2.5 平面向量应用举例
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P109～P112的内容，回答下列问题．
(1)利用向量方法可以解决平面几何中的哪些问题？
提示：距离、夹角等问题．
(2)利用向量方法可以解决物理中的哪些问题？
提示：可以利用向量解决与力、位移、速度有关的问题．
2．归纳总结，核心必记
(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
(2)向量在物理中的应用
①物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．
②向量的加减运算体现在一些物理量的合成和分解中．
③动量mv是向量的数乘运算．
④功是力F与位移s的数量积．
[问题思考]
用向量解决几何问题时，有时需要选择合适的基底，你知道怎样选择合适的基底吗？
提示：所选择基向量的长度和夹角应该是已知的．
[课前反思]
(1)平面向量在平面几何中的应用： ；
(2)平面向量在物理中的应用： .
知识点1
平面几何中的平行、垂直问题
?讲一讲
1.如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
[尝试解答] 法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0
则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.
∴⊥，即DP⊥EF.
法二：设正方形边长为1，
建立如图所示的平面直角坐标系，
设P(x，x)，
则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，
所以＝(x，x－1)，
＝(1－x，x)，
由于·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，
所以⊥，
即DP⊥EF.
类题·通法
(1)向量法证明平面几何中AB⊥CD的方法：
方法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③证明·的值为0；④给出几何结论AB⊥CD.
方法二：先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，再计算·的值为0，从而得到几何结论AB⊥CD.
(2)用向量法证明平面几何中AB∥CD的方法：
方法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示和；③寻找实数λ，使＝λ，即∥；④给出几何结论AB∥CD.
方法二：先求，的坐标，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．利用向量共线的坐标关系x1y2－x2y1＝0得到∥，再给出几何结论AB∥CD.
以上两种方法，都是建立在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才有∥得到AB∥CD.
?练一练
1．已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．
证明：设＝a，＝b，
则＝－＝－a＝b－a，
＝－＝b－＝b－a，
所以＝，
且D，E，F，B四点不共线，
所以四边形DEBF是平行四边形.
知识点2
平面几何中的长度问题
?讲一讲
2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
[尝试解答] (1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
∵D为AB的中点，∴D，
∴||＝，| |＝，
∴||＝| |，即CD＝AB.
(2)∵E为CD的中点，∴E，
设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，∴＝λ.
即(x，－m)＝λ.则
故λ＝，即x＝，∴F，
∴||＝，即AF＝.
类题·通法
利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝.
?练一练
2．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，
而||＝|a－b|＝＝＝＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，
又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴||＝，
即AC＝.
知识点3
向量在物理中的应用
?讲一讲
3．在风速为75(－)km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
[尝试解答] 设ω＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞机的航行速度，vb＝va－ω.如图所示．
设| |＝|va|，||＝|ω|，||＝|vb|，
作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，
则∠BAD＝45°.
设| |＝150，则||＝75(－)．
∴||＝||＝||＝75，||＝75.
从而||＝150，∠CAD＝30°.∴|vb|＝150，
即没有风时飞机的航速为150 km/h，方向为北偏西60°.
类题·通法
利用向量法解决物理问题的步骤
(1)抽象出物理问题的向量，转化为数学问题；
(2)建立以向量为主体的数学模型；
(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；
(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题．
?练一练
3．已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g取10 m/s2)
解：如图所示，设木块的位移为s，则WF＝F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J)．将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此Wf＝f·s＝|f||s|·cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．
即F和f所做的功分别为500 J和－22 J.
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是平面向量在平面几何中的应用，难点是平面向量在物理中的应用．
2．要掌握平面向量的应用
(1)利用平面向量解决平面几何中的平行、垂直问题，见讲1；
(2)利用平面向量解决平面几何中的长度问题，见讲2；
(3)平面向量在物理中的应用，见讲3.
课下能力提升(二十一)
[学业水平达标练]
题组1 平面向量在平面几何中的应用
1．已知直线l与x，y轴分别相交于点A，B，＝2i－3j(i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量)，则直线l的方程是( )
A．3x－2y＋6＝0 B．3x＋2y＋6＝0
C．2x＋3y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0
解析：选B 由于i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量，所以＝(2，－3)，而A，B分别在x轴，y轴上，可得A(－2,0)，B(0，－3)，由此可得直线l的方程为3x＋2y＋6＝0.
2．在四边形ABCD中，＝，且| |＝||，那么四边形ABCD为( )
A．平行四边形 B．菱形
C．长方形 D．正方形
解析：选B 由＝知四边形ABCD为平行四边形，由| |＝||知?ABCD的邻边相等，
∴四边形ABCD为菱形．
3．已知非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．等边三角形
解析：选D ＋是向量，方向上的两个单位向量的和，它在∠A的平分线上，由·＝0，知此三角形为等腰三角形，再由·＝知∠A为60°，故此三角形为等边三角形．
4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.
解析：以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，)，C(3，)，D(3,0)，＝(3，)，设＝λ，则E的坐标为(3λ，λ)，故＝(3λ，λ－)．因为BE⊥AC，所以·＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝，所以E.故＝，||＝，即ED＝.
答案：
5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点．求证：AF⊥DE(利用向量证明)．
证明：设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝b－a，
∴·＝·
＝b2－a2＋a·b.
又⊥，且| |＝||，∴a2＝b2，a·b＝0，
∴·＝0，∴⊥，
即AF⊥DE.
题组2 向量在物理中的应用
6．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．
7．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前行进60 m，若纤绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N，则纤夫对船所做的功为________J.
解析：所做的功W＝60×50×cos 30°＝1 500 J.
答案：1 500
8．在水流速度为4 km/h的河水中，一艘船以12 km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘船的航行速度的大小与方向．
解：如图所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸行驶的速度，以为一边，为一对角线作?ABCD，则就是船的航行速度．
∵| |＝4，||＝12，
∴||＝||＝8，tan ∠ACB＝＝，
∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°.
即船的航行速度的大小为8 km/h，方向与水流方向的夹角为120°.
[能力提升综合练]
1．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( )
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为两边的三角形的面积
C．以a，b为两边的三角形的面积
D．以b，c为邻边的平行四边形的面积
解析：选A 假设a与b的夹角为θ，|b·c|＝|b|·|c|·|cos〈b，c〉|＝|b|·|a|·|cos(90°±θ)|＝|b|·|a|·sin θ，即为以a，b为邻边的平行四边形的面积．
2．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则·等于( )
A. B.
C．2 D．3
解析：选B ·＝·(－)＝·－·，因为OA＝OB，所以在上的投影为| |，所以·＝| |·| |＝2，同理·＝||·||＝，故·＝－2＝.
3．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
解析：选C 由题意得，2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·，
∴·＝0，∴⊥，
∴△ABC是直角三角形．
4．已知一物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为( )
A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．2
解析：选D W＝(F1＋F2)·s＝(lg 2＋lg 5,2lg 2)·(2lg 5,1)＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.
5．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.
解析：由弦长|AB|＝，可知∠ACB＝60°，·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－.
答案：－
6．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．
解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于在合力作用下物体做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.所以a＋c＝－b.
如图，作平行四边形APCD，则其为菱形．因为＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.
同理，∠APB＝∠BPC＝120°.
又因为|a|＝|b|＝|c|，
所以△ABC为等边三角形．
7.如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图．令||＝1，则||＝1，| |＝2.∵CE⊥AB，AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形．∴各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴∥，即DE∥BC.
(2)∵M为EC的中点，∴M，
∴＝(－1,1)－＝，
＝(1,0)－＝.∵＝－，
∴∥.
又∵与有公共点M，∴D，M，B三点共线．
课件25张PPT。谢谢！课下能力提升(二十一)
[学业水平达标练]
题组1 平面向量在平面几何中的应用
1．已知直线l与x，y轴分别相交于点A，B，＝2i－3j(i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量)，则直线l的方程是( )
A．3x－2y＋6＝0 B．3x＋2y＋6＝0
C．2x＋3y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0
解析：选B 由于i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量，所以＝(2，－3)，而A，B分别在x轴，y轴上，可得A(－2,0)，B(0，－3)，由此可得直线l的方程为3x＋2y＋6＝0.
2．在四边形ABCD中，＝，且| |＝||，那么四边形ABCD为( )
A．平行四边形 B．菱形
C．长方形 D．正方形
解析：选B 由＝知四边形ABCD为平行四边形，由| |＝||知?ABCD的邻边相等，
∴四边形ABCD为菱形．
3．已知非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．等边三角形
解析：选D ＋是向量，方向上的两个单位向量的和，它在∠A的平分线上，由·＝0，知此三角形为等腰三角形，再由·＝知∠A为60°，故此三角形为等边三角形．
4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.
解析：以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，)，C(3，)，D(3,0)，＝(3，)，设＝λ，则E的坐标为(3λ，λ)，故＝(3λ，λ－)．因为BE⊥AC，所以·＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝，所以E.故＝，||＝，即ED＝.
答案：
5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点．求证：AF⊥DE(利用向量证明)．
证明：设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝b－a，
∴·＝·
＝b2－a2＋a·b.
又⊥，且| |＝||，∴a2＝b2，a·b＝0，
∴·＝0，∴⊥，
即AF⊥DE.
题组2 向量在物理中的应用
6．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．
7．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前行进60 m，若纤绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N，则纤夫对船所做的功为________J.
解析：所做的功W＝60×50×cos 30°＝1 500 J.
答案：1 500
8．在水流速度为4 km/h的河水中，一艘船以12 km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘船的航行速度的大小与方向．
解：如图所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸行驶的速度，以为一边，为一对角线作?ABCD，则就是船的航行速度．
∵| |＝4，||＝12，
∴||＝||＝8，tan ∠ACB＝＝，
∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°.
即船的航行速度的大小为8 km/h，方向与水流方向的夹角为120°.
[能力提升综合练]
1．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( )
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为两边的三角形的面积
C．以a，b为两边的三角形的面积
D．以b，c为邻边的平行四边形的面积
解析：选A 假设a与b的夹角为θ，|b·c|＝|b|·|c|·|cos〈b，c〉|＝|b|·|a|·|cos(90°±θ)|＝|b|·|a|·sin θ，即为以a，b为邻边的平行四边形的面积．
2．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则·等于( )
A. B.
C．2 D．3
解析：选B ·＝·(－)＝·－·，因为OA＝OB，所以在上的投影为| |，所以·＝| |·| |＝2，同理·＝||·||＝，故·＝－2＝.
3．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
解析：选C 由题意得，2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·，
∴·＝0，∴⊥，
∴△ABC是直角三角形．
4．已知一物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为( )
A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．2
解析：选D W＝(F1＋F2)·s＝(lg 2＋lg 5,2lg 2)·(2lg 5,1)＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.
5．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.
解析：由弦长|AB|＝，可知∠ACB＝60°，·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－.
答案：－
6．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．
解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于在合力作用下物体做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.所以a＋c＝－b.
如图，作平行四边形APCD，则其为菱形．因为＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.
同理，∠APB＝∠BPC＝120°.
又因为|a|＝|b|＝|c|，
所以△ABC为等边三角形．
7.如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图．令||＝1，则||＝1，| |＝2.∵CE⊥AB，AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形．∴各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴∥，即DE∥BC.
(2)∵M为EC的中点，∴M，
∴＝(－1,1)－＝，
＝(1,0)－＝.∵＝－，
∴∥.
又∵与有公共点M，∴D，M，B三点共线．
