第3课时 正切函数的性质与图象
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P42～P45的内容，回答下列问题．
(1)正切函数y＝tan x的定义域是什么？
提示：.
(2)诱导公式tan(π＋x)＝tan x说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k∈Z)与tan x的关系怎样？
提示：周期性．tan(kπ＋x)＝tan x(k∈Z)．
(3)诱导公式tan(－x)＝－tan x说明了正切函数的什么性质？
提示：奇偶性．
(4)从正切线上观察，正切函数值是有界的吗？
提示：不是，正切函数没有最大值和最小值．
(5)从正切线上观察正切函数值，在上是增大的吗？
提示：是的．
2．归纳总结，核心必记
(1)正切函数的性质
函数
y＝tan x
定义域
值域
(－∞，＋∞)
周期
最小正周期为π
奇偶性
奇函数
单调性
在每个开区间(k∈Z)上都是增函数
(2)正切函数的图象
①正切函数的图象：
②正切函数的图象叫做正切曲线．
③正切函数的图象特征：
正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．
[问题思考]
(1)正切函数在整个定义域上都是增函数吗？
提示：不是．正切函数在每一个开区间(k∈Z)上是增函数．但在整个定义域上不是增函数．
(2)可以怎样快速作出正切函数的图象？
提示：正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出，三点指的是(kπ，0)，，，k∈Z，两线为直线x＝kπ＋和直线x＝kπ－，其中k∈Z.
[课前反思]
(1)正切函数的图象： ；
(2)正切函数的性质： .
知识点1
正切函数的定义域、值域问题
?讲一讲
1．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝tan；(2)y＝.
[尝试解答] (1)由x＋≠kπ＋(k∈Z)得，x≠kπ＋，k∈Z，所以函数y＝tan的定义域为，其值域为(－∞，＋∞)．
(2)由－tan x≥0得，tan x≤.结合y＝tan x的图象可知，在上，满足tan x≤的角x应满足－＜x≤，所以函数y＝的定义域为，其值域为[0，＋∞)．
类题·通法
求正切函数定义域的方法及求值域的注意点
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．解形如tan x＞a的不等式的步骤：
?练一练
1．(1)函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
(2)函数y＝的值域是________．
解析：(1)由题意得
即－1≤tan x<1.在内，满足上述不等式的x的取值范围是.
又y＝tan x的最小正周期为π，所以所求函数的定义域是
(k∈Z)．
(2)∵tan2x－2tan x＋2＝(tan x－1)2＋1≥1，
∴0
答案：(1)A (2)(0,1]
知识点2
正切函数的单调性及应用
?讲一讲
2．(1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan与tan的大小．
[尝试解答] (1)由kπ－＜x－＜kπ＋(k∈Z)得，2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，
所以函数y＝tan的单调递增区间是
(k∈Z)．
(2)由于tan＝tan＝tan ＝－tan ，tan＝－tan＝－tan，
又0＜＜＜，
而y＝tan x在上单调递增，
所以tan＜tan，－tan＞－tan，
即tan＞tan.
类题·通法
(1)求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
①若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，求得x的范围即可．
②若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
(2)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
②运用单调性比较大小关系．
?练一练
2．(1)比较tan 1，tan 2, tan 3的大小；
(2)求函数y＝3tan的单调区间．
解：(1)因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)．
又因为＜2＜π，所以－＜2－π＜0.
因为＜3＜π，所以－＜3－π＜0.
显然－＜2－π＜3－π＜1＜，
又y＝tan x在内是增函数，
所以tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan 1，
即tan 2＜tan 3＜tan 1.
(2)y＝3tan＝－3tan，
由－＋kπ＜2x－＜＋kπ得，
－＋＜x＜＋(k∈Z)，
所以y＝3tan的单调递减区间为
(k∈Z).
知识点3
与正切函数有关的奇偶性、周期性问题
?讲一讲
3．(1)求f(x)＝tan的周期；
(2)判断y＝sin x＋tan x的奇偶性．
[尝试解答] (1)∵tan＝tan，
即tan＝tan，
∴f(x)＝tan的周期是.
(2)定义域为，关于原点对称，
∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，
∴它是奇函数．
类题·通法
正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期性、奇偶性
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)若函数y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ或φ＝kπ＋(k∈Z)，否则为非奇非偶函数．
?练一练
3．关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)有以下几种说法：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②f(x)的图象关于对称；③f(x)的图象关于(π－φ，0)对称；④f(x)是以π为最小正周期的周期函数．
其中不正确的说法的序号是________．
解析：①若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tan x，此时，f(x)为奇函数，所以①错；观察正切函数y＝tan x的图象，可知y＝tan x关于(k∈Z)对称，令x＋φ＝得x＝－φ，分别令k＝1,2知②、③正确，④显然正确．
答案：①
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是正切函数的定义域、单调性以及奇偶性和周期性，难点是正切函数单调性的应用．
2．本节课要学会“三点两线法”画正切函数的图象
类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”作出，这里的三个点分别为(kπ，0)，，，其中k∈Z.两线为直线x＝kπ＋(k∈Z)，直线x＝kπ－(k∈Z)．
3．要掌握与正切函数性质有关的三个问题
(1)与正切函数有关的定义域、值域问题，见讲1；
(2)正切函数的单调性及应用，见讲2；
(3)与正切函数有关的奇偶性、周期性问题，见讲3.
4．本节课的易错点有两处
(1)易忽视正切函数y＝tan x的定义域为
，如讲1的第(1)题．
(2)易忽视正切曲线只有对称中心而没有对称轴．
课下能力提升(十)
[学业水平达标练]
题组1 正切函数的定义域、值域问题
1．函数y＝的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 要使函数有意义，只需logtan x≥0，即0＜tan x≤1.由正切函数的图象知，kπ＜x≤kπ＋，k∈Z.
2．函数f(x)＝－2tan x＋m，x∈有零点，则实数m的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝－2tan x＋m有零点，即方程2tan x＝m有解．∵x∈，∴tan x∈[－1，]，∴m∈[－2,2 ]．
答案：[－2,2 ]
3．已知－≤x≤，f(x)＝tan2x＋2tan x＋2，求f(x)的最值及相应的x值．
解：∵－≤x≤，
∴－≤tan x≤1，
f(x)＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1，
当tan x＝－1即x＝－时，f(x)有最小值1，
当tan x＝1即x＝时，f(x)有最大值5.
题组2 正切函数的单调性及应用
4．已知A为锐角，且tan A＝，那么下列判断正确的是( )
A．0°C．45°解析：选B <<1，即tan 30°由正切函数随锐角的增大而增大，得30°5．已知函数y＝tan，则它的单调递减区间是________________．
解析：y＝tan＝－tan.
由kπ－<x－得2kπ－∴函数y＝tan的单调递减区间是
(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
6．已知函数y＝tan ωx在内是单调减函数，则ω的取值范围是________．
解析：函数y＝tan ωx在内是单调减函数，则有ω＜0，且周期T≥－＝π，即≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω＜0.
答案：[－1,0)
7．求函数y＝3tan的周期和单调区间．
解：y＝3tan＝－3tan，
∴T＝＝＝4π.
由kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，得
4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)．
∵3tan在(k∈Z)上单调递增，
∴函数y＝3tan在(k∈Z)上单调递减．
题组3 与正切函数有关的奇偶性、周期性问题
8．下列函数中，同时满足：①在上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( )
A．y＝tan x B．y＝cos x
C．y＝tan D．y＝|sin x|
解析：选A 经验证，选项B，D中所给函数都是偶函数，不符合；选项C中所给的函数的周期为2π.
9．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)图象的相邻的两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D.
解析：选A 由题意 知T＝，由＝，得ω＝4，
∴f(x)＝tan 4x，∴f＝tan π＝0.
10．已知函数f(x)＝x＋tan x＋1，若f(a)＝2，则f(－a)＝( )
A．0 B．－1
C．－2 D．3
解析：选A 设g(x)＝x＋tan x，显然g(x)为奇函数．
∵f(a)＝g(a)＋1＝2，∴g(a)＝1，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝0.故选A.
11．下列关于函数y＝tan的说法正确的是( )
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
解析：选B 令kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z，解得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋＝，解得x＝－，k∈Z，任取k值不能得到x＝，故C错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故D错误．
[能力提升综合练]
1．函数f(x)＝在区间[－π，π]内的大致图象是下列图中的( )
解析：选C 在上，cos x>0，f(x)＝tan x，所以在上其图象与y＝tan x的图象相同，在和上，cos x<0，f(x)＝－tan x，所以在这两段上其图象是y＝tan x的图象关于x轴的对称图形．
2．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．x＝－ C．x＝ D．x＝
解析：选D 当x＝时，2x＋＝，而的正切值不存在，所以直线x＝与函数的图象不相交．
3．函数f(x)＝2tan＋1的图象的一个对称中心可以是( )
A. B. C. D.
解析：选D 令3x＋＝(k∈Z)，解得x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，又∵f(x)＝2tan＋1的图象是由f(x)＝2tan的图象向上平移1个单位得到的，∴对称中心可以为.故选D.
4．已知函数f(x)＝2tan(ω>0)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于2π，则f的值是( )
A．2 B．0 C．－1 D．－
解析：选B 由题意知函数f(x)的周期为2π，则＝2π，所以ω＝，于是f(x)＝2tan，所以f＝2tan＝2tan 0＝0，故选B.
5．tan与tan的大小关系是____________．
解析：tan＝tan＝tan ，
tan＝tan＝tan .
∵0<<<，∴tan tan.
答案：tan>tan
6．若直线x＝(|k|≤1)与函数y＝tan的图象不相交，则k＝________.
解析：直线x＝＋nπ，n∈Z与函数y＝tan x的图象不相交，
由题意可知，2×＋＝＋nπ，n∈Z，
得到k＝n＋，n∈Z，而|k|≤1，
故n＝0或－1，
所以k＝或k＝－.
答案：或－
7．作出函数y＝tan x＋|tan x|的图象，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．
解：y＝tan x＋|tan x|＝
其图象如图所示，
由图象可知，其定义域是(k∈Z)；
值域是[0，＋∞)；单调递增区间是(k∈Z)；最小正周期T＝π.
8．已知函数f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．
解：(1)当θ＝－时，
f(x)＝x2－x－1＝2－，
x∈[－1， ]．
∴当x＝时，f(x)取得最小值，为－；
当x＝－1时，f(x)取得最大值，为.
(2)函数f(x)＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ的图象的对称轴为x＝－tan θ.
∵y＝f(x)在区间[－1，]上单调，
∴－tan θ≤－1或－tan θ≥，
即tan θ≥1或tan θ≤－.
又θ∈，
∴θ的取值范围是
∪.
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[学业水平达标练]
题组1 正切函数的定义域、值域问题
1．函数y＝的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 要使函数有意义，只需logtan x≥0，即0＜tan x≤1.由正切函数的图象知，kπ＜x≤kπ＋，k∈Z.
2．函数f(x)＝－2tan x＋m，x∈有零点，则实数m的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝－2tan x＋m有零点，即方程2tan x＝m有解．∵x∈，∴tan x∈[－1，]，∴m∈[－2,2 ]．
答案：[－2,2 ]
3．已知－≤x≤，f(x)＝tan2x＋2tan x＋2，求f(x)的最值及相应的x值．
解：∵－≤x≤，
∴－≤tan x≤1，
f(x)＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1，
当tan x＝－1即x＝－时，f(x)有最小值1，
当tan x＝1即x＝时，f(x)有最大值5.
题组2 正切函数的单调性及应用
4．已知A为锐角，且tan A＝，那么下列判断正确的是( )
A．0°C．45°解析：选B <<1，即tan 30°由正切函数随锐角的增大而增大，得30°5．已知函数y＝tan，则它的单调递减区间是________________．
解析：y＝tan＝－tan.
由kπ－<x－得2kπ－∴函数y＝tan的单调递减区间是
(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
6．已知函数y＝tan ωx在内是单调减函数，则ω的取值范围是________．
解析：函数y＝tan ωx在内是单调减函数，则有ω＜0，且周期T≥－＝π，即≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω＜0.
答案：[－1,0)
7．求函数y＝3tan的周期和单调区间．
解：y＝3tan＝－3tan，
∴T＝＝＝4π.
由kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，得
4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)．
∵3tan在(k∈Z)上单调递增，
∴函数y＝3tan在(k∈Z)上单调递减．
题组3 与正切函数有关的奇偶性、周期性问题
8．下列函数中，同时满足：①在上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( )
A．y＝tan x B．y＝cos x
C．y＝tan D．y＝|sin x|
解析：选A 经验证，选项B，D中所给函数都是偶函数，不符合；选项C中所给的函数的周期为2π.
9．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)图象的相邻的两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D.
解析：选A 由题意 知T＝，由＝，得ω＝4，
∴f(x)＝tan 4x，∴f＝tan π＝0.
10．已知函数f(x)＝x＋tan x＋1，若f(a)＝2，则f(－a)＝( )
A．0 B．－1
C．－2 D．3
解析：选A 设g(x)＝x＋tan x，显然g(x)为奇函数．
∵f(a)＝g(a)＋1＝2，∴g(a)＝1，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝0.故选A.
11．下列关于函数y＝tan的说法正确的是( )
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
解析：选B 令kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z，解得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋＝，解得x＝－，k∈Z，任取k值不能得到x＝，故C错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故D错误．
[能力提升综合练]
1．函数f(x)＝在区间[－π，π]内的大致图象是下列图中的( )
解析：选C 在上，cos x>0，f(x)＝tan x，所以在上其图象与y＝tan x的图象相同，在和上，cos x<0，f(x)＝－tan x，所以在这两段上其图象是y＝tan x的图象关于x轴的对称图形．
2．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．x＝－ C．x＝ D．x＝
解析：选D 当x＝时，2x＋＝，而的正切值不存在，所以直线x＝与函数的图象不相交．
3．函数f(x)＝2tan＋1的图象的一个对称中心可以是( )
A. B. C. D.
解析：选D 令3x＋＝(k∈Z)，解得x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，又∵f(x)＝2tan＋1的图象是由f(x)＝2tan的图象向上平移1个单位得到的，∴对称中心可以为.故选D.
4．已知函数f(x)＝2tan(ω>0)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于2π，则f的值是( )
A．2 B．0 C．－1 D．－
解析：选B 由题意知函数f(x)的周期为2π，则＝2π，所以ω＝，于是f(x)＝2tan，所以f＝2tan＝2tan 0＝0，故选B.
5．tan与tan的大小关系是____________．
解析：tan＝tan＝tan ，
tan＝tan＝tan .
∵0<<<，∴tan tan.
答案：tan>tan
6．若直线x＝(|k|≤1)与函数y＝tan的图象不相交，则k＝________.
解析：直线x＝＋nπ，n∈Z与函数y＝tan x的图象不相交，
由题意可知，2×＋＝＋nπ，n∈Z，
得到k＝n＋，n∈Z，而|k|≤1，
故n＝0或－1，
所以k＝或k＝－.
答案：或－
7．作出函数y＝tan x＋|tan x|的图象，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．
解：y＝tan x＋|tan x|＝
其图象如图所示，
由图象可知，其定义域是(k∈Z)；
值域是[0，＋∞)；单调递增区间是(k∈Z)；最小正周期T＝π.
8．已知函数f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．
解：(1)当θ＝－时，
f(x)＝x2－x－1＝2－，
x∈[－1， ]．
∴当x＝时，f(x)取得最小值，为－；
当x＝－1时，f(x)取得最大值，为.
(2)函数f(x)＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ的图象的对称轴为x＝－tan θ.
∵y＝f(x)在区间[－1，]上单调，
∴－tan θ≤－1或－tan θ≥，
即tan θ≥1或tan θ≤－.
又θ∈，
∴θ的取值范围是
∪.
