1.6 三角函数模型的简单应用
知识点1
三角函数在物理中的应用
?讲一讲
1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin.
(1)作出函数的图象；
(2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？
(3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？
(4)单摆来回摆动一次需多长时间？
[尝试解答] (1)利用“五点法”可作出其图象．
(2)因为当t＝0时，s＝6sin＝3，所以此时离开平衡位置3 cm.
(3)离开平衡位置6 cm.
(4)因为T＝＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.
类题·通法
三角函数在物理中的应用
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，解决这类问题时尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．
?练一练
1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
解：(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110 V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220 V，当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值.
知识点2
三角函数在实际问题中的应用
?讲一讲
2．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数p(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数．
[尝试解答] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函数p(t)的周期为 min.
(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝＝80(次)．
(3)列表：
t
0
p(t)
115
140
115
90
115
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：
(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.
类题·通法
(1)在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．
(2)在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题，常见形式有：求出三角函数的解析式，画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．
?练一练
2．如图为一个缆车示意图，缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.
(1)求h与θ间的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？
解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，故B点坐标为.
∴h＝5.6＋4.8sin.
(2)点A在圆上转动的角速度是，故t s转过的弧度数为.
∴h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)．
到达最高点时，h＝10.4 m.
由sin＝1，得t－＝＋2kπ，k∈N，∴tmin＝30(s)．
即缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒.
知识点3
建立三角函数模型解决实际问题
?讲一讲
3．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据.
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
(1)根据以上数据，求函数y＝f(t)的函数解析式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？
[尝试解答] (1)由表中数据描出各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图)，由图知，可设f(t)＝Acos ωt＋b，并且周期T＝12，∴ω＝＝＝.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.
∴A＝0.5，b＝1.∴y＝cos t＋1.
(2)由题知，当y>1时才可对冲浪爱好者开放，∴cos t＋1>1.∴cos t>0.
∴2kπ－<t<2kπ＋(k∈Z)，即12k－3∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t<3或9∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动，即上午9：00至下午15：00.
类题·通法
在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤：
(1)根据原始数据，绘出散点图；
(2)通过散点图，作出“最贴近”的曲线，即拟合曲线；
(3)根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数解析式；
(4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测，以便为决策和管理提供依据．
?练一练
3．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，求可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式.
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0
解：设y＝Asin(ωt＋φ)，则从表中可以得到A＝4，ω＝＝＝，又由4sin φ＝－4.0，可得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin，即y＝－4cos t.
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是三角函数在实际问题中的应用，难点是三角函数在实际问题中的应用以及建立三角函数模型解决实际问题．
2．本节课要牢记解三角函数应用问题的基本步骤
(1)审清题意
读懂题目中的“文字”、“图象”、“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题．
(2)建立函数模型
整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型．
(3)解答函数模型
利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果．
(4)得出结论
将所得结果翻译成实际问题的答案．
3．本节课要重点掌握三角函数模型的三类简单应用
(1)三角函数在物理中的应用，见讲1；
(2)三角函数在实际问题中的应用，见讲2；
(3)建立三角函数模型解决实际问题，见讲3.
课下能力提升(十二)
[学业水平达标练]
题组1 三角函数在物理中的应用
1.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2π s B．π s C．0.5 s D．1 s
解析：选D 单摆来回摆动一次所需的时间为函数s＝6sin的周期．又因为T＝＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s，故选D.
2．如图是一个单摆的振动图象，根据图象回答下面问题：
(1)单摆的振幅为________；
(2)振动频率为________．
解析：由题中图象，可知(1)单摆的振幅是1 cm；(2)单摆的振动频率是1.25 Hz.
答案：(1)1 cm (2)1.25 Hz
题组2 三角函数在实际问题中的应用
3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( )
A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20]
解析：选C 由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]，故选C.
4．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
解析：选A 周期T＝15秒，ω＝＝.由图可知，水轮最高点距离水面5米，故A＋2＝5，即A＝3.
5．如图为2018年某市某天中6 h至14 h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，<φ<π)的半个周期的图象，则该天8 h的温度大约为( )
A．16 ℃ B．15 ℃
C．14 ℃ D．13 ℃
解析：选D 由题意得A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20.∵2×(14－6)＝16，∴＝16，∴ω＝，∴y＝10sin＋20，将x＝6，y＝10代入得10sin×6＋φ＋20＝10，即sin＝－1，由于<φ<π，可得φ＝，∴y＝10sin＋20，x∈[6,14]．当x＝8时，y＝10sin＋20＝20－5≈13，即该天8 h的温度大约为13 ℃，故选D.
6.如图，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
解：(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
则解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝＝，
∴y＝100sin＋800.
又当t＝6时，y＝900，∴900＝100sin＋800，
∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取φ＝－，
∴y＝100sin＋800.
(2)当t＝2时，y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
题组3 建立三角函数模型解决实际问题
7．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下列函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的是( )
A．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
解析：选A y＝f(t)的关系对应的“散点图”如下：
由“散点图”可知，k＝12，A＝3.
周期T＝12，所以ω＝.
又t＝0时，y＝12，t＝3时，y≈15.
所以φ＝0.因此，y＝12＋3sin t，故选A.
[能力提升综合练]
1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解析：选C 该题目考查了最值与周期间的关系：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，故选C.
2.如图是函数y＝sin x(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是( )
解析：选A 当x∈时，f(x)＝π－2x；当x∈时，f(x)＝2x－π，故选A.
3．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1] B．[1,7] C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
解析：选D 由已知可得该函数的周期T＝12，∴ω＝＝.又∵当t＝0时，A，∴y＝sin，t∈[0,12]．可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
4.如图，半圆的直径为2，A为直径MN的延长线上一点，且OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为边作等边三角形ABC.当∠AOB＝x时，S四边形OACB等于( )
A．sin x
B．sin x－cos x＋
C．－cos x＋
D．sin x＋cos x－
解析：选B 如图，S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC.过点B作BD⊥MN于D，则BD＝BOsin(π－x)，即BD＝sin x.∴S△AOB＝×2sin x＝sin x.∵OD＝BOcos(π－x)＝－cos x，∴AB2＝BD2＋AD2＝sin2x＋(－cos x＋2)2＝5－4cos x.∴S△ABC＝AB·＝－cos x.∴S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC＝sin x－cos x＋.
5．一根长a cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，t∈，则小球摆动的周期为________．
解析：T＝＝.
答案：
6．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．
解析：由条件可知，B＝7，A＝9－7＝2.
又T＝2×(9－3)＝12，∴ω＝＝.
∵3月份达到最高价，∴3×＋φ＝，∴φ＝0.
所以f(x)的解析式为f(x)＝2sin x＋7.
答案：f(x)＝2sin x＋7(1≤x≤12，x∈N)
7.如图，某市某天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这一天最大的温差；
(2)求这段曲线的函数解析式．
解：(1)由图象得这一天的最高温度是－2 ℃，最低温度是－12 ℃，所以这一天最大的温差是－2－(－12)＝10(℃)．
(2)由(1)得解得
由图象得函数的周期T＝2×(14－6)＝16，则＝16，解得ω＝.
所以y＝5sin－7.
由图象知点(6，－12)在函数的图象上，
则－12＝5sin－7，整理得sin＝－1，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，则可取φ＝.
所以这段曲线的函数解析式是y＝5sin－7(6≤x≤14)．
8．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?
解：(1)依题意知T＝＝12，故ω＝，h＝＝12.2，
A＝16－12.2＝3.8，所以d＝3.8sin＋12.2；
又因为t＝4时，d＝16，所以sin＝1，
所以φ＝－，所以d＝3.8sin＋12.2.
(2)t＝17时，d＝3.8sin＋12.2＝3.8sin ＋12.2≈15.5(m)．
(3)令3.8sin＋12.2<10.3，有sin<－，
因此2kπ＋<t－<2kπ＋(k∈Z)，
所以2kπ＋<t<2kπ＋2π，k∈Z，
所以12k＋8令k＝0，得t∈(8,12)；令k＝1，得t∈(20,24)．
故这一天共有8 h水深低于10.3 m.
课件22张PPT。谢谢！课下能力提升(十二)
[学业水平达标练]
题组1 三角函数在物理中的应用
1.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2π s B．π s C．0.5 s D．1 s
解析：选D 单摆来回摆动一次所需的时间为函数s＝6sin的周期．又因为T＝＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s，故选D.
2．如图是一个单摆的振动图象，根据图象回答下面问题：
(1)单摆的振幅为________；
(2)振动频率为________．
解析：由题中图象，可知(1)单摆的振幅是1 cm；(2)单摆的振动频率是1.25 Hz.
答案：(1)1 cm (2)1.25 Hz
题组2 三角函数在实际问题中的应用
3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( )
A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20]
解析：选C 由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]，故选C.
4．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
解析：选A 周期T＝15秒，ω＝＝.由图可知，水轮最高点距离水面5米，故A＋2＝5，即A＝3.
5．如图为2018年某市某天中6 h至14 h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，<φ<π)的半个周期的图象，则该天8 h的温度大约为( )
A．16 ℃ B．15 ℃
C．14 ℃ D．13 ℃
解析：选D 由题意得A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20.∵2×(14－6)＝16，∴＝16，∴ω＝，∴y＝10sin＋20，将x＝6，y＝10代入得10sin×6＋φ＋20＝10，即sin＝－1，由于<φ<π，可得φ＝，∴y＝10sin＋20，x∈[6,14]．当x＝8时，y＝10sin＋20＝20－5≈13，即该天8 h的温度大约为13 ℃，故选D.
6.如图，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
解：(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
则解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝＝，
∴y＝100sin＋800.
又当t＝6时，y＝900，∴900＝100sin＋800，
∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取φ＝－，
∴y＝100sin＋800.
(2)当t＝2时，y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
题组3 建立三角函数模型解决实际问题
7．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下列函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的是( )
A．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
解析：选A y＝f(t)的关系对应的“散点图”如下：
由“散点图”可知，k＝12，A＝3.
周期T＝12，所以ω＝.
又t＝0时，y＝12，t＝3时，y≈15.
所以φ＝0.因此，y＝12＋3sin t，故选A.
[能力提升综合练]
1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解析：选C 该题目考查了最值与周期间的关系：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，故选C.
2.如图是函数y＝sin x(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是( )
解析：选A 当x∈时，f(x)＝π－2x；当x∈时，f(x)＝2x－π，故选A.
3．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1] B．[1,7] C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
解析：选D 由已知可得该函数的周期T＝12，∴ω＝＝.又∵当t＝0时，A，∴y＝sin，t∈[0,12]．可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
4.如图，半圆的直径为2，A为直径MN的延长线上一点，且OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为边作等边三角形ABC.当∠AOB＝x时，S四边形OACB等于( )
A．sin x
B．sin x－cos x＋
C．－cos x＋
D．sin x＋cos x－
解析：选B 如图，S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC.过点B作BD⊥MN于D，则BD＝BOsin(π－x)，即BD＝sin x.∴S△AOB＝×2sin x＝sin x.∵OD＝BOcos(π－x)＝－cos x，∴AB2＝BD2＋AD2＝sin2x＋(－cos x＋2)2＝5－4cos x.∴S△ABC＝AB·＝－cos x.∴S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC＝sin x－cos x＋.
5．一根长a cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，t∈，则小球摆动的周期为________．
解析：T＝＝.
答案：
6．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．
解析：由条件可知，B＝7，A＝9－7＝2.
又T＝2×(9－3)＝12，∴ω＝＝.
∵3月份达到最高价，∴3×＋φ＝，∴φ＝0.
所以f(x)的解析式为f(x)＝2sin x＋7.
答案：f(x)＝2sin x＋7(1≤x≤12，x∈N)
7.如图，某市某天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这一天最大的温差；
(2)求这段曲线的函数解析式．
解：(1)由图象得这一天的最高温度是－2 ℃，最低温度是－12 ℃，所以这一天最大的温差是－2－(－12)＝10(℃)．
(2)由(1)得解得
由图象得函数的周期T＝2×(14－6)＝16，则＝16，解得ω＝.
所以y＝5sin－7.
由图象知点(6，－12)在函数的图象上，
则－12＝5sin－7，整理得sin＝－1，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，则可取φ＝.
所以这段曲线的函数解析式是y＝5sin－7(6≤x≤14)．
8．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?
解：(1)依题意知T＝＝12，故ω＝，h＝＝12.2，
A＝16－12.2＝3.8，所以d＝3.8sin＋12.2；
又因为t＝4时，d＝16，所以sin＝1，
所以φ＝－，所以d＝3.8sin＋12.2.
(2)t＝17时，d＝3.8sin＋12.2＝3.8sin ＋12.2≈15.5(m)．
(3)令3.8sin＋12.2<10.3，有sin<－，
因此2kπ＋<t－<2kπ＋(k∈Z)，
所以2kπ＋<t<2kπ＋2π，k∈Z，
所以12k＋8令k＝0，得t∈(8,12)；令k＝1，得t∈(20,24)．
故这一天共有8 h水深低于10.3 m.
