2.1平面向量的实际背景及基本概念
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P74～P76的内容，回答下列问题．
(1)我们在物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？
提示：位移、速度、力是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小，没有方向．
(2)对既有大小，又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？
提示：用有向线段．
(3)若向量a与向量b相等，则它们应具备什么条件？
提示：长度相等且方向相同．
2．归纳总结，核心必记
(1)向量的概念
数学中，我们把像力、位移等这种既有大小，又有方向的量叫做向量．
(2)有向线段
带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．
(3)向量的表示方法
①向量可以用有向线段表示．向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作| |.
②用字母表示向量：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，在手写时用带箭头的小写字母，，，…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，， .
(4)几种特殊的向量
①零向量：长度为0的向量，叫做零向量，记作0.
②单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量．
③相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量．
④平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，如果向量a和b平行，记作a∥b；规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.
[问题思考]
(1)两个向量能比较大小吗？
提示：不能．因为向量是具有方向的量．
(2)向量就是有向线段，这种说法对吗？
提示：不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量．
(3)“若a∥b，且b∥c，则a∥c”这个说法对吗？
提示：不对，若b＝0，则a、c均可以是任意向量，所以a、c不一定平行．平面几何中平行的传递性：a∥b，且b∥c，则a∥c，在向量的平行中并不适用．解题时我们也要充分考虑0的特殊性．
[课前反思]
(1)向量的概念： ；
(2)有向线段： ；
(3)向量的表示方法： ；
(4)零向量： ；
(5)单位向量： ；
(6)相等向量： ；
(7)平行向量(共线向量)： .
知识点1
向量的有关概念
?讲一讲
1．(1)下列说法中正确的是( )
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
(2)下列说法中正确的有( )
①单位向量的长度大于零向量的长度；
②零向量与任一单位向量平行；
③因为平行向量也叫作共线向量，所以平行向量所在的直线也一定共线；
④因为相等向量的相等关系具有传递性，所以平行向量的平行关系也具有传递性；
⑤因为相等向量一定是平行向量，所以平行向量也一定是相等向量．
A．①② B．①②④ C．①③⑤ D．①②③
[尝试解答] (1)不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确．
(2)①正确，因为单位向量的长度为1，零向量的长度为0.②正确．③错误，平行向量所在的直线可能不共线．④错误，平行向量的平行关系不具有传递性．⑤错误，平行向量不一定是相等向量．
答案：(1)D (2)A
类题·通法
解决与向量概念有关问题的方法
解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．
?练一练
1．下列说法错误的有________．(填上你认为所有符合的序号)
(1)两个单位向量不可能平行；
(2)两个非零向量平行，则它们所在直线平行；
(3)当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a|＞|b|，则a＞b.
解析：(1)错误，单位向量也可以平行；
(2)错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；
(3)错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．
答案：(1)(2)(3)
知识点2
向量的表示
?讲一讲
2．(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．
(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
①，使||＝4，点A在点O北偏东45°；
②，使| |＝4，点B在点A正东；
③，使||＝6，点C在点B北偏东30°.
[尝试解答] (1)由向量的几何表示可知，可以写出12个向量，它们分别是，，，，，，，，，，， .
(2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
②由于点B在点A正东方向处，且| |＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
③由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
答案：(1)12
类题·通法
用有向线段表示向量的方法
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．
必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．
?练一练
2．一辆汽车从A出发向西行驶了100 km到达B点，然后改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量、、；
(2)求汽车从A点到D点的位移大小||.
解：(1)向量、、如图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，故与共线．又| |＝||，所以在四边形ABCD中，AB綊CD，所以四边形ABCD为平行四边形，所以||＝||＝200 km.
知识点3
相等向量与共线向量
[思考1] 两个向量相等的条件是什么？
提示：方向相同，模相等．
[思考2] 两个向量共线的条件是什么？
名师指津：两个非零向量的方向相同或相反，则这两个向量为平行向量，也叫做共线向量.0与任意向量共线．
?讲一讲
3．如图所示，已知点O为正方形ABCD的对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．
(1)与相等的向量有________，与相等的向量有________；
(2)与共线的向量有____________________；
(3)与的模相等的向量有____________________．
[尝试解答] (1)根据相等向量定义可知
＝，＝.
(2)根据共线向量的定义可知，与共线的向量为， ， .
(3)易知||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||.
答案：(1) (2) ，， (3) ，，，，，，
类题·通法
寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是与已知向量方向相同的向量．
?练一练
3．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则
(1)与向量相等的向量有________；
(2)与向量共线，且模相等的向量有________；
(3)与向量共线，且模相等的向量有________．
解析：向量相等?向量方向相同且模相等．
向量共线?表示有向线段所在的直线平行或重合．
答案：(1) ，
(2) ，，，，
(3) ，，，，
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是向量的概念、向量的表示方法及几种特殊的向量，难点是几种特殊向量的概念及应用．
2．要重点掌握向量的三个问题
(1)向量有关概念的辨析，见讲1；
(2)向量的表示，见讲2；
(3)相等向量与共线向量的应用，见讲3.
3．本节课要注意两个区别
(1)向量与数量
①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向．
②数量可以比较大小，向量不能比较大小．
(2)向量与有向线段
①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．
②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．
课下能力提升(十三)
[学业水平达标练]
题组1 向量的有关概念
1．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h 的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
解析：选C 速度和位移是向量，由向量不能比较大小可知A，B错；汽车走的路程为240 km，摩托车走的路程为90 km，故C正确．
2.如图，在圆O中，向量， ，是( )
A．有相同起点的向量
B．单位向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
解析：选C 由题图可知三向量方向不同，但长度相等．
3．下列命题：
①若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；
②若向量是单位向量，则向量也是单位向量；
③以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C 由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确．因为| |＝||，所以当是单位向量时，也是单位向量，故②正确．因为向量是单位向量，故||＝1，所以点P是以A为圆心的单位圆上的一点；反过来，若点P是以A为圆心的单位圆上的任意一点，则因为||＝1，所以向量是单位向量，故③正确．
题组2 向量的表示
4．一个人先向东行进了5千米，而后又向西行进了3千米，那么这个人总共( )
A．向东行进了8千米 B．向东行进了2千米
C．向东行进了5千米 D．向西行进了3千米
解析：选B 记向东方向为正，则向东行进了5千米为＋5千米，向西行进了3千米为－3千米，则＋5＋(－3)＝＋2，表示向东行进了2千米．
5．如图，在矩形ABCD中，可以用一条有向线段表示的向量是( )
A．和
B．和
C．和
D．和
解析：选B 和方向相同且大小相等，是相等向量，故可以用一条有向线段表示．
6.在如图的方格纸中，画出下列向量．
(1)| |＝3，点A在点O的正西方向；
(2)| |＝3，点B在点O北偏西45°方向；
(3)求出||的值．
解：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示．
(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以| |＝＝3.
题组3 相等向量与共线向量
7．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有( )
A．一组 B．二组
C．三组 D．四组
解析：选A 由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即＝.
8．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有( )
A．2个 B．3个 C．6个 D．9个
解析：选D 与向量共线的向量有， ，，，，，，，，共9个．
9．如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，那么以图中各点为起点或终点的向量中：
(1)与共线的向量有_____________________________________________；
(2)与相等的向量有_____________________________________________；
(3)与模相等的向量有___________________________________________．
解析：(1)与已知向量在同一直线上或平行的向量都是它的共线向量，根据题意，与共线的向量有， ，，，，，.
(2)与已知向量相等的向量与已知向量方向相同、长度相等，于是与相等的向量有，.
(3)向量的模相等，只需长度相等，与方向无关，根据正方形和等腰直角三角形的性质，可知与模相等的向量有，，，，，，，，.
答案：(1) ，，，，，， (2) ，
(3) ，，，，，，，，
10．如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量平行且模为的向量共有几个？与向量方向相同且模为3的向量共有几个？
解：(1)依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反向量都和平行且模为.
因为共有12个小方格，所以满足条件的向量共有24个．
(2)易知与向量方向相同且模为3的向量共有2个．
[能力提升综合练]
1．如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量 相等的向量是( )
A．与
B．与
C．与
D．与
解析：选B 向量相等要求模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量．
2．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝( )
A．1 B. C．2 D．2
解析：选D 易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝，则||＝2||＝2.故选D.
3．下列说法中正确的是( )
A．| |与线段BA的长度不相等
B．对任一向量a，|a|>0总是成立的
C．| |＝||
D．若a∥b，且|a|＝1 005，|b|＝1 013，则|a＋b|＝2 018
解析：选C | |，||分别与线段AB，BA的长度相等，所以A不正确，C正确；|0|＝0，对任一向量a，|a|≥0总成立，所以B不正确；对于D，当a与b方向相反时，|a＋b|＝8，故D不正确．
4．给出下列命题：①若|a|＝0，则 a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|.其中，正确的命题有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：选A ①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等．
5．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.
解析：因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，
所以|a0|＋|b0|＝2.
答案：③
6.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量有________；
(2)若| |＝3，则||＝________.
解析：(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，可知与向量相等的向量有，.(2)因为| |＝3，||＝2| |，所以||＝6.
答案：(1) ， (2)6
7．有下列说法：
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③在?ABCD中，一定有＝；
④若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑤共线向量是在一条直线上的向量．
其中，正确的说法是________．
解析：对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；
对于②，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；
对于③，在?ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，所以＝，故③正确；
对于④，a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故④正确；
对于⑤，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故⑤不正确．
答案：③④
8．如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方络纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解：(1)画出所有的向量，如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝，
∴||的最大值为，最小值为.
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[学业水平达标练]
题组1 向量的有关概念
1．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h 的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
解析：选C 速度和位移是向量，由向量不能比较大小可知A，B错；汽车走的路程为240 km，摩托车走的路程为90 km，故C正确．
2.如图，在圆O中，向量， ，是( )
A．有相同起点的向量
B．单位向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
解析：选C 由题图可知三向量方向不同，但长度相等．
3．下列命题：
①若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；
②若向量是单位向量，则向量也是单位向量；
③以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C 由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确．因为| |＝||，所以当是单位向量时，也是单位向量，故②正确．因为向量是单位向量，故||＝1，所以点P是以A为圆心的单位圆上的一点；反过来，若点P是以A为圆心的单位圆上的任意一点，则因为||＝1，所以向量是单位向量，故③正确．
题组2 向量的表示
4．一个人先向东行进了5千米，而后又向西行进了3千米，那么这个人总共( )
A．向东行进了8千米 B．向东行进了2千米
C．向东行进了5千米 D．向西行进了3千米
解析：选B 记向东方向为正，则向东行进了5千米为＋5千米，向西行进了3千米为－3千米，则＋5＋(－3)＝＋2，表示向东行进了2千米．
5．如图，在矩形ABCD中，可以用一条有向线段表示的向量是( )
A．和
B．和
C．和
D．和
解析：选B 和方向相同且大小相等，是相等向量，故可以用一条有向线段表示．
6.在如图的方格纸中，画出下列向量．
(1)| |＝3，点A在点O的正西方向；
(2)| |＝3，点B在点O北偏西45°方向；
(3)求出||的值．
解：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示．
(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以| |＝＝3.
题组3 相等向量与共线向量
7．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有( )
A．一组 B．二组
C．三组 D．四组
解析：选A 由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即＝.
8．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有( )
A．2个 B．3个 C．6个 D．9个
解析：选D 与向量共线的向量有， ，，，，，，，，共9个．
9．如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，那么以图中各点为起点或终点的向量中：
(1)与共线的向量有_____________________________________________；
(2)与相等的向量有_____________________________________________；
(3)与模相等的向量有___________________________________________．
解析：(1)与已知向量在同一直线上或平行的向量都是它的共线向量，根据题意，与共线的向量有， ，，，，，.
(2)与已知向量相等的向量与已知向量方向相同、长度相等，于是与相等的向量有，.
(3)向量的模相等，只需长度相等，与方向无关，根据正方形和等腰直角三角形的性质，可知与模相等的向量有，，，，，，，，.
答案：(1) ，，，，，， (2) ，
(3) ，，，，，，，，
10．如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量平行且模为的向量共有几个？与向量方向相同且模为3的向量共有几个？
解：(1)依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反向量都和平行且模为.
因为共有12个小方格，所以满足条件的向量共有24个．
(2)易知与向量方向相同且模为3的向量共有2个．
[能力提升综合练]
1．如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量 相等的向量是( )
A．与
B．与
C．与
D．与
解析：选B 向量相等要求模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量．
2．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝( )
A．1 B. C．2 D．2
解析：选D 易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝，则||＝2||＝2.故选D.
3．下列说法中正确的是( )
A．| |与线段BA的长度不相等
B．对任一向量a，|a|>0总是成立的
C．| |＝||
D．若a∥b，且|a|＝1 005，|b|＝1 013，则|a＋b|＝2 018
解析：选C | |，||分别与线段AB，BA的长度相等，所以A不正确，C正确；|0|＝0，对任一向量a，|a|≥0总成立，所以B不正确；对于D，当a与b方向相反时，|a＋b|＝8，故D不正确．
4．给出下列命题：①若|a|＝0，则 a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|.其中，正确的命题有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：选A ①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等．
5．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.
解析：因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，
所以|a0|＋|b0|＝2.
答案：③
6.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量有________；
(2)若| |＝3，则||＝________.
解析：(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，可知与向量相等的向量有，.(2)因为| |＝3，||＝2| |，所以||＝6.
答案：(1) ， (2)6
7．有下列说法：
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③在?ABCD中，一定有＝；
④若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑤共线向量是在一条直线上的向量．
其中，正确的说法是________．
解析：对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；
对于②，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；
对于③，在?ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，所以＝，故③正确；
对于④，a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故④正确；
对于⑤，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故⑤不正确．
答案：③④
8．如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方络纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解：(1)画出所有的向量，如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝，
∴||的最大值为，最小值为.
