考点一
三角函数的概念
1．在直角坐标系中，设任意角α终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r＝，则sin α＝；cos α＝；tan α＝.
2．任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与点P在终边上的位置无关；角与三角函数值的对应关系是多值对应关系，给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应．
3．三角函数值在各象限的符号有如下记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．依据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限．
[典例1] 已知角α的终边经过点P(12m，－5m)(m≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．
解：r＝＝13|m|，
若m>0，则r＝13m，α为第四象限角，
sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，tan α＝＝＝－.
若m<0，则r＝－13m，α为第二象限角，
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－.
[对点训练]
1．(1)α是第四象限角，P(，x)为其终边上一点，且sin α＝x，则cos α的值为( )
A. B. C. D．－
(2)若－<α<0，则点P(tan α，cos α)位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：(1)由定义可得sin α＝＝x，x<0，可得x＝－，∴cos α＝＝.
(2)∵－<α<0，∴tan α<0，cos α>0，∴点P(tan α，cos α)位于第二象限．
答案：(1)A (2)B
考点二
同角三角函数基本关系式和诱导公式
三角函数式的化简、求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．化简的顺序是：
(1)先用诱导公式化为同角三角函数．
(2)再用同角三角函数关系化简．
用同角三角函数关系化简时，有两种思路：①化弦法：当切函数的项比较少时，常常化弦达到化简的目的；②化切法：当弦函数的项比较少或者正、余弦的表达式是齐次式时，常常化切，便于化简．
[典例2] 已知＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．
解：＝＝－4，解得tan θ＝2.
(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)
＝sin θcos θ－sin2 θ－3cos2 θ＋3sin θcos θ
＝
＝
＝＝.
[对点训练]
2．化简下列各式：
(1)＋
；
(2)＋－tan 36°·tan 54°.
解：(1)原式＝＋
＝－＋
＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1.
(2)原式＝＋－tan 36°·tan 54°
＝－＋1－tan 36°tan 54°
＝－
＝
＝＝－.
考点三
三角函数图象及变换
(1)“五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与x轴的交点，描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和余弦曲线．
(2) ]函数y=sin x的图象变换到函数y=Asin（ωx+φ）的图象时，法则是针对自变量x和因变量y，左加右减，上加下减.途径是相位变换φ（φ≠0）→周期变换ω(ω>0)→振幅变换A(A>0)和周期变换ω(ω>0)→相位变换φ(φ≠0)→振幅变换A(A>0)．注意二者平移量的不同．
(3)由已知条件确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，需要确定A，ω，φ，其中A，ω易求，下面介绍求φ的几种方法．
①平衡点法
由y＝Asin(ωx＋φ)＝Asin知它的平衡点的横坐标为－，所以我们可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为x1＝－，则可求φ.
②确定最值法
这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程．
③利用单调性
将函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与y＝sin x的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出φ.
[典例3] 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
的图象上的一个最低点为M，周期为π.
(1)求f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式；
(3)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
解：(1)由题可知T＝＝π，∴ω＝2.又f(x)min＝－2，
∴A＝2.由f(x)的最低点为M，得sin＝－1.
∵0<φ<，∴<＋φ<.
∴＋φ＝.∴φ＝.∴f(x)＝2sin.
(2)y＝2sin
y＝2sin＝2sin
y＝2sin＝2sin x，∴g(x)＝2sin x.
(3)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤.
∴当2x＋＝，即x＝0时，f(x)min＝2sin ＝1，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2sin ＝.
[对点训练]
3．(1)把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴的方程为( )
A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝
(2)设函数f(x)＝cos ωx(ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
A. B．3 C．6 D．9
解析：(1)将y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象；再将图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin2x－＋＝sin＝－cos 2x的图象，故x＝－是其图象的一条对称轴的方程．
(2)由题意可知，nT＝(n∈N*)，∴n·＝(n∈N*)，∴ω＝6n(n∈N*)，∴当n＝1时，ω取得最小值6.
答案：(1)A (2)C
4.如图，是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的一段图象．
(1)求此函数解析式；
(2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的？
解：(1)由图象知A＝＝，k＝＝－1，T＝2×＝π，
∴ω＝＝2.∴y＝sin(2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝.
∴所求函数解析式为y＝sin－1.
(2)把y＝sin x向左平移个单位，得到y＝sin，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到y＝sin，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sin，最后把函数y＝sin的图象向下平移1个单位，得到y＝sin－1的图象.
考点四
三角函数的性质
(1)函数y＝sin x和y＝cos x的周期是2π，y＝tan x的周期是π；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期是，y＝Atan(ωx＋φ)的周期是.
(2)函数y＝sin x和y＝cos x的有界性为：－1≤sin x，cos x≤1，函数y＝tan x没有最值．有界性可用来解决三角函数的最值问题．
(3)函数y＝sin x在上递增，在上递减；函数y＝cos x在[－π＋2kπ，2kπ]上递增，在[2kπ，2kπ＋π]上递减；函数y＝tan x在上递增，以上k∈Z.
(4)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角化到同一单调区间内；求形如f(ωx＋φ)的单调区间时，采用整体代换的方法将ωx＋φ视为整体求解相应x的范围即可，注意ω的符号及f对单调性的影响．
[典例4] 函数f(x)＝3sin2x＋的部分图象如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
[对点训练]
5．函数f(x)＝3sin的图象为C.
①图象C关于直线x＝对称；
②函数f(x)在区间内是增函数；
③由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
以上三个论断中，正确论断的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C ①f＝3sin＝3sin ＝－3，
∴直线x＝为对称轴，①对；②由－课件31张PPT。谢谢！阶段质量检测（一）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若角α的终边经过点P(－1,3)，则tan α的值为( )
A．－ B．－3 C．－ D.
解析：选B 由定义，若角α的终边经过点P(－1,3)，∴tan α＝－3.故选B.
2．若sin α＝，<α<π，则sin＝( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选A ∵sin＝cos α，
又<α<π，sin α＝，∴cos α＝－.
3．已知扇形的半径为r，周长为3r，则扇形的圆心角等于( )
A. B．1 C. D．3
解析：选B 弧长l＝3r－2r＝r，则圆心角α＝＝1.
4．函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－
解析：选C f(x)＝sin的图象的对称轴为x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，
当k＝－1时，则其中一条对称轴为x＝－.
5．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝cos D．y＝sin
解析：选D 周期为π，排除A，B；y＝cos＝－sin 2x在上为增函数，y＝sin＝cos 2x在上为减函数，所以选D.
6．函数f(x)＝tan的单调增区间为( )
A.，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选C 令kπ－7．已知sin＝，则sin的值为( )
A. B．－ C. D．－
解析：选C ∵＋＝π，∴－α＝π－，
∴sin＝sin＝sin＝.
8．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选B 函数y＝sin＝cos－2x－＝cos＝cos＝cos2x－.故选B.
9．函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值之和为( )
A. B．2 C．0 D.
解析：选A f(x)＝1－sin2x＋sin x＝－2＋，
∵－≤x≤，∴－≤sin x≤.
当sin x＝－时，f(x)min＝；当sin x＝时，f(x)max＝，
∴f(x)min＋f(x)max＝＋＝.
10．同时具有下列性质的函数可以是( )
①对任意x∈R，f(x＋π)＝f(x)恒成立；
②图象关于直线x＝对称；
③在上是增函数．
A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin
C．f(x)＝cos D．f(x)＝cos
解析：选B 依题意知，满足条件的函数的周期是π，图象以直线x＝为对称轴，且在上是增函数．对于A选项，函数周期为4π，因此A选项不符合；对于C选项，f＝－1，但该函数在上不是增函数，因此C选项不符合；对于D选项，f≠±1，即函数图象不以直线x＝为对称轴，因此D选项不符合．综上可知，应选B.
11.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin或y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
解析：选C 由图象可知A＝2，因为－＝，所以T＝π，ω＝2.当x＝－时，2sin＝2，即sin＝1，又|φ|<π，解得φ＝.故函数的解析式为y＝2sin.
12．函数f(x)＝Asin ωx(ω>0)，对任意x有f＝f，且f＝－a，那么f等于( )
A．a B．2a C．3a D．4a
解析：选A 由f＝f，得f(x＋1)＝f＝f＝f(x)，
即1是f(x)的周期．而f(x)为奇函数，则f＝f＝－f＝a.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知tan α＝－，<α<π，那么cos α－sin α的值是________．
解析：因为<α<π，所以cos α<0，sin α>0，所以cos α＝－＝－＝－＝－＝－.sin α＝，所以cos α－sin α＝－.
答案：－
14．函数f(sin x)＝cos 2x，那么f的值为________．
解析：令sin x＝，得x＝2kπ＋或x＝2kπ＋，k∈Z，所以f＝cos ＝.
答案：
15．定义运算a*b为a*b＝例如1*2=1，则函数f（x）=sin x*cos x的值域为________．
解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为.
答案：
16．给出下列4个命题：①函数y＝的最小正周期是；②直线x＝是函数y＝2sin的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－，且α为第二象限角，则tan α＝－；④函数y＝cos(2－3x)在区间上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．
解析：函数y＝sin的最小正周期是π，则y＝的最小正周期为，故①正确．
对于②，当x＝时，2sin＝2sin ＝－2，故②正确．
对于③，由(sin α＋cos α)2＝得2sin αcos α＝－，α为第二象限角，所以sin α－cos α＝＝，所以sin α＝，cos α＝－，所以tan α＝－，故③正确．
对于④，函数y＝cos(2－3x)的最小正周期为，而区间长度>，显然④错误．
答案：①②③
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知tan α＋＝，求2sin2(3π－α)－3cos＋αsin＋2的值．
解：tan α＋＝，即2tan2α－5tan α＋2＝0，解得tan α＝或tan α＝2.
2sin2(3π－α)－3cossin＋2
＝2sin2α－3sin αcos α＋2
＝＋2
＝＋2.
当tan α＝时，原式＝＋2＝－＋2＝；
当tan α＝2时，原式＝＋2＝＋2＝.
18．(12分)已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
解：(1)f＝2sin＝2sin ＝
(2)令2kπ－≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
所以2kπ－≤x≤＋2kπ，k∈Z，
解得6kπ－π≤x≤2π＋6kπ，k∈Z，
所以函数f(x)＝2sin的单调递增区间为[6kπ－π，2π＋6kπ]，k∈Z.
19．(12分)已知函数f(x)＝3sin.
(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
(2)写出f(x)的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．
解：(1)列表如下：
x
－
x＋
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
3sin
0
3
0
－3
0
描点画图如图所示．
(2)由图可知，值域为[－3,3]，最小正周期为2π，
对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，
单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)．
20．(12分)如图，函数y＝2sin(πx＋φ)，x∈R的图象与y轴交于点(0,1)．
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝2sin(πx＋φ)的单调递增区间；
(3)求使y≥1的x的集合．
解：(1)因为函数图象过点(0,1)，
所以2sin φ＝1，即sin φ＝.
因为0≤φ≤，所以φ＝.
(2)由(1)得y＝2sin，
所以当－＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，
即－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z时，
y＝2sin是增函数，故y＝2sin的单调递增区间为，k∈Z.
(3)由y≥1，得sin≥，
所以＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，
即2k≤x≤＋2k，k∈Z，
所以y≥1时，x的集合为.
21．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝时，f(x)取得最大值3；当x＝时，f(x)取得最小值－3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)若x∈时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m的图象与x轴有两个交点，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意，A＝3，T＝2＝π，ω＝＝2.
由2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，
又因为－π<φ<π，所以φ＝.所以f(x)＝3sin.
(2)由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
则＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(3)由题意知，方程sin＝在上有两个根．
因为x∈，所以2x＋∈.
所以∈.所以m∈[3＋1,7)．
22．(12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－b(ω>0,0<φ<π)的图象两相邻对称轴之间的距离是.若将f(x)的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得图象对应的函数g(x)为奇函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的对称轴及单调区间；
(3)若对任意x∈，f2(x)－(2＋m)f(x)＋2＋m≤0恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为＝2×，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)－b.
又因为函数g(x)＝sin－b＋为奇函数，且0<φ<π，
所以φ＝，b＝，故f(x)＝sin－.
(2)令2x＋＝＋kπ，k∈Z，得对称轴为直线x＝＋，k∈Z.
令2x＋∈，k∈Z，
得单调递增区间为，k∈Z，
令2x＋∈，k∈Z，
得单调递减区间为，k∈Z.
(3)因为x∈，所以－≤f(x)≤1－，
所以－1－≤f(x)－1≤－.
因为f2(x)－(2＋m)f(x)＋2＋m≤0恒成立，
整理可得m≤＋f(x)－1.
由－1－≤f(x)－1≤－，得≤＋f(x)－1≤－，
故m≤，即实数m的取值范围是.
