第2课时 向量减法运算及其几何意义
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P85～P86的内容，回答下列问题．
(1)一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗？若有，如何表示？
提示：一个数x的相反数是－x.一个向量a有相反向量，记为－a.
(2)任何一个数x与它相反数的和为0，那么向量a与它的相反向量的和是什么？
提示：a＋(－a)＝0.
(3)根据前一节所学的内容，你能作出向量a与b的差a－b吗？
提示：可以，先作－b，再按向量加法的平形四边形法则或三角形法则作出a＋(－b)即可．
2．归纳总结，核心必记
(1)相反向量
与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
①规定：零向量的相反向量仍是零向量；
②－(－a)＝a；
③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
④若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
(2)向量的减法
①定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
②几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b，如图所示，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
[问题思考]
(1)若两个非零向量a与b互为相反向量，则a与b应具备什么条件？
提示：①长度相等；②方向相反．
(2)相反向量与相反数一样吗？
提示：不一样．相反数是两个数符号相反，绝对值相等，相反向量是指两个向量方向相反，模相等．
(3)若a－b＝c－d，则a＋d＝b＋c成立吗？
提示：成立．移项法则对向量的运算是成立的．
[课前反思]
(1)相反向量的定义： ；
(2)向量减法的定义： ；
(3)向量减法的几何意义： .
知识点1
向量的减法运算
?讲一讲
1．化简：(1)( －)－(－)；
(2)( ＋＋)－(－－)．
[尝试解答] (1)( －)－(－)
＝(＋)－(＋)
＝－＝0.
(2)( ＋＋)－(－－)
＝(＋)－(－)
＝－
＝0.
类题·通法
(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和；
②起点相同且为差．
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．
?练一练
1．化简下列各式：
(1) －－；
(2) ＋－；
(3) －－.
解：(1) －－
＝＋＝.
(2) ＋－
＝－＝.
(3) －－
＝＋＋
＝＋＋＝.
知识点2
向量减法及其几何意义
[思考1] 已知两个非零向量a，b，如何作a－b?
名师指津：求作两向量的差可以转化为两个向量的和，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，并指向被减向量．
[思考2] a－b的几何意义是什么？
名师指津：a－b的几何意义是：当向量a，b的始点相同时，从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
?讲一讲
2．(1)四边形ABCD中，若＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
(2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
[尝试解答] (1) ＝－＝(＋)－
＝a＋c－b.
(2)法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
答案：(1)A
类题·通法
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
?练一练
2．如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：
(1)b＋c－a；
(2)a－b－c.
解：(1)以，为邻边作?OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，
所以b＋c－a＝－＝，
如图所示．
(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，
如图，作?OBEC，连接OE，
则＝＋＝b＋c，
连接AE，则＝a－(b＋c)
＝a－b－c.
知识点3
利用已知向量表示未知向量
?讲一讲
3．如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
[尝试解答] 由题意知，
＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，
则(1) ＝＋＋＝d＋e＋a.
(2) ＝－＝－－＝－b－c.
(3) ＝＋＋＝e＋a＋b.
(4) ＝－＝－(＋)＝－c－d.
类题·通法
利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意
(1)一个关键
一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
(2)三点注意
①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系；
②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；
③注意在封闭图形中利用多边形法则．
?练一练
3.如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1) ；(2) ；(3) －；
(4) ＋；(5) －.
解：(1) ＝－＝c－a.
(2) ＝＋＝－＝d－a.
(3) －＝＝－＝d－b.
(4) ＋
＝－＋－
＝b－a＋f－c.
(5) －
＝－－(－)＝－＝f－d.
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是相反向量、向量减法的运算以及利用已知向量表示未知向量，难点是利用已知向量表示未知向量．
2．要掌握向量减法的三个问题
(1)向量的减法运算，见讲1；
(2)向量减法及其几何意义，见讲2；
(3)利用已知向量表示未知向量，见讲3.
3．掌握用已知向量表示某向量的基本步骤
第一步：观察各向量的位置；
第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；
第三步：运用法则找关系；
第四步：化简结果．
课下能力提升(十五)
[学业水平达标练]
题组1 向量的减法运算
1．已知非零向量a与b同向，则a－b( )
A．必定与a同向
B．必定与b同向
C．必定与a是平行向量
D．与b不可能是平行向量
解析：选C 若|a|＞|b|，则a－b与a同向，若|a|＜|b|，则a－b与－b同向，若|a|＝|b|，则a－b＝0，方向任意，且与任意向量共线．故A，B，D皆错，故选C.
2．在△ABC中，向量可表示为( )
①－；②－；③＋；④－.
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
解析：选C 由向量的减法与加法可得②③④正确．
3．给出下面四个式子，其中结果为0的是( )
①＋＋；②＋＋＋；③－＋－；④＋＋－.
A．①② B．①③
C．①③④ D．②③
解析：选C ①＋＋＝＋＝0.②＋＋＋＝＋＝≠0.③－＋－＝＋－(＋)＝－＝0.④＋＋－＝＋＋＝＋＝0.
题组2 向量减法及其几何意义
4．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A．＝＋ B．＝－
C．＝－＋ D．＝－－
解析：选B 由减法法则知B正确．
5．若||＝8，||＝5，则| |的取值范围是( )
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
解析：选C 因为＝－，
故，同向共线时，| |＝||－||＝3；
当，反向共线时，则得| |＝||＋||＝13；
当，不共线时，由|||－|||＜|－|＜||＋||，可得3＜| |＜13.综合上述情况可得3≤| |≤13.
6．如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有______．(填序号)
①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋.
解析：∵－＋＝＋＝，＋＝＋＝≠，－＝≠，＋＝≠，∴填①.
答案：①
7．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|－＋－|，试判断△ABC的形状．
解：∵－＋－＝＋，－＝＝－.
又|－|＝|－＋－|，∴| ＋|＝| －|，∴以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，∴该平行四边形为矩形，∴AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形．
题组3 利用已知向量表示未知向量
8．如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为( )
A．a＋b－c
B．a－b＋c
C．b－a＋c
D．b－a－c
解析：选C ＝＋＝－＋＝b－a＋c.故选C.
9．已知一点O到?ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于( )
A．a＋b＋c B．a－b＋c
C．a＋b－c D．a－b－c
解析：选B 如图，点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有＝＋＝＋＝＋－＝a－b＋c.
10．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．
解析：＝＝＝－＝b－c.
答案：b－c
11．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
解：∵四边形ACDE是平行四边形，∴＝＝c，＝－＝b－a，＝－＝c－a，＝－＝c－b，∴＝＋＝b－a＋c.
[能力提升综合练]
1．有下列不等式或等式：
①|a|－|b|<|a＋b|<|a|＋|b|；
②|a|－|b|＝|a＋b|＝|a|＋|b|；
③|a|－|b|＝|a＋b|<|a|＋|b|；
④|a|－|b|<|a＋b|＝|a|＋|b|.
其中，一定不成立的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A ①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0，或b＝0，a≠0时成立；③当a与b共线，方向相反，且|a|≥|b|时成立；④当a与b共线，且方向相同时成立．
2.在如图所示的四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
解析：选A ＝－＋＋＝－b＋a＋c＝a－b＋c，故选A.
3．化简下列各式：
①－(－)；②－＋－；
③－＋；④＋＋－.
其中结果为0的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选D ①－(－)＝＋＋＝＋＝0.
②－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0.
③－＋＝＋＝0.
④＋＋－＝＋＝0.
以上各式化简后结果均为0，故选D.
4．边长为1的正三角形ABC中，|－|＝( )
A．1 B．2
C. D.
解析：选D 如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，则－＝＋＝＋＝.在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易得AD＝，∴| －|＝.
5.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝________.
解析：－－＋＋＝(－)－(－)＋＝－＋＝.
答案：
6．设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|＝2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i＝1,2,3，则b1－b2＋b3＝________.
解析：将ai顺时针旋转30°后得ai′，则a1′－a2′＋a3′＝0.
又∵bi与ai′同向，且|bi|＝2|ai|，∴b1－b2＋b3＝0.
答案：0
7．设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示， ，.
解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，
∴＝＋＝a＋b，
∴＝－
＝c－(a＋b)＝c－a－b.
又四边形ODHC为平行四边形，
∴＝＋＝c＋a＋b，
∴＝－＝a＋b＋c－b＝a＋c.
8．已知O为四边形ABCD所在平面外一点，且向量、、、满足等式＋＝＋.作图并观察四边形ABCD的形状，并证明．
解：通过作图(如图)可以发现四边形ABCD为平行四边形．
证明如下：
∵＋＝＋，
∴－＝－，
∴＝，
∴AB綊DC，∴四边形ABCD为平行四边形．
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[学业水平达标练]
题组1 向量的减法运算
1．已知非零向量a与b同向，则a－b( )
A．必定与a同向
B．必定与b同向
C．必定与a是平行向量
D．与b不可能是平行向量
解析：选C 若|a|＞|b|，则a－b与a同向，若|a|＜|b|，则a－b与－b同向，若|a|＝|b|，则a－b＝0，方向任意，且与任意向量共线．故A，B，D皆错，故选C.
2．在△ABC中，向量可表示为( )
①－；②－；③＋；④－.
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
解析：选C 由向量的减法与加法可得②③④正确．
3．给出下面四个式子，其中结果为0的是( )
①＋＋；②＋＋＋；③－＋－；④＋＋－.
A．①② B．①③
C．①③④ D．②③
解析：选C ①＋＋＝＋＝0.②＋＋＋＝＋＝≠0.③－＋－＝＋－(＋)＝－＝0.④＋＋－＝＋＋＝＋＝0.
题组2 向量减法及其几何意义
4．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A．＝＋ B．＝－
C．＝－＋ D．＝－－
解析：选B 由减法法则知B正确．
5．若||＝8，||＝5，则| |的取值范围是( )
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
解析：选C 因为＝－，
故，同向共线时，| |＝||－||＝3；
当，反向共线时，则得| |＝||＋||＝13；
当，不共线时，由|||－|||＜|－|＜||＋||，可得3＜| |＜13.综合上述情况可得3≤| |≤13.
6．如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有______．(填序号)
①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋.
解析：∵－＋＝＋＝，＋＝＋＝≠，－＝≠，＋＝≠，∴填①.
答案：①
7．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|－＋－|，试判断△ABC的形状．
解：∵－＋－＝＋，－＝＝－.
又|－|＝|－＋－|，∴| ＋|＝| －|，∴以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，∴该平行四边形为矩形，∴AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形．
题组3 利用已知向量表示未知向量
8．如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为( )
A．a＋b－c
B．a－b＋c
C．b－a＋c
D．b－a－c
解析：选C ＝＋＝－＋＝b－a＋c.故选C.
9．已知一点O到?ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于( )
A．a＋b＋c B．a－b＋c
C．a＋b－c D．a－b－c
解析：选B 如图，点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有＝＋＝＋＝＋－＝a－b＋c.
10．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．
解析：＝＝＝－＝b－c.
答案：b－c
11．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
解：∵四边形ACDE是平行四边形，∴＝＝c，＝－＝b－a，＝－＝c－a，＝－＝c－b，∴＝＋＝b－a＋c.
[能力提升综合练]
1．有下列不等式或等式：
①|a|－|b|<|a＋b|<|a|＋|b|；
②|a|－|b|＝|a＋b|＝|a|＋|b|；
③|a|－|b|＝|a＋b|<|a|＋|b|；
④|a|－|b|<|a＋b|＝|a|＋|b|.
其中，一定不成立的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A ①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0，或b＝0，a≠0时成立；③当a与b共线，方向相反，且|a|≥|b|时成立；④当a与b共线，且方向相同时成立．
2.在如图所示的四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
解析：选A ＝－＋＋＝－b＋a＋c＝a－b＋c，故选A.
3．化简下列各式：
①－(－)；②－＋－；
③－＋；④＋＋－.
其中结果为0的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选D ①－(－)＝＋＋＝＋＝0.
②－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0.
③－＋＝＋＝0.
④＋＋－＝＋＝0.
以上各式化简后结果均为0，故选D.
4．边长为1的正三角形ABC中，|－|＝( )
A．1 B．2
C. D.
解析：选D 如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，则－＝＋＝＋＝.在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易得AD＝，∴| －|＝.
5.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝________.
解析：－－＋＋＝(－)－(－)＋＝－＋＝.
答案：
6．设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|＝2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i＝1,2,3，则b1－b2＋b3＝________.
解析：将ai顺时针旋转30°后得ai′，则a1′－a2′＋a3′＝0.
又∵bi与ai′同向，且|bi|＝2|ai|，∴b1－b2＋b3＝0.
答案：0
7．设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示， ，.
解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，
∴＝＋＝a＋b，
∴＝－
＝c－(a＋b)＝c－a－b.
又四边形ODHC为平行四边形，
∴＝＋＝c＋a＋b，
∴＝－＝a＋b＋c－b＝a＋c.
8．已知O为四边形ABCD所在平面外一点，且向量、、、满足等式＋＝＋.作图并观察四边形ABCD的形状，并证明．
解：通过作图(如图)可以发现四边形ABCD为平行四边形．
证明如下：
∵＋＝＋，
∴－＝－，
∴＝，
∴AB綊DC，∴四边形ABCD为平行四边形．
