2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
第1课时 平面向量基本定理
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P93～P94的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P93图2.3－2的作图过程，思考：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任意向量a能否用e1，e2表示？根据是什么？
提示：可以．根据是数乘向量和平行四边形法则．
(2)平面内的任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？
提示：存在．
(3)两个非零向量夹角θ的取值范围是什么？当非零向量a与b共线时，它们的夹角是多少？
提示：两个非零向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°.当非零向量a与b共线时，它们的夹角是0°或180°.
2．归纳总结，核心必记
(1)平面向量基本定理
条件
e1、e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
(2)向量的夹角
条件
两个非零向量a和b
产生
过程
作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角
范围
[0，π]
特
殊
情
况
θ＝0°
a与b同向
θ＝90°
a与b垂直，记作a⊥b
θ＝180°
a与b反向
[问题思考]
(1)0能与另外一个向量a构成基底吗？
提示：不能．基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的．
(2)平面向量的基底是唯一的吗？
提示：不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．
(3)如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．
[课前反思]
(1)平面向量基本定理： ；
(2)基底： ；
(3)基向量： ；
(4)向量的夹角： .
知识点1
对基底向量概念的理解
?讲一讲
1．(1)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
①a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝；
④若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
(2)设e1，e2是平面内的一组基底，则下面四组向量不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e2＋e1
[尝试解答] (1)由平面向量的基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量的基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立．故选B.
(2)∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2和4e2－6e1共线，不能作为平面向量的一组基底．
答案：(1)B (2)B
类题·通法
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
?练一练
1．如果e1，e2是平面α内的一组基底，那么下列命题中正确的是( )
A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈R
D．对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
解析：选A A是正确的，B是错误的，这样的a只能是与e1，e2在同一个平面内的向量，不能是空间中的任一向量，C是错误的，在平面α内任一向量都可以表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内，D是错误的，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对，综上所述，只有A是正确的.
知识点2
向量的夹角问题
?讲一讲
2．已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
[尝试解答] 如图所示，
作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以，为邻边作平行四边形OACB，
则＝a＋b，＝a－b.因为|a|＝|b|＝2，
所以平行四边形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
类题·通法
两个向量夹角的实质及求解的关键
(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角．
(2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．
?练一练
2．如图，已知△ABC是等边三角形．
(1)求向量与向量的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．
解：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，
使AB＝BD，则＝，
∴∠DBC为向量与的夹角．
∵∠DBC＝120°，∴向量与的夹角为120°.
(2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴与的夹角为90°.
知识点3
平面向量基本定理的应用
?讲一讲
3．如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值．
[尝试解答] 在矩形OACB中，＝＋，
又＝λ＋μ
＝λ(＋)＋μ(＋)
＝λ＋μ
＝＋，
所以＝1，＝1，
所以λ＝μ＝.
类题·通法
(1)平面向量基本定理唯一性的应用
设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
(2)重要结论
设e1，e2是平面内一组基底，
当λ1e1＋λ2e2＝0时
恒有λ1＝λ2＝0
若a＝λ1e1＋λ2e2
当λ2＝0时，a与e1共线
当λ1＝0时，a与e2共线
λ1＝λ2＝0时，a＝0
?练一练
3．如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4∶1.
证明：设＝b，＝c，则＝b＋c，＝＝c，
＝＋＝c－b.
因为∥， ∥，
所以存在λ，μ∈R，
使得＝λ，＝μ，
又因为＋＝，
所以λ－μ＝，
所以λ－μ＝b，
即b＋c＝b.
又因为b与c不共线，
所以
解得
故＝.
即AP∶PM＝4∶1.
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是平面向量基本定理及其应用、平面向量的夹角，难点是平面向量基本定理的应用．
2．本节课要重点掌握以下三个问题
(1)正确理解基底向量的概念，见讲1；
(2)求向量的夹角，见讲2；
(3)用平面向量基本定理解决相关问题，见讲3.
3．本节课的易错点有两处
(1)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是[0，π]和.
(2)两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点所成的角，如练2.
课下能力提升(十七)
[学业水平达标练]
题组1 对基底向量概念的理解
1．已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )
A．e1，e1＋e2 B．e1－2e2，e2－2e1
C．e1－2e2,4e2－2e1 D．e1＋e2，e1－e2
解析：选C 因为4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，从而e1－2e2与4e2－2e1共线．
2．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以b与c作为基底，则＝( )
A.b＋c B.c－b
C.b－c D.b＋c
解析：选A ∵＝2，
∴－＝2(－)，
∴－c＝2(b－)，
∴＝c＋b.
3.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
解析：选B 取第Ⅲ部分内一点画图易得a>0，b<0.
题组2 向量的夹角问题
4．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
解析：选A 平移向量a，b使它们有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等可得向量－a与－b的夹角也是60°.
5．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选C 如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠C＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°.
6．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解：如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，
则＝＋.
在Rt△OCD中，
∵||＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，
∴||＝4，||＝2，
故＝4，＝2，
即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
题组3 平面向量基本定理的应用
7．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为( )
A．0,0 B．1,1 C．3,0 D．3,4
解析：选D ∵向量e1与e2不共线，
∴解得
8．已知在△ABC中，＝，P是BN上的一点．若＝m ＋，则实数m的值为( )
A. B. C. D.
解析：选C 设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ＝(1－λ) ＋＝m ＋，∴解得
9．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________.
解析：设e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)，∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.∵e1与e2不共线，∴∴∴e1＋e2＝a－b.
答案：a－b
10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得?
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m、n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴?∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴?
故所求λ，μ的值分别为3和1.
[能力提升综合练]
1.如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组：
①与；②与；
③与；④与.
其中可作为该平面内所有向量的基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：选B 与不共线，∥，与不共线，∥，所以①③可以作为该平面内所有向量的基底．
2．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝( )
A．2 B．4 C．5 D．7
解析：选B 以如图所示的两互相垂直的单位向量e1，e2为基底，则a＝－e1＋e2，b＝6e1＋2e2，c＝－e1－3e2，因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以－e1－3e2＝λ(－e1＋e2)＋μ(6e1＋2e2)＝(－λ＋6μ)e1＋(λ＋2μ)e2，所以解得所以＝4.故选B.
3．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，7＝5 ，＝4，EF交AC于点K，＝λ，则实数λ的值为( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选A 因为＝λ＝－λ＝－( ＋)，所以＝－.又E，F，K三点共线，所以－＝1，解得λ＝－.故选A.
4．如图，在△ABC中，M为边BC上不同于B，C的任意一点，点N满足＝2.若＝x ＋y，则x2＋9y2的最小值为________．
解析：根据题意，得＝＝x ＋y.因为M，B，C三点共线，所以有x＋y＝1，即x＋y＝，所以x2＋9y2＝2＋9y2＝10y2－y＋＝102＋，所以当y＝时，x2＋9y2取得最小值.
答案：
5．若a≠0，b≠0，|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为________．
解析：如图，作＝a，＝b，则＝a－b.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB.∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴∠BOA＝60°，四边形OACB为菱形．又＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，∴a与a＋b的夹角为30°.
答案：30°
6．如图所示，平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N是BC的中点，设＝b，＝d，＝m，＝n.
(1)试以b，d为基底表示；
(2)试以m，n为基底表示.
解：(1) ＝－
＝(＋)－(＋)
＝－＝(b－d)．
(2)m＝＋＝d＋ ，①
n＝＋＝＋d，
所以2n＝2 ＋d.②
由①②消去d，得＝n－m.
7．如图，已知△ABC的面积为14，D，E分别为边AB，BC上的点，AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，且AE与CD交于点P，求△APC的面积．
解：设＝a，＝b为一组基底，
则＝a＋b，＝a＋b.
∵点A，P，E共线且D，P，C共线，∴存在λ和μ，使＝λ＝λa＋λb，＝μ＝μa＋μb.
又＝＋＝a＋μb.
∴即
连接BP(图略)，则S△PAB＝S△ABC＝14×＝8，S△PBC＝14×＝2，∴S△APC＝14－8－2＝4.
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[学业水平达标练]
题组1 对基底向量概念的理解
1．已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )
A．e1，e1＋e2 B．e1－2e2，e2－2e1
C．e1－2e2,4e2－2e1 D．e1＋e2，e1－e2
解析：选C 因为4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，从而e1－2e2与4e2－2e1共线．
2．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以b与c作为基底，则＝( )
A.b＋c B.c－b
C.b－c D.b＋c
解析：选A ∵＝2，
∴－＝2(－)，
∴－c＝2(b－)，
∴＝c＋b.
3.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
解析：选B 取第Ⅲ部分内一点画图易得a>0，b<0.
题组2 向量的夹角问题
4．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
解析：选A 平移向量a，b使它们有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等可得向量－a与－b的夹角也是60°.
5．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选C 如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠C＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°.
6．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解：如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，
则＝＋.
在Rt△OCD中，
∵||＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，
∴||＝4，||＝2，
故＝4，＝2，
即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
题组3 平面向量基本定理的应用
7．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为( )
A．0,0 B．1,1 C．3,0 D．3,4
解析：选D ∵向量e1与e2不共线，
∴解得
8．已知在△ABC中，＝，P是BN上的一点．若＝m ＋，则实数m的值为( )
A. B. C. D.
解析：选C 设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ＝(1－λ) ＋＝m ＋，∴解得
9．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________.
解析：设e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)，∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.∵e1与e2不共线，∴∴∴e1＋e2＝a－b.
答案：a－b
10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得?
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m、n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴?∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴?
故所求λ，μ的值分别为3和1.
[能力提升综合练]
1.如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组：
①与；②与；
③与；④与.
其中可作为该平面内所有向量的基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：选B 与不共线，∥，与不共线，∥，所以①③可以作为该平面内所有向量的基底．
2．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝( )
A．2 B．4 C．5 D．7
解析：选B 以如图所示的两互相垂直的单位向量e1，e2为基底，则a＝－e1＋e2，b＝6e1＋2e2，c＝－e1－3e2，因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以－e1－3e2＝λ(－e1＋e2)＋μ(6e1＋2e2)＝(－λ＋6μ)e1＋(λ＋2μ)e2，所以解得所以＝4.故选B.
3．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，7＝5 ，＝4，EF交AC于点K，＝λ，则实数λ的值为( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选A 因为＝λ＝－λ＝－( ＋)，所以＝－.又E，F，K三点共线，所以－＝1，解得λ＝－.故选A.
4．如图，在△ABC中，M为边BC上不同于B，C的任意一点，点N满足＝2.若＝x ＋y，则x2＋9y2的最小值为________．
解析：根据题意，得＝＝x ＋y.因为M，B，C三点共线，所以有x＋y＝1，即x＋y＝，所以x2＋9y2＝2＋9y2＝10y2－y＋＝102＋，所以当y＝时，x2＋9y2取得最小值.
答案：
5．若a≠0，b≠0，|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为________．
解析：如图，作＝a，＝b，则＝a－b.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB.∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴∠BOA＝60°，四边形OACB为菱形．又＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，∴a与a＋b的夹角为30°.
答案：30°
6．如图所示，平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N是BC的中点，设＝b，＝d，＝m，＝n.
(1)试以b，d为基底表示；
(2)试以m，n为基底表示.
解：(1) ＝－
＝(＋)－(＋)
＝－＝(b－d)．
(2)m＝＋＝d＋ ，①
n＝＋＝＋d，
所以2n＝2 ＋d.②
由①②消去d，得＝n－m.
7．如图，已知△ABC的面积为14，D，E分别为边AB，BC上的点，AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，且AE与CD交于点P，求△APC的面积．
解：设＝a，＝b为一组基底，
则＝a＋b，＝a＋b.
∵点A，P，E共线且D，P，C共线，∴存在λ和μ，使＝λ＝λa＋λb，＝μ＝μa＋μb.
又＝＋＝a＋μb.
∴即
连接BP(图略)，则S△PAB＝S△ABC＝14×＝8，S△PBC＝14×＝2，∴S△APC＝14－8－2＝4.
