1 s释放一颗，连续放了几颗后，对斜面上正运动着的小球拍下部分照片，如图所示，现测得AB＝15 cm，BC＝20 cm，已知小球在斜面上做加速度相同的匀加速直线运动(初速度为零)，求：
(1)各球的加速度的大小；
(2)拍照时，A球上方正运动的球有几个？
答案　(1)5 m/s2　(2)2个
解析　(1)每一个球的运动都是重复的，故对所拍的照片上的球可认为是一个球在不同时刻的位置。
由Δx＝aT2可得
a＝＝×10－2 m/s2＝5 m/s2。
(2)vB＝＝×10－2 m/s＝1．75 m/s，
由vB＝at得t＝ s＝0．35 s，故在A之上有2个球，它们运动的时间分别为0．15 s、0．05 s。
16．(12分)交通信号“绿波”控制系统一般被称为“绿波带”，它是根据车辆运行情况对各路口红绿灯进行协调，使车辆通过时能连续获得一路绿灯。某市中原路上某直线路段每间隔L＝500 m就有一个红绿灯路口，绿灯时间Δt1＝60 s，红灯时间Δt2＝40 s，而且下一路口红绿灯亮起总比当前路口红绿灯滞后Δt＝50 s。要求汽车在下一路口绿灯再次亮起后能通过该路口，汽车可看做质点，不计通过路口的时间，道路通行顺畅。
(1)若某路口绿灯刚亮起时，某汽车恰好通过，要使该汽车保持匀速行驶，在后面道路上再连续通过五个路口，满足题设条件下，汽车匀速行驶的最大速度是多少？最小速度又是多少？(计算结果保留两位有效数字)
(2)若某路口遭遇红灯，待绿灯刚亮起时，某汽车由静止开始，以加速度a＝2 m/s2 匀加速运动，加速到第(1)问中汽车匀速行驶的最大速度以后，便以此速度一直匀速运动。试通过计算判断，当该汽车到达下一个路口时能否遇到绿灯。
答案　(1)10 m/s　8．1 m/s　(2)能
解析　(1)若汽车刚好在绿灯亮起时通过第五个路口，则通过五个路口的时间t＝5Δt，此时汽车匀速运动的速度最大vmax＝＝10 m/s。
若汽车刚好在绿灯熄灭时通过第五个路口，则通过五个路口的时间t′＝5Δt＋Δt1＝310 s，此时汽车匀速运动的速度最小vmin＝≈8．1 m/s。
(2)若某路口绿灯刚亮起时，汽车启动加速到vmax＝10 m/s，由vmax＝at1，解得：t1＝5 s，
在此过程中汽车的位移x＝t1＝25 m，
然后汽车以此速度匀速运动，可知L－x＝vmaxt2，
解得：t2＝47．5 s，因此，汽车从该路口开始启动到下一个路口的时间为t″＝t1＋t2＝52．5 s，则50 s17．(14分)如图所示，倾角为θ的固定光滑斜面底部有一垂直于斜面的固定挡板C，劲度系数为k1的轻弹簧的两端分别与挡板C和质量为m的物体B连接，劲度系数为k2的轻弹簧的两端分别与B和质量也为m的物体A连接，轻绳通过光滑滑轮Q与A和一轻质小桶相连，轻绳AQ段与斜面平行，物体A和物体B均保持静止。现缓慢地向小桶P内加入细砂，当弹簧k1对挡板的弹力恰好为零时，求：
(1)小桶P内所加入的细砂质量；
(2)小桶下降的距离。
答案　(1)2msinθ　(2)
解析　(1)当弹簧k1对挡板的弹力恰好为零时，以A、B两个物体整体为研究对象，根据平衡条件得知，轻绳的拉力大小T＝2mgsinθ，
轻绳对物体的拉力是由小桶内细砂的重力产生的，所以T＝m砂g，
故小桶P内加入的细砂的质量m砂＝2msinθ。
(2)未向小桶内加入细砂时，弹簧k1的压缩量为
x1＝，
弹簧k2的压缩量为x2＝，
缓慢地向小桶P内加入细砂，当弹簧k1对挡板的弹力恰好为零时，弹簧k1处于原长，
弹簧k2的伸长量为x2′＝，
解得小桶下降的距离
h＝x1＋x2＋x2′＝＋
＝。
18．(14分)跳伞运动员做低空跳伞表演，当飞机离地面224 m时，运动员离开飞机在竖直方向做自由落体运动，运动一段时间后，立即打开降落伞，展伞后运动员以12．5 m/s2的平均加速度匀减速下降，为了运动员的安全，要求运动员落地速度最大不得超过5 m/s。取g＝10 m/s2。求：
(1)运动员展伞时，离地面的高度至少为多少？
(2)运动员在空中的最短时间为多少？
答案　(1)99 m　(2)8．6 s
解析　设H＝224 m，a＝12．5 m/s2，vm＝5 m/s。
(1)由公式v2－v＝2ax可得
第一阶段v2＝2gh1，第二阶段v2－v＝2ah2，
又h1＋h2＝H，联立以上各式解得展伞时离地面的高度至少为h2＝99 m。
(2)由公式x＝v0t＋at2可得
第一阶段h1＝gt，
第二阶段h2＝vt2－at，v＝gt1，
又t＝t1＋t2，联立以上各式解得运动员在空中的最短时间为t＝8．6 s。