2.2 平面向量的线性运算
第1课时 向量加法运算及其几何意义
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P80～P83的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P80图2.2－1，思考：某对象从A点经B点到C点，两次位移、的结果是什么？与从A点直接到C点的位移有什么关系？
提示：从A点经B点到C点，两次位移、的结果是位移，与从A点直接到C点的位移相等．
(2)观察教材P80“探究”的内容，思考：
①力F对橡皮条产生的效果，与力F1与F2共同产生的效果相同吗？
提示：产生的效果相同．
②力F与力F1、F2有怎样的关系？
提示：力F是F1与F2的合力．力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．
(3)数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的什么运算？
提示：F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成可看作向量的加法．
2．归纳总结，核心必记
(1)向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2)向量加法的运算法则
向量求和的法则
三角形法则
已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量 叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ .
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a
平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作?OACB，则以O为起点的对角线 就是a与b的和．我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
(3)向量加法的运算律
①交换律：a＋b＝b＋a；
②结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
[问题思考]
(1)两个向量相加就是两个向量的模相加吗？
提示：因为向量既有大小，又有方向，所以两个向量相加不是模的相加．两个向量相加应满足三角形法则或平行四边形法则．
(2)当两非零向量a，b共线时，向量加法的平行四边形法则还能用吗？三角形法则呢？
提示：平行四边形法则不能用，但三角形法则可用．
(3)式子＋＝0正确吗？
提示：＋的和为零向量，即＋＝0，0不能写成0，故式子＋＝0不正确．
[课前反思]
(1)向量加法的定义： ；
(2)求向量和的三角形法则： ；
(3)求向量和的平行四边形法则： ；
(4)向量加法的交换律： ；
(5)向量加法的结合律： .
知识点1
求作向量的和
[思考1] 求作两个向量和的方法有哪些？
提示：三角形法则和平行四边形法则．
[思考2] 三角形法则和平行四边形法则的适用条件有什么不同？
名师指津：(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
如图所示，＝＋ (平行四边形法则)，
又∵＝，∴＝＋ (三角形法则)．
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量的起点相同.
?讲一讲
1．(1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出a＋b；
(2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.
[尝试解答] (1)如图?所示，设＝a，∵a与b有公共点A，故过A点作＝b，连接即为a＋b.
(2)如图?，设＝a，过O点作＝b，则以OA、OB为邻边作?OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b.
类题·通法
应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．
(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．
?练一练
1．如图，已知a、b、c，求作向量a＋b＋c.
解：作法：在平面内任取一点O，如图所示．
作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c.
知识点2
向量加法运算
[思考] 向量加法有哪些运算律？
名师指津：向量加法的交换律：a＋b＝b＋a；向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
?讲一讲
2．化简下列各式：
(1) ＋＋＋＋；
(2)( ＋)＋＋＋.
[尝试解答] (1) ＋＋＋＋
＝＋＋＋＋＝＋＋(＋)
＝＋＝0.
(2)( ＋)＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
＝＋＋
＝＋＝0.
类题·通法
解决向量加法运算时应关注两点
(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．
(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.
?练一练
2．如图，在△ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列三式：
(1) ＋＋；
(2) ＋＋；
(3) ＋＋.
解：(1) ＋＋＝＋＝.
(2) ＋＋
＝(＋)＋＝＋
＝.
(3) ＋＋
＝＋＋＝＋
＝.
知识点3
向量加法的应用
?讲一讲
3．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
[尝试解答] 如图所示，设，分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km.
则飞机飞行的路程指的是| |＋||；
两次飞行的位移的和指的是＋＝.
依题意，有| |＋||＝800＋800＝1 600 (km)．
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.
所以||＝＝＝800(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
类题·通法
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
?练一练
3．轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．
解：如图所示，
设、分别是轮船的两次位移，则表示最终位移，且＝＋.
在Rt△ABD中，||＝20 km，||＝20 km，
在Rt△ACD中，||＝＝40 km，
∠CAD＝60°，
即此时轮船位于A港东偏北60°，且距离A港40 km处．
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用．
2．要掌握向量加法的三个问题
(1)求作向量的和，见讲1；
(2)向量加法运算，见讲2；
(3)向量加法的应用，见讲3.
3．求作向量时应注意以下两点
(1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
(2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”．
课下能力提升(十四)
[学业水平达标练]
题组1 求作向量的和
1．如图，已知两个不共线的非零向量a，b，求作a＋b.
解：在平面内任取一点O，
作＝a，＝b.则＝a＋b.
2．已知两非零向量a，b(如图所示)求作a＋b.
解：如图
所示：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.
题组2 向量加法运算
3.如图，D，E，F分别为△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A．＋＋＝0
B．－＋＝0
C．＋－＝0
D．－－＝0
解析：选A 因为D，E，F分别为△ABC的边AB，BC，CA的中点，所以＝，＝.又因为＋＋＝0，所以＋＋＝0，故选A.
4．化简下列各式：
①＋＋；②(＋)＋＋；③＋＋＋；④＋＋＋.
其中结果为0的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 由向量加法的运算法则知①④的结果为0.②③的结果分别为，.故选B.
5．在矩形ABCD中，| |＝4，||＝2，则向量＋＋的长度等于( )
A．2 B．4
C．12 D．6
解析：选B 因为＋＝，所以＋＋的长度为的模的2倍，故答案是4.
6．根据图示填空．
(1) ＋＝________；
(2) ＋＋＝________；
(3) ＋＋2＝________.
解析：由三角形法则知
(1) ＋＝＋＝；
(2) ＋＋＝；
(3) ＋＋2＝＋.
答案：(1) (2) (3) ＋
7．在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝________.
解析：因为＋＝0，＋＝0，所以＋＋＋＝0.
答案：0
8．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，根据图示计算：
(1) ＋；
(2) ＋；
(3) ＋.
解：(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以＋＝.
(2)因为与方向相同且长度相等，所以与是相等向量，故＋与方向相同，长度为长度的2倍，因此＋可用表示．所以＋＝－.
(3)因为与长度相等且方向相反，所以＋＝0.
题组3 向量加法的应用
9．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
解析：如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则||＝8 km，∠BAC＝45°.
答案：8 km 北偏东45°
10．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s，现在有风，风使雨滴以 m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向．
解：如图，用表示雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度．以，为邻边作平行四边形OACB，就是雨滴下落的实际速度．
在Rt△OAC中，||＝4，||＝，
∴||＝＝＝，
∴tan∠AOC＝＝＝，∴∠AOC＝30°.
故雨滴着地时的速度大小是 m/s，方向与垂直方向成30°角向东.
[能力提升综合练]
1．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( )
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；
⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
A．①② B．①③
C．①③⑤ D．③④⑤
解析：选C a＝(＋)＋(＋)＝＋＋(＋)＝0，
∴①③⑤是正确的．
2．下列命题中正确的个数为( )
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同；
②△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点；
④若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|.
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B ①错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；②正确；③错，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0；④错，|a＋b|≤|a|＋|b|.
3.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝( )
A． B．
C． D．
解析：选B ＋＋＝＋＋＝＋＝.
4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
解析：选D ＋＝，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外．
5．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________.
解析：∵||＝||且∠AOB＝90°，
∴|a＋b|为以OA，OB为邻边的正方形的对角线的长，
∴|a＋b|＝3.
答案：3
6．若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝________.
解析：∵＋＝，则四边形APBC是平行四边形．
又P为△ABC的外心，
∴||＝||＝||.
因此∠ACB＝120°.
答案：120°
7．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O且| |＝||＝1，＋＝＋＝0，cos∠DAB＝.求|＋|与|＋|.
解：∵＋＝＋＝0，
∴＝，＝.∴四边形ABCD是平行四边形．
又| |＝||＝1，知四边形ABCD为菱形．
又cos∠DAB＝，∠DAB∈(0，π)，
∴∠DAB＝60°，
∴△ABD为正三角形．
∴|＋|＝| ＋|＝||＝2||＝，
|＋|＝||＝| |＝1.
8．已知船在静水中的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
解：作出图形，如图．
船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，
四边形ABCD为平行四边形，
在Rt△ACD中，||＝| |＝|v水|＝10 m/min，
||＝|v船|＝20 m/min，
∴cos α＝＝＝，
∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．
故船行进的方向是与水流的方向成120°的角．
课件30张PPT。谢谢！课下能力提升(十四)
[学业水平达标练]
题组1 求作向量的和
1．如图，已知两个不共线的非零向量a，b，求作a＋b.
解：在平面内任取一点O，
作＝a，＝b.则＝a＋b.
2．已知两非零向量a，b(如图所示)求作a＋b.
解：如图
所示：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.
题组2 向量加法运算
3.如图，D，E，F分别为△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A．＋＋＝0
B．－＋＝0
C．＋－＝0
D．－－＝0
解析：选A 因为D，E，F分别为△ABC的边AB，BC，CA的中点，所以＝，＝.又因为＋＋＝0，所以＋＋＝0，故选A.
4．化简下列各式：
①＋＋；②(＋)＋＋；③＋＋＋；④＋＋＋.
其中结果为0的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 由向量加法的运算法则知①④的结果为0.②③的结果分别为，.故选B.
5．在矩形ABCD中，| |＝4，||＝2，则向量＋＋的长度等于( )
A．2 B．4
C．12 D．6
解析：选B 因为＋＝，所以＋＋的长度为的模的2倍，故答案是4.
6．根据图示填空．
(1) ＋＝________；
(2) ＋＋＝________；
(3) ＋＋2＝________.
解析：由三角形法则知
(1) ＋＝＋＝；
(2) ＋＋＝；
(3) ＋＋2＝＋.
答案：(1) (2) (3) ＋
7．在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝________.
解析：因为＋＝0，＋＝0，所以＋＋＋＝0.
答案：0
8．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，根据图示计算：
(1) ＋；
(2) ＋；
(3) ＋.
解：(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以＋＝.
(2)因为与方向相同且长度相等，所以与是相等向量，故＋与方向相同，长度为长度的2倍，因此＋可用表示．所以＋＝－.
(3)因为与长度相等且方向相反，所以＋＝0.
题组3 向量加法的应用
9．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
解析：如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则||＝8 km，∠BAC＝45°.
答案：8 km 北偏东45°
10．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s，现在有风，风使雨滴以 m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向．
解：如图，用表示雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度．以，为邻边作平行四边形OACB，就是雨滴下落的实际速度．
在Rt△OAC中，||＝4，||＝，
∴||＝＝＝，
∴tan∠AOC＝＝＝，∴∠AOC＝30°.
故雨滴着地时的速度大小是 m/s，方向与垂直方向成30°角向东.
[能力提升综合练]
1．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( )
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；
⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
A．①② B．①③
C．①③⑤ D．③④⑤
解析：选C a＝(＋)＋(＋)＝＋＋(＋)＝0，
∴①③⑤是正确的．
2．下列命题中正确的个数为( )
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同；
②△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点；
④若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|.
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B ①错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；②正确；③错，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0；④错，|a＋b|≤|a|＋|b|.
3.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝( )
A． B．
C． D．
解析：选B ＋＋＝＋＋＝＋＝.
4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
解析：选D ＋＝，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外．
5．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________.
解析：∵||＝||且∠AOB＝90°，
∴|a＋b|为以OA，OB为邻边的正方形的对角线的长，
∴|a＋b|＝3.
答案：3
6．若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝________.
解析：∵＋＝，则四边形APBC是平行四边形．
又P为△ABC的外心，
∴||＝||＝||.
因此∠ACB＝120°.
答案：120°
7．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O且| |＝||＝1，＋＝＋＝0，cos∠DAB＝.求|＋|与|＋|.
解：∵＋＝＋＝0，
∴＝，＝.∴四边形ABCD是平行四边形．
又| |＝||＝1，知四边形ABCD为菱形．
又cos∠DAB＝，∠DAB∈(0，π)，
∴∠DAB＝60°，
∴△ABD为正三角形．
∴|＋|＝| ＋|＝||＝2||＝，
|＋|＝||＝| |＝1.
8．已知船在静水中的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
解：作出图形，如图．
船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，
四边形ABCD为平行四边形，
在Rt△ACD中，||＝| |＝|v水|＝10 m/min，
||＝|v船|＝20 m/min，
∴cos α＝＝＝，
∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．
故船行进的方向是与水流的方向成120°的角．
