2.4 平面向量的数量积
第1课时 平面向量数量积的物理背景及其含义
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P103～P105的内容，回答下列问题．
观察教材P103图2.4－1和图2.4－2，思考：
(1)如何计算力F所做的功？
提示：W＝|F||s|cos θ.
(2)力F在位移方向上的分力是多少？
提示：|F|cos θ.
(3)力做功的大小与哪些量有关？
提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．
2．归纳总结，核心必记
(1)向量的数量积的定义
已知条件
向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ
定义
数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)
记法
a·b＝|a||b|cos θ
规定
零向量与任一向量的数量积为0
(2)向量的数量积的几何意义
①投影的概念：
(ⅰ)向量b在a的方向上的投影为|b|cos θ.
(ⅱ)向量a在b的方向上的投影为|a|cos θ.
②数量积的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
(3)向量数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
①a⊥b?a·b＝0.
②当a与b同向时，a·b＝|a||b|，
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
③a·a＝|a|2或|a|＝＝.
④cos θ＝.
⑤|a·b|≤|a||b|.
(4)向量数量积的运算律
①a·b＝b·a(交换律)．
②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[问题思考]
(1)向量的数量积与数乘向量的区别是什么？
提示：平面向量的数量积是关于两个向量间的运算，其运算结果是一个实数，这个实数的符号由两向量夹角的余弦值来确定．
向量的数乘是实数与向量间的运算，其结果是一个向量，这个向量与原向量是共线向量．
(2)数量积a·b与实数乘法ab的区别是什么？
提示：①在实数中，若a≠0，且ab＝0，则b＝0，但在数量积中，若a≠0且a·b＝0，不一定能推出b＝0，这是因为|b|cos θ有可能为0，即a⊥b.
②在实数中|ab|＝|a||b|，但在向量中|a·b|≤|a|·|b|.
(3)a⊥b与a·b＝0等价吗？
提示：当a与b为非零向量时，两者等价；当其中一个为零向量时，两者不等价．
(4)a·b＜0，则〈a，b〉是钝角吗？
提示：a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＜0，
∴cos〈a，b〉＜0，∴〈a，b〉是钝角或180°.
(5)a·b中的“·”能省略不写吗？
提示：不能省略，也不能换成其它符号，a与b的数量积又称a与b的点乘．
(6)对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？
提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立．
[课前反思]
(1)向量数量积的定义： ；
(2)向量数量积的几何意义： ；
(3)向量数量积的性质： ；
(4)向量数量积的运算律： .
知识点1
向量数量积的运算
[思考1] 要求a·b，需要知道哪些量？
名师指津：要求a·b，需要知道|a|、|b|、cos θ.
[思考2] 你认为，求平面向量数量积的步骤是什么？
名师指津：求平面向量数量积的步骤为：
(1)求a与b的夹角θ ，θ∈[0，π]；
(2)求|a|和|b|；
(3)代入公式求a·b的值．
?讲一讲
1．(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a－2b)．
(2)设正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
[尝试解答] (1)①由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b、b与c、c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos 120°×3＝－3.
类题·通法
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
?练一练
1．(1)已知下列命题：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③|a|·|b|<|a·b|；④a·a·a＝|a|3；⑤若向量a，b满足a·b>0，则a与b的夹角为锐角．其中所有正确命题的序号是________．
(2)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为60°，求：
①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)；③|a－b|.
解析：(1)对于①，∵a2＋b2＝0，∴|a|2＋|b|2＝0，∴|a|＝|b|＝0，∴a＝b＝0，故①正确；
对于②，∵a＋b＝0，∴a与b互为相反向量，设a与c夹角为θ，则b与c夹角为π－θ，则a·c＝|a||c|cos θ，b·c＝|b||c|cos(π－θ)＝－|b||c|cos θ，∴|a·c|＝|b·c|，所以②正确；
对于③，|a·b|＝|a|·|b||cos θ|≤|a|·|b|，故③错误；
对于④，a·a·a＝|a|2·a，其结果为向量，故④错误；
对于⑤，当a与b为同向的非零向量时，a·b＝|a||b|cos 0＝|a|·|b|>0，但夹角不是锐角，故⑤错误．
(2)①a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos 60°＝3.
②(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×22＋5×3－3×32＝－4.
③|a－b|＝＝＝＝.
答案：(1)①②
知识点2
向量的模
[思考] 如何求向量的模|a|?
提示：|a|＝.
?讲一讲
2．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|.
[尝试解答] (1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
将|a|＝4，|b|＝3代入上式，
得a·b＝－6，
所以cos θ＝＝＝－.又0≤θ≤π，
所以θ＝.
(2)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝13，
所以|a＋b|＝.
类题·通法
向量模的常见求法
在求向量的模时，直接运用公式|a|＝，但计算两向量的和与差的长度用|a±b|＝＝.
?练一练
2．(1)已知非零向量a＝2b＋2c，|b|＝|c|＝1，若a与b的夹角为，则|a|＝________；
(2)已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则|a－b|＝________.
解析：(1)由于c＝a－b，所以c2＝|a|2＋|b|2－2×|a||b|×，整理得|a|2－2|a|＝0，所以|a|＝2或|a|＝0(舍去)．
(2)由已知，|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2a·b＋b2＝16.(*)
∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，代入(*)式得4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3.
又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，
∴|a－b|＝.
答案：(1)2 (2)
知识点3
两向量的夹角与垂直问题
[思考1] 如何求a与b的夹角θ？
名师指津：利用cos θ＝求出cos θ的值，然后借助θ∈[0，π]求θ.
[思考2] 两非零向量a与b垂直的充要条件是什么？
名师指津：两非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0.
?讲一讲
3．(1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．
(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
[尝试解答] (1)设a与b的夹角为θ，依题意有：(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝，因为0≤θ≤π，故θ＝.
(2)由已知条件得
即
②－①得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，
∴|a|＝|b|，∴cos θ＝＝＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：(1)
类题·通法
求向量a，b的夹角θ的思路
(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．
?练一练
3．已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？
解：由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3.
由c⊥d，得c·d＝0，
即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)
＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2
＝27m＋3(5m－9)－60
＝42m－87＝0，
∴m＝，即m＝时，c与d垂直．
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是向量数量积的定义、几何意义以及向量数量积的性质、运算律，难点是向量数量积的几何意义．
2．要掌握与数量积相关的三个问题
(1)数量积的计算，见讲1；
(2)向量的模的计算，见讲2；
(3)向量的夹角及垂直问题，见讲3.
3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别
(1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：
①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.
(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cos θ|，而|cos θ|≤1.
(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.
(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
课下能力提升(十九)
[学业水平达标练]
题组1 向量数量积的运算
1．下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C ①②③正确，④⑤错误，|a·b|＝|a|·|b|·|cos θ|≥a·b，(a·b)2＝(|a|·|b|·cos θ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2.
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为( )
A. B．3 C．2 D.
解析：选A ∵|a|cos〈a，b〉＝，|b|＝3，
∴a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝3×＝.
3．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于( )
A. B. C．－ D．－
解析：选A ∵AM＝1，
且＝2，∴||＝.
如图，·(＋)＝·2＝·＝()2＝2＝.
4.如图所示，在平行四边形ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°.
求：(1) ·；
(2) ·；
(3) ·.
解：(1) ·＝||2＝9；
(2) ·＝－| |2＝－16；
(3) ·＝| |||cos (180°－60°)
＝4×3×＝－6.
题组2 向量的模
5．已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝( )
A．1 B.
C．4＋ D．2
解析：选B 根据题意，得|a＋2b|＝＝.故选B.
6．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：选C ∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72，∴|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6或|a|＝－4.又|a|≥0，∴|a|＝6.
7．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________.
解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b，
∴|a＋2b|＝，|a－2b|＝.
故cos 120°＝＝
＝＝－，得＝，即＝.
答案：
题组3 两向量的夹角与垂直问题
8．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选C 因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b·b＝0，所以a·b＝－|b|2.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，故θ＝120°.
9．已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夹角为60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，那么m的值为( )
A. B. C. D.
解析：选C 由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0,3m×32＋(5m－3)×3×2cos 60°－5×22＝0，解得m＝.
10．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是________．
解析：(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cos θ－2×16＝－14－3×3×4cos θ≥4，∴cos θ≤－，∴θ∈.
答案：
11．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a，b的夹角为60°.
(1)求(2a－b)·(a＋b)；
(2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值．
解：(1)由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝1×4×＝2.∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12.
(2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，
∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，
∴λ＝12.
[能力提升综合练]
1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ＝45°，则向量a在向量b上的投影为( )
A. B．3 C．4 D．5
解析：选A 由已知|a|＝3，|b|＝5，cos θ＝cos 45°＝，而向量a在向量b上的投影为|a|cos θ＝3×＝.
2．如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝( )
A．20 B. C．2 D.
解析：选C 由题意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，所以a＋b＝－2e1－4e2，
所以|a＋b|
＝
＝＝＝2，
故选C.
3．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·等于( )
A．2 B. C. D.
解析：选D 因为＝－＝ －，
所以·＝(－)·
＝ ·－·.
又AD⊥AB，所以·＝0，
所以·＝ ·.
又＝－，所以·＝ ·
＝(－)·＝ 2－ ·＝.
4．已知平面向量a，b满足|a＋b|＝1，|a－b|＝x，a·b＝－x，则x＝( )
A. B．2 C. D．3
解析：选B |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝x2，两式相减得4a·b＝1－x2.又a·b＝－x，所以1－x2＝－x，解得x＝2或x＝－(舍去)．故选B.
5．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)，知α·(α－2β)＝0,2α·β＝1，
所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，故|2α＋β|＝.
答案：
6．设向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解：由题意，知e＝4，e＝1，e1·e2＝1，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7，
∴2t2＋15t＋7<0，解得－7当2te1＋7e2与e1＋te2共线时，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ<0)??2t2＝7?t＝－，λ＝－，
∴当t＝－时，2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.
∴实数t的取值范围是∪－，－.
7．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.
(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；
(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？
解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2＝|b|22＋|a|2－.
∵b是非零向量，∴|b|≠0，∴当t＝－时，|u|＝|a＋tb|的值最小．
(2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋＝a·b－a·b＝0，
∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u.
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[学业水平达标练]
题组1 向量数量积的运算
1．下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C ①②③正确，④⑤错误，|a·b|＝|a|·|b|·|cos θ|≥a·b，(a·b)2＝(|a|·|b|·cos θ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2.
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为( )
A. B．3 C．2 D.
解析：选A ∵|a|cos〈a，b〉＝，|b|＝3，
∴a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝3×＝.
3．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于( )
A. B. C．－ D．－
解析：选A ∵AM＝1，
且＝2，∴||＝.
如图，·(＋)＝·2＝·＝()2＝2＝.
4.如图所示，在平行四边形ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°.
求：(1) ·；
(2) ·；
(3) ·.
解：(1) ·＝||2＝9；
(2) ·＝－| |2＝－16；
(3) ·＝| |||cos (180°－60°)
＝4×3×＝－6.
题组2 向量的模
5．已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝( )
A．1 B.
C．4＋ D．2
解析：选B 根据题意，得|a＋2b|＝＝.故选B.
6．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：选C ∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72，∴|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6或|a|＝－4.又|a|≥0，∴|a|＝6.
7．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________.
解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b，
∴|a＋2b|＝，|a－2b|＝.
故cos 120°＝＝
＝＝－，得＝，即＝.
答案：
题组3 两向量的夹角与垂直问题
8．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选C 因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b·b＝0，所以a·b＝－|b|2.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，故θ＝120°.
9．已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夹角为60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，那么m的值为( )
A. B. C. D.
解析：选C 由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0,3m×32＋(5m－3)×3×2cos 60°－5×22＝0，解得m＝.
10．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是________．
解析：(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cos θ－2×16＝－14－3×3×4cos θ≥4，∴cos θ≤－，∴θ∈.
答案：
11．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a，b的夹角为60°.
(1)求(2a－b)·(a＋b)；
(2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值．
解：(1)由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝1×4×＝2.∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12.
(2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，
∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，
∴λ＝12.
[能力提升综合练]
1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ＝45°，则向量a在向量b上的投影为( )
A. B．3 C．4 D．5
解析：选A 由已知|a|＝3，|b|＝5，cos θ＝cos 45°＝，而向量a在向量b上的投影为|a|cos θ＝3×＝.
2．如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝( )
A．20 B. C．2 D.
解析：选C 由题意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，所以a＋b＝－2e1－4e2，
所以|a＋b|
＝
＝＝＝2，
故选C.
3．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·等于( )
A．2 B. C. D.
解析：选D 因为＝－＝ －，
所以·＝(－)·
＝ ·－·.
又AD⊥AB，所以·＝0，
所以·＝ ·.
又＝－，所以·＝ ·
＝(－)·＝ 2－ ·＝.
4．已知平面向量a，b满足|a＋b|＝1，|a－b|＝x，a·b＝－x，则x＝( )
A. B．2 C. D．3
解析：选B |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝x2，两式相减得4a·b＝1－x2.又a·b＝－x，所以1－x2＝－x，解得x＝2或x＝－(舍去)．故选B.
5．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)，知α·(α－2β)＝0,2α·β＝1，
所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，故|2α＋β|＝.
答案：
6．设向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解：由题意，知e＝4，e＝1，e1·e2＝1，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7，
∴2t2＋15t＋7<0，解得－7当2te1＋7e2与e1＋te2共线时，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ<0)??2t2＝7?t＝－，λ＝－，
∴当t＝－时，2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.
∴实数t的取值范围是∪－，－.
7．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.
(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；
(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？
解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2＝|b|22＋|a|2－.
∵b是非零向量，∴|b|≠0，∴当t＝－时，|u|＝|a＋tb|的值最小．
(2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋＝a·b－a·b＝0，
∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u.
