第2课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P106～P107的内容，回答下列问题．
已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)若i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量，则a，b如何用i，j表示？
提示：a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.
(2)|a|，|b|分别用坐标怎样表示？
提示：|a|＝＝；
|b|＝＝.
(3)能用a，b的坐标表示a·b吗？
提示：a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2
＝x1x2＋y1y2.
2．归纳总结，核心必记
(1)平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
(2)两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
(3)三个重要公式
①向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
②两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则| |＝.
③向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝ .
[问题思考]
(1)已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？
提示：设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号，负号分别表示与a同向和反向．
易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，
∴与a垂直的单位向量b0的坐标为
±，其中正，负号表示不同的方向．
(2)你能用向量法推导两点间距离公式|AB|＝吗？
提示：＝(x2－x1，y2－y1)，
∴·＝2＝| |2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，
即| |＝.
∴|AB|＝.
[课前反思]
(1)平面向量数量积的坐标表示： ；
(2)两个向量垂直的坐标表示： ；
(3)向量模的公式： ；
(4)向量的夹角公式： .
知识点1
平面向量数量积的坐标运算
?讲一讲
1．(1)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝( )
A．12 B．0 C．－3 D．－11
(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
(3)已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6,3)，若b·c＝14，|c|＝5，则向量c的坐标为________．
[尝试解答] (1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.
(2)由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.
(3)因为2b＝(a＋2b)－a＝(6,3)－(2，－1)＝(4,4)，所以b＝(2,2)．设c＝(x，y)，则由题可知解得或所以c＝(3,4)或c＝(4,3)．
答案：(1)C (2)C (3)(3,4)或(4,3)
类题·通法
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
?练一练
1．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.
解：(1)因为a与b同向，又b＝(1,2)，所以a＝λb＝(λ，2λ)．
又a·b＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0.
因为λ＝2符合a与b同向的条件，所以a＝(2,4)．
(2)因为b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，所以(b·c)·a＝0·a＝0.
知识点2
向量模的问题
[思考] 向量的模与两点间的距离有什么关系？
名师指津：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得＝a＝(x，y)，∴||＝|a|＝，即|a|为点A到原点的距离．同样若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，∴| |＝，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．
?讲一讲
2．(1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，则|a－b|的最小值为________．
(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：
①向量a的模；
②与a平行的单位向量的坐标；
③与a垂直的单位向量的坐标．
[尝试解答] (1)∵a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，∴a－b＝(2x－1,3－x)－(1－x,2x－1)＝(3x－2,4－3x)，
∴|a－b|＝
＝＝.
∴当x＝1时，|a－b|取最小值为.
(2)①∵a＝＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，
∴|a|＝＝5.
②与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)，
即坐标为或.
③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴＝.
又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1.
解得或
∴e＝或.
答案：(1)
类题·通法
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
?练一练
2．已知向量a＝(，－1)和b＝(1，)，若a·c＝b·c，试求模为的向量c的坐标．
解：法一：设c＝(x，y)，
则a·c＝(，－1)·(x，y)＝x－y，b·c＝(1，)·(x，y)＝x＋y，
由a·c＝b·c及|c|＝，
得
解得或
所以c＝
或c＝.
法二：由于a·b＝×1＋(－1)×＝0，且|a|＝|b|＝2，从而以a，b为邻边的平行四边形是正方形，且由于a·c＝b·c，所以c与a，b的夹角相等，从而c与正方形的对角线共线．此外，由于|c|＝，即其长度为正方形对角线长度(|b|＝2)的一半，故c＝(a＋b)＝或c＝－(a＋b)＝.
知识点3
向量的夹角与垂直问题
[思考] 当a与b是非坐标形式时，如何求a与b的夹角？如果a与b是坐标形式时，又如何求a与b的夹角？
名师指津：(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出a·b，|a|和|b|或直接得出它们之间的关系．
(2)若a，b是坐标形式，则可直接利用公式cos θ＝求解．
?讲一讲
3．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
[尝试解答] (1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，
∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．
设m、n的夹角为θ，
则cos θ＝
＝
＝＝－.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝，
即m、n的夹角为.
类题·通法
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cos θ＝求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
(2)由于0≤θ≤π，所以利用cos θ＝来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.
?练一练
3．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，求满足下列条件的实数λ的取值范围．
(1)a与b的夹角为90°.
(2)a与b的夹角为锐角．
解：(1)设a与b的夹角为θ.|a|＝＝，|b|＝，a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.因为a⊥b，
所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为锐角，
所以cos θ>0，且cos θ≠1，所以a·b>0且a与b不同向．因此1＋2λ>0，所以λ>－.
又a与b共线且同向时，λ＝2.
所以a与b的夹角为锐角时，λ的取值范围为∪(2，＋∞)．
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是向量的坐标表示以及用向量的坐标解决模、夹角、垂直等问题．
2．要掌握平面向量数量积的坐标运算及应用
(1)求平面向量的数量积，见讲1；
(2)解决向量模的问题，见讲2；
(3)解决向量的夹角与垂直问题，见讲3.
3．本节课的易错点
解决两向量的夹角问题时，易忽视夹角为0或π的特殊情况，如练3.
课下能力提升(二十)
[学业水平达标练]
题组1 平面向量数量积的坐标运算
1．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，则a·b的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选D a＋b＝(3，k＋2)，由a＋b与a共线，可得3k－(k＋2)＝0，解得k＝1，则a＝(1,1)，从而a·b＝1×2＋1×2＝4.
2．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为( )
A. B．3 C．－ D．－3
解析：选D 向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.
3．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝( )
A. B. C. D．(1,0)
解析：选B 法一：设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝x＋y＝.
由，解得即b＝.故选B.
法二：利用排除法．D中，y＝0，
∴D不符合题意；C中，向量不是单位向量，
∴C不符合题意；A中，向量使得a·b＝2，
∴A不符合题意．故选B.
题组2 向量模的问题
4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．4 B．2
C．8 D．8
解析：选D 易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c|＝＝8.
5．已知向量m＝(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1，则|n|＝( )
A．－1 B．1 C．2 D．－2
解析：选B cos ＝＝＝－，|n|＝1.故选B.
6．已知a＝(2,1)与b＝(1,2)，要使|a＋tb|最小，则实数t的值为________．
解析：∵a＋tb＝(2＋t,1＋2t)，∴|a＋tb|＝＝.∴当t＝－时，|a＋tb|有最小值.
答案：－
题组3 向量的夹角与垂直问题
7．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
解析：选C 由题意知|a|＝＝1，|b|＝＝，a·b＝1×＋0×＝，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直．
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设c＝(m，n)，
则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，
由(c＋a)∥b，
得－3(1＋m)＝2(2＋n)，
又c⊥(a＋b)，得3m－n＝0，
故m＝－，n＝－.
9．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的余弦值．
解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
又·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥，即AB⊥AD.
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，
∴，解得，∴点C的坐标为(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
∴·＝8＋8＝16>0，||＝2，||＝2.
设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝>0，
∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
10．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，∴x2＋y2＝20.
由c∥a和|c|＝2，可得解得或
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，
∴cos θ＝＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
[能力提升综合练]
1．已知向量＝(－1,2)，＝(3，m)，若⊥，则m的值是( )
A. B．－ C．4 D．－4
解析：选C ∵＝(－1,2)，＝(3，m)，
∴＝－＝(4，m－2)，
又∵⊥，
∴·＝－1×4＋2(m－2)＝－8＋2m＝0，
解得m＝4.
2．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0)
解析：选C 设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，∴·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故当x＝3时，·最小，此时点P的坐标为(3,0)．
3．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角θ的余弦值等于( )
A. B．－ C. D．－
解析：选C 设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，
所以解得故b＝(－5,12)，所以cos θ＝＝.
4．已知向量a＝(1,0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是( )
A．[0， ] B．[1， ]
C．[1,2] D．[，2]
解析：选D |a＋b|＝＝.∵θ∈，∴cos θ∈[0,1]．∴|a＋b|∈[，2]．
5.如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B，若⊥，则向量的坐标为________．
解析：依题意设B(cos θ，sin θ)，0≤θ≤π，
则＝(cos θ，sin θ)，＝(1,1)．
因为⊥，
所以·＝0，
即cos θ＋sin θ＝0，
解得θ＝，
所以＝.
答案：
6．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．
解析：因为a与b的夹角为锐角，所以0<<1，
即0<<1，
解得λ<－或0<λ<或λ>.
答案：∪∪
7.如图，已知A(1,1)，B(5,4)，C(2,5)，设向量a是与向量垂直的单位向量．
(1)求单位向量a的坐标；
(2)求向量在向量a上的投影；
(3)求△ABC的面积S△ABC.
解：(1)设a＝(x，y)，依题意有＝(4,3)，| |＝5，|a|＝1，且a⊥，即a·＝0，
所以解得或
所以a＝或a＝.
(2)设向量与单位向量a的夹角为θ，在a上的投影为h，则h＝||cos θ＝＝·a.又因为＝(1,4)，所以
当a＝时，h＝1×＋4×＝；
当a＝时，h＝1×＋4×＝－.
(3)S△ABC＝| ||h|＝×5×＝.
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[学业水平达标练]
题组1 平面向量数量积的坐标运算
1．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，则a·b的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选D a＋b＝(3，k＋2)，由a＋b与a共线，可得3k－(k＋2)＝0，解得k＝1，则a＝(1,1)，从而a·b＝1×2＋1×2＝4.
2．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为( )
A. B．3 C．－ D．－3
解析：选D 向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.
3．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝( )
A. B. C. D．(1,0)
解析：选B 法一：设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝x＋y＝.
由，解得即b＝.故选B.
法二：利用排除法．D中，y＝0，
∴D不符合题意；C中，向量不是单位向量，
∴C不符合题意；A中，向量使得a·b＝2，
∴A不符合题意．故选B.
题组2 向量模的问题
4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．4 B．2
C．8 D．8
解析：选D 易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c|＝＝8.
5．已知向量m＝(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1，则|n|＝( )
A．－1 B．1 C．2 D．－2
解析：选B cos ＝＝＝－，|n|＝1.故选B.
6．已知a＝(2,1)与b＝(1,2)，要使|a＋tb|最小，则实数t的值为________．
解析：∵a＋tb＝(2＋t,1＋2t)，∴|a＋tb|＝＝.∴当t＝－时，|a＋tb|有最小值.
答案：－
题组3 向量的夹角与垂直问题
7．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
解析：选C 由题意知|a|＝＝1，|b|＝＝，a·b＝1×＋0×＝，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直．
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设c＝(m，n)，
则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，
由(c＋a)∥b，
得－3(1＋m)＝2(2＋n)，
又c⊥(a＋b)，得3m－n＝0，
故m＝－，n＝－.
9．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的余弦值．
解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
又·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥，即AB⊥AD.
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，
∴，解得，∴点C的坐标为(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
∴·＝8＋8＝16>0，||＝2，||＝2.
设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝>0，
∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
10．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，∴x2＋y2＝20.
由c∥a和|c|＝2，可得解得或
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，
∴cos θ＝＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
[能力提升综合练]
1．已知向量＝(－1,2)，＝(3，m)，若⊥，则m的值是( )
A. B．－ C．4 D．－4
解析：选C ∵＝(－1,2)，＝(3，m)，
∴＝－＝(4，m－2)，
又∵⊥，
∴·＝－1×4＋2(m－2)＝－8＋2m＝0，
解得m＝4.
2．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0)
解析：选C 设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，∴·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故当x＝3时，·最小，此时点P的坐标为(3,0)．
3．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角θ的余弦值等于( )
A. B．－ C. D．－
解析：选C 设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，
所以解得故b＝(－5,12)，所以cos θ＝＝.
4．已知向量a＝(1,0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是( )
A．[0， ] B．[1， ]
C．[1,2] D．[，2]
解析：选D |a＋b|＝＝.∵θ∈，∴cos θ∈[0,1]．∴|a＋b|∈[，2]．
5.如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B，若⊥，则向量的坐标为________．
解析：依题意设B(cos θ，sin θ)，0≤θ≤π，
则＝(cos θ，sin θ)，＝(1,1)．
因为⊥，
所以·＝0，
即cos θ＋sin θ＝0，
解得θ＝，
所以＝.
答案：
6．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．
解析：因为a与b的夹角为锐角，所以0<<1，
即0<<1，
解得λ<－或0<λ<或λ>.
答案：∪∪
7.如图，已知A(1,1)，B(5,4)，C(2,5)，设向量a是与向量垂直的单位向量．
(1)求单位向量a的坐标；
(2)求向量在向量a上的投影；
(3)求△ABC的面积S△ABC.
解：(1)设a＝(x，y)，依题意有＝(4,3)，| |＝5，|a|＝1，且a⊥，即a·＝0，
所以解得或
所以a＝或a＝.
(2)设向量与单位向量a的夹角为θ，在a上的投影为h，则h＝||cos θ＝＝·a.又因为＝(1,4)，所以
当a＝时，h＝1×＋4×＝；
当a＝时，h＝1×＋4×＝－.
(3)S△ABC＝| ||h|＝×5×＝.
