1.5 函数y＝Asin?ωx＋φ?的图象
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P49～P55的内容，回答下列问题．
(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象有什么影响？
提示：函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．
(2)ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象有什么影响？
提示：函数y＝sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0且ω≠1)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
(3)A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象有什么影响？
提示：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0且A≠1)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0
(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A、ω、φ的物理意义各是什么？
提示：A是振幅，是周期，是频率，φ是初相．
2．归纳总结，核心必记
(1)参数A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
①φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响
②ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
③A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
(2)由函数y＝sin x的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径
由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
①先平移后伸缩
y＝sin x的图象y＝sin(x＋φ)的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
②先伸缩后平移
y＝sin x的图象y＝sin_ωx的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A、ω、φ的物理意义
①简谐运动的振幅就是A；
②简谐运动的周期T＝；
③简谐运动的频率f＝＝；
④ωx＋φ称为相位；
⑤x＝0时的相位φ称为初相．
[问题思考]
(1)如何由y＝sin x的图象得到y＝sin的图象？
提示：将y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可．
(2)如何由y＝sin x的图象得到y＝sin 2x和y＝sin x的图象？
提示：将y＝sin x的图象的横坐标变为原来的，即可得y＝sin 2x的图象；将y＝sin x的图象的横坐标伸长为原来的2倍，即可得y＝sin x的图象．
(3)对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x，y＝sin x的函数值有什么关系？
提示：y＝2sin x的函数值是y＝sin x的函数值的2倍，而y＝sin x的函数值是y＝sin x的函数值的倍．
[课前反思]
(1)A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响： ；
(2)由函数y＝sin x的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径： ；
(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)中，A、ω、φ的物理意义： .
知识点1
“五点法”作图
[思考] 用“五点法”作正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的图象时，“五点”具体指哪些点？
名师指津：用“五点法”作正弦函数y＝sin x的图象时，“五点”是指(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)；用“五点法”作余弦函数y＝cos x的图象时，“五点”是指(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
?讲一讲
1．用“五点法”画函数y＝2sin的简图．
[尝试解答] 先画函数在一个周期内的图象．令X＝3x＋，则x＝，列表
X
0
π
2π
x
－
y
0
2
0
－2
0
描点作图，再将图象左右延伸即可．
类题·通法
用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤
第一步：列表.
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
－
－
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象．
?练一练
1．已知f(x)＝2sin.
(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间；
(3)求f(x)的最大值和此时相应的x的值．
解：(1)列表：
＋
0
π
2π
x
－
f(x)
0
2
0
－2
0
作图：
(2)由2kπ－≤＋≤2kπ＋，得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(3)当＋＝＋2kπ，即x＝＋4kπ(k∈Z)时，f(x)max＝2.
知识点2
三角函数的图象变换
?讲一讲
2．由函数y＝cos x的图象如何得到函数y＝－2cos＋2的图象？
[尝试解答] y＝－2cos＋2
＝2cos＋2.
y＝cos x
y＝cos
y＝cos
y＝2cosy＝2cos＋2.
类题·通法
解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横纵坐标伸缩的量，在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到解析式也不同，这点应特别注意．
?练一练
2．为了得到函数y＝cos的图象，需将函数y＝sin x的图象上所有点的( )
A．横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将得到的函数图象向左平移个单位长度
B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的函数图象向左平移个单位长度
C．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的函数图象向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将得到的函数图象向右平移个单位长度
解析：选A 因为y＝cos＝cos2x＋－＝sin，所以只需先将函数y＝sin x的图象上的所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图象；再将得到的函数图象向左平移个单位长度，即可得到函数y＝sin，即y＝cos的图象.
知识点3
由图象确定函数的解析式
?讲一讲
3．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
[尝试解答] 法一：(逐一定参法)
由图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，∴0＝3sin.
∴－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝.∴y＝3sin.
法二：(待定系数法)
由图象知A＝3.
∵图象过点和，
∴解得∴y＝3sin.
法三：(图象变换法)
由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，所以y＝3sin 2，即y＝3sin.
类题·通法
由y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定解析式的方法
(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．
?练一练
3．(1)已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图①所示，则( )
A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋bA>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图②所示，则f(x)＝________，该函数图象的对称轴方程为______________．
解析：(1)依题意得T＝4×＝π，∴ω＝2.又sin＝1，且|φ|<，∴φ＝－.
(2)依题意，知＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2.A＝×(3＋1)＝2，b＝×(3－1)＝1，又2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，且|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin2x＋＋1，令2x＋＝kπ＋，k∈Z得，该函数图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
答案：(1)D (2)2sin＋1 x＝＋，k∈Z
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是五点法作图、图象变换及由三角函数的图象确定解析式，难点是图象变换及由三角函数的图象确定解析式．
2．要掌握与函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象有关的三个问题
(1)用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，见讲1；
(2)三角函数图象变换，见讲2；
(3)由函数图象确定解析式，见讲3.
3．本节课的易错点是由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，平移的单位为而不是|φ|.
课下能力提升(十一)
[学业水平达标练]
题组1 “五点法”作图
1．某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内简图时，列表如下：
ωx＋φ
0
π
2π
x
y
0
2
0
－2
0
则振幅是________，相位是________．
解析：由表格得A＝2，－＝，
∴ω＝3.∴ωx＋φ＝3x＋φ.
当x＝时，3x＋φ＝＋φ＝0，∴φ＝－.
答案：2 3x－
2．作出函数y＝sin在长度为一个周期的闭区间上的图象．
解：列表：
X＝x－
0
π
2π
x
π
4π
7π
y＝sin
0
0
－
0
描点画图(如图所示)．
题组2 三角函数的图象变换
3．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选B y＝sin＝sin，故只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位长度．故选B.
4．把函数y＝cos x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，最后把图象向左平移个单位长度，则所得图象表示的函数的解析式为( )
A．y＝2sin 2x
B．y＝－2sin 2x
C．y＝2cos
D．y＝2cos
解析：选B 把函数y＝cos x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，所得图象的函数解析式为y＝cos 2x，再把纵坐标伸长到原来的2倍，所得图象的函数解析式为y＝2cos 2x，最后把图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝2cos＝－2sin 2x.
5．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选B y＝sinx＋φy＝sin＝sin，即2x＋2φ＋＝2x－，解得φ＝－，即向右平移个单位长度．→x＋φy＝sin＝sin，即2x＋2φ＋＝2x－，解得φ＝－，即向右平移个单位长度．
6．把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
解析：选A 变换后的三角函数为y＝cos(x＋1)，结合四个选项可得A选项正确．
7．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y＝sin x的图象相同，求f(x)的解析式．
解：反过来想，
y＝sin xy＝siny＝sin，即f(x)＝sin.
题组3 由图象确定函数的解析式
8.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin
解析：选B 由图象可知A＝2，＝－＝，所以T＝2π，ω＝＝1.又因为sin＝0，且0<φ<，所以φ＝.所以f(x)＝2sinx＋，故选B.
9.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，－<φ<，x∈R的部分图象如图所示，则A＋ω＋φ＝________.
解析：由图可知A＝2，＝－＝，所以T＝2π，所以ω＝1.
再根据f＝2得sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
即φ＝＋2kπ(k∈Z)．
又因为－<φ<，所以φ＝，因此A＋ω＋φ＝3＋.
答案：3＋
10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
解：由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.依题设0≤φ≤π，∴φ＝.
由f(x)的图象关于点M对称，可知sin＝0，
则ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝－(k∈Z)，
又f(x)在上是单调函数，所以T≥π，即≥π.
∴ω≤2.又ω>0，∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2.
故φ＝，ω＝2或.
[能力提升综合练]
1．函数y＝sin在区间上的简图是( )
解析：选A 当x＝0时，y＝sin＝－<0，故可排除B、D；当x＝时，sin＝sin 0＝0，排除C.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的部分图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是( )
A．A＝3，T＝
B．A＝3，T＝
C．A＝，T＝
D．A＝，T＝
解析：选D 由图象可知最大值为3，最小值为0，故振幅为，半周期为－＝，故周期为.
3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：选A 函数f(x)的周期T≤4＝π，则≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.
4．给出下列六种图象变换的方法：
①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；
②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；
③图象向右平移个单位长度；
④图象向左平移个单位长度；
⑤图象向右平移个单位长度；
⑥图象向左平移个单位长度．
请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图象变换为函数y＝sin的图象，那么这两种变换正确的标号是________．(按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)
解析：y＝sin x的图象y＝sin的图象y＝sin的图象；或y＝sin x的图象y＝sin 的图象y＝sin＝sin的图象．
答案：④②或②⑥
5．如图所示的曲线是y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．
解析：由函数图象可知A＝2，T＝＝π，即＝π，故ω＝2.
又是五点法作图的第五个点，即2×＋φ＝2π，则φ＝.
故所求函数的解析式为y＝2sin.
答案：y＝2sin
6．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．
解析：由题意知，ω＝2，因为x∈，所以2x－∈，故f(x)的最小值为f(0)＝3sin＝－，最大值为f＝3sin＝3，所以f(x)的取值范围是.
答案：
7．(1)利用“五点法”画出函数y＝sin在长度为一个周期的闭区间的简图；
(2)说明该函数图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样平移和伸缩变换得到．
解：(1)列表：
x
－
x＋
0
π
2π
y
0
1
0
－1
0
画图：
(2)法一：先平移后伸缩．
①将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；
②将y＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象．
法二：先伸缩后平移．
①将y＝sin x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin x的图象；
②将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，
得到y＝sin的图象．
8．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数解析式；
(2)写出函数的单调区间．
解：(1)依题意，A＝，T＝4×＝4π，
∵T＝＝4π，ω>0，∴ω＝.∴y＝sin.
∵曲线上的最高点为，
∴sin＝1.∴φ＋＝2kπ＋.
∵－<φ<，∴φ＝.∴y＝sin.
(2)∴令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，∴4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
令2kπ＋≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，∴4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
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[学业水平达标练]
题组1 “五点法”作图
1．某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内简图时，列表如下：
ωx＋φ
0
π
2π
x
y
0
2
0
－2
0
则振幅是________，相位是________．
解析：由表格得A＝2，－＝，
∴ω＝3.∴ωx＋φ＝3x＋φ.
当x＝时，3x＋φ＝＋φ＝0，∴φ＝－.
答案：2 3x－
2．作出函数y＝sin在长度为一个周期的闭区间上的图象．
解：列表：
X＝x－
0
π
2π
x
π
4π
7π
y＝sin
0
0
－
0
描点画图(如图所示)．
题组2 三角函数的图象变换
3．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选B y＝sin＝sin，故只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位长度．故选B.
4．把函数y＝cos x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，最后把图象向左平移个单位长度，则所得图象表示的函数的解析式为( )
A．y＝2sin 2x
B．y＝－2sin 2x
C．y＝2cos
D．y＝2cos
解析：选B 把函数y＝cos x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，所得图象的函数解析式为y＝cos 2x，再把纵坐标伸长到原来的2倍，所得图象的函数解析式为y＝2cos 2x，最后把图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝2cos＝－2sin 2x.
5．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选B y＝sinx＋φy＝sin＝sin，即2x＋2φ＋＝2x－，解得φ＝－，即向右平移个单位长度．→x＋φy＝sin＝sin，即2x＋2φ＋＝2x－，解得φ＝－，即向右平移个单位长度．
6．把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
解析：选A 变换后的三角函数为y＝cos(x＋1)，结合四个选项可得A选项正确．
7．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y＝sin x的图象相同，求f(x)的解析式．
解：反过来想，
y＝sin xy＝siny＝sin，即f(x)＝sin.
题组3 由图象确定函数的解析式
8.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin
解析：选B 由图象可知A＝2，＝－＝，所以T＝2π，ω＝＝1.又因为sin＝0，且0<φ<，所以φ＝.所以f(x)＝2sinx＋，故选B.
9.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，－<φ<，x∈R的部分图象如图所示，则A＋ω＋φ＝________.
解析：由图可知A＝2，＝－＝，所以T＝2π，所以ω＝1.
再根据f＝2得sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
即φ＝＋2kπ(k∈Z)．
又因为－<φ<，所以φ＝，因此A＋ω＋φ＝3＋.
答案：3＋
10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
解：由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.依题设0≤φ≤π，∴φ＝.
由f(x)的图象关于点M对称，可知sin＝0，
则ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝－(k∈Z)，
又f(x)在上是单调函数，所以T≥π，即≥π.
∴ω≤2.又ω>0，∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2.
故φ＝，ω＝2或.
[能力提升综合练]
1．函数y＝sin在区间上的简图是( )
解析：选A 当x＝0时，y＝sin＝－<0，故可排除B、D；当x＝时，sin＝sin 0＝0，排除C.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的部分图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是( )
A．A＝3，T＝
B．A＝3，T＝
C．A＝，T＝
D．A＝，T＝
解析：选D 由图象可知最大值为3，最小值为0，故振幅为，半周期为－＝，故周期为.
3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：选A 函数f(x)的周期T≤4＝π，则≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.
4．给出下列六种图象变换的方法：
①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；
②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；
③图象向右平移个单位长度；
④图象向左平移个单位长度；
⑤图象向右平移个单位长度；
⑥图象向左平移个单位长度．
请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图象变换为函数y＝sin的图象，那么这两种变换正确的标号是________．(按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)
解析：y＝sin x的图象y＝sin的图象y＝sin的图象；或y＝sin x的图象y＝sin 的图象y＝sin＝sin的图象．
答案：④②或②⑥
5．如图所示的曲线是y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．
解析：由函数图象可知A＝2，T＝＝π，即＝π，故ω＝2.
又是五点法作图的第五个点，即2×＋φ＝2π，则φ＝.
故所求函数的解析式为y＝2sin.
答案：y＝2sin
6．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．
解析：由题意知，ω＝2，因为x∈，所以2x－∈，故f(x)的最小值为f(0)＝3sin＝－，最大值为f＝3sin＝3，所以f(x)的取值范围是.
答案：
7．(1)利用“五点法”画出函数y＝sin在长度为一个周期的闭区间的简图；
(2)说明该函数图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样平移和伸缩变换得到．
解：(1)列表：
x
－
x＋
0
π
2π
y
0
1
0
－1
0
画图：
(2)法一：先平移后伸缩．
①将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；
②将y＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象．
法二：先伸缩后平移．
①将y＝sin x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin x的图象；
②将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，
得到y＝sin的图象．
8．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数解析式；
(2)写出函数的单调区间．
解：(1)依题意，A＝，T＝4×＝4π，
∵T＝＝4π，ω>0，∴ω＝.∴y＝sin.
∵曲线上的最高点为，
∴sin＝1.∴φ＋＝2kπ＋.
∵－<φ<，∴φ＝.∴y＝sin.
(2)∴令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，∴4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
令2kπ＋≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，∴4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
