考点一
平面向量的线性运算
1．平面向量的线性运算及运算律
(1)向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即＋＝；
向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．
加法满足交换律、结合律．
(2)向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用．
几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．
(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换．
2．向量共线及平面向量基本定理
(1)共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法．
特别地，平面内一点P位于直线AB上的条件是存在实数x，使＝x ，或对直线外任意一点O，有＝x＋y (x＋y＝1)．
(2)平面向量基本定理：如果向量e1，e2不共线，那么对于平面内的任一向量a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中e1，e2是平面的一组基底，e1，e2分别称为基向量．
由定理可知，平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来，而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底．
[典例1] 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点M、N分别是DA、BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，以e1、e2为基底表示向量、、.
解：∵＝e2，且＝k，
∴＝k ＝ke2.
∵＋＋＋＝0，
∴＝－－－
＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2.
又∵＋＋＋＝0，
且＝－，＝，
∴＝－－－
＝－＋＋＝e2.
[对点训练]
1.如图，在△ABC中，＝，＝ ，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.
(1)用和分别表示和；
(2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值；
(3)确定点P在边BC上的位置．
解：(1)由＝，可得
＝＋＝－＋，又＝ ，
所以＝＋＝－＋ .
(2)将＝－＋，＝－＋ ，
代入＝＋λ＝＋μ，
则有＋λ
＝＋μ，
即(1－λ) ＋λ＝μ＋(1－μ) .
所以解得
(3)设＝m，＝n.
由(2)，知＝ ＋，
所以＝－＝n－
＝n－＝＋
＝m＝m－m ，
所以解得
所以＝，
即＝2，P是边BC上靠近C的三等分点．
考点二
平面向量的坐标运算
若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则
①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)；
②a－b＝(a1－b1，a2－b2)；
③λa＝(λa1，λa2)；
④a·b＝a1b1＋a2b2；
⑤a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2(λ∈R)，或＝(b1≠0，b2≠0)；
⑥a⊥b?a1b1＋a2b2＝0；
⑦|a|＝＝；
⑧若θ为a与b的夹角，则
cos θ＝＝ .
[典例2] (1)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )
A. B. C. D.
(2)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2), 若a∥b, 则实数m等于( )
A．－ B. C．－或 D．0
(3)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为( )
A. B. C．－ D．－
解析：(1)由已知，得＝(3，－4)，所以| |＝5，
因此与同方向的单位向量是 ＝.
(2)a∥b的充要条件的坐标表示为1×2－m2＝0，∴m＝±，选C.
(3) ＝(2,1)，＝(5,5)，向量＝(2,1)在＝(5,5)上的投影为| |cos?，?＝| |·＝＝＝，故选A.
答案：(1)A (2)C (3)A
[对点训练]
2．(1)若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝( )
A．13 B．－13 C．9 D．－9
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：(1) ＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．
∵∥，∴－8(y＋6)－24＝0.∴y＝－9.
(2)a·b＝－10，则(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，
所以c·a＝－，
设a与c的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，
又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°.
答案：(1)D (2)C
考点三
平面向量的数量积
1．两向量的数量积及其运算律
两个向量的数量积是a·b＝|a||b|cos θ，θ为a与b的夹角，数量积满足运算律：
①与数乘的结合律，即(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律，即a·b＝b·a；
③分配律，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
2．平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征．
3．利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等．
[典例3] 已知c＝ma＋nb，c＝(－2，2)，a⊥c，b与c的夹角为，b·c＝－4，|a|＝2，求实数m，n的值及a与b的夹角θ.
解：∵c＝(－2，2)，∴|c|＝4.
∵a⊥c，∴a·c＝0.
∵b·c＝|b||c|cos ＝|b|×4×＝－4，∴|b|＝2.
∵c＝ma＋nb，∴c2＝ma·c＋nb·c.∴16＝n×(－4)．∴n＝－4.
在c＝ma＋nb两边同乘以a，得0＝8m－4a·b.①
在c＝ma＋nb两边同乘以b，得ma·b＝12.②
由①②，得m＝±.∴a·b＝±2.
∴cos θ＝＝±.∴θ＝或.
[对点训练]
3．(1)已知单位向量a，b的夹角为，则|a－2b|＝________.
(2)已知e为单位向量，|a|＝4，a与e的夹角θ＝，则a在e方向上的投影为________．
(3)已知在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝4，＝ ，＝，＝，则·的值为________．
解析：(1)∵单位向量a，b的夹角为，
∴|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4×1×1×cos ＋4＝1－2＋4＝3，∴|a－2b|＝.
(2)因为a在e方向上的投影为|a|cos θ，|a|＝4，a与e的夹角为，所以|a|cos θ＝4×cos ＝4×＝－2.
(3)因为在△ABC中，∠A＝，所以以A为原点，AC，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则根据题意得A(0,0)，F(0,1)，D，E(2,0)，
所以＝，＝，所以·＝－1＋＝－.
答案：(1) (2)－2 (3)－
又0°≤θ≤180°，
∴a与b夹角θ的最大值为60°.
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一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝( )
A． B．
C． D．
解析：选B ∵＋－＝＋＝.
2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8)
C．(－3，－6) D．(－2，－4)
解析：选B ∵a∥b，∴－＝，∴m＝－4，∴b＝(－2，－4)，
∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
3．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa＋b与a垂直，则λ的值是( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
解析：选A 由题意可知(λa＋b)·a＝λa2＋b·a＝0.
∵|a|＝，a·b＝1×4＋(－3)×(－2)＝10，
∴10λ＋10＝0，λ＝－1.
4．若|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是( )
A. B. C. D.
解析：选B 由于(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝0，所以a·b＝|a|2＝2，所以 cos〈a，b〉＝＝＝，即a与b的夹角是.
5．设a，b，c为非零向量，若p＝＋＋，则|p|的取值范围为( )
A．[0,1] B．[1,2] C．[0,3] D．[1,3]
解析：选C ，，分别为a，b，c方向上的单位向量，∴当a，b，c同向时，|p|取得最大值3，且|p|的最小值为0，故选C.
6．已知角C为△ABC的一个内角，向量m＝(2cos C－1，－2)，n＝(cos C，cos C＋1)．若m⊥n，则角C等于( )
A. B. C. D.
解析：选C ∵m⊥n，∴2cos2C－3cos C－2＝0，∴(2cos C＋1)(cos C－2)＝0，∴cos C＝－，又C为△ABC的一个内角，∴C＝.
7．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
解析：选C ∵·＝·，
∴·(－)＝0，
∴·＝0，∴⊥.
同理⊥，⊥，
∴P是△ABC的垂心．
8．如图所示，非零向量＝a，＝b，且BC⊥OA，垂足为C，若＝λa(λ≠0)，则λ＝( )
A. B. C. D.
解析：选D 由题意知·＝0，∴·(－)＝2－·＝0.又∵＝λa，∴λ2a2－λa·b＝0，即λa2＝a·b，∴λ＝.
9.已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D．－a＋b
解析：选B 由题意得＝(＋)，
所以2＝＋，①
同理得2＝＋＝－＋(－)＝－2＋，
即2 ＝－2 ＋.②
①×2＋②得4 ＋2 ＝3 ，
即 4b＋2a＝3 ，
所以＝a＋b.选B.
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，两个非零向量，与x轴正半轴的夹角分别为和，向量满足＋＋＝0，则与x轴正半轴夹角取值范围是( )
A. B. C. D.
解析：选B 由题意＝－－，由向量加法的几何意义得是以－与－为邻边的平行四边形的对角线所表示的向量，所以与x轴正半轴夹角的取值介于－与－与x轴正半轴夹角之间．由题意得－，－与x轴正半轴夹角分别为与.
11．已知a＝(－1，)，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积是( )
A. B．2 C．2 D．4
解析：选D 由题意||＝||且⊥，
所以(a－b)2＝(a＋b)2且(a－b)·(a＋b)＝0，
所以a·b＝0，且a2＝b2，
所以|a|＝|b|＝2，
所以S△AOB＝||·||＝＝ ＝4.
12．已知向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，p＝(x，y)，定义新运算m?n＝(ac＋bd，ad＋bc)，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如果对于任意向量m都有m?p＝m成立，则向量p为( )
A．(1,0) B．(－1,0) C．(0,1) D．(0，－1)
解析：选A 因为m?p＝m，
即(a，b)?(x，y)＝(ax＋by，ay＋bx)＝(a，b)，
所以即
由于对任意m＝(a，b)，都有(a，b)?(x，y)＝(a，b)成立．
所以解得所以p＝(1,0)．故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知向量a＝(2x＋3,2－x)，b＝(－3－x,2x)(x∈R)．则|a＋b|的取值范围为________．
解析：因为a＋b＝(x，x＋2)，所以|a＋b|＝＝＝≥，所以|a＋b|∈[，＋∞)．
答案：[，＋∞)
14．设e1，e2为两个不共线的向量，若a＝e1＋λe2与b＝－(2e1－3e2)共线，则实数λ等于________．
解析：因为a，b共线，所以由向量共线定理知，存在实数k，使得a＝kb，
即e1＋λe2＝－k(2e1－3e2)＝－2ke1＋3ke2又因为e1，e2不共线，所以
解得λ＝－.
答案：－
15.如图所示，在正方形ABCD中，已知| |＝2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值是________．
解析：·＝| |||·cos∠BAN，||·cos∠BAN表示在方向上的投影，又| |＝2，∴·的最大值是4.
答案：4
16．设a，b，c都是单位向量，且a与b的夹角为，则(c－a)·(c－b)的最小值为________．
解析：(c－a)·(c－b)＝c2－c·b－a·c＋a·b＝|c|2－c·(a＋b)＋|a|·|b|·cos ＝－c·(a＋b)，要使(c－a)·(c－b)最小，则只需c与a＋b同向共线即可．∵a与b都是单位向量，且a与b的夹角为，∴|a＋b|＝1，故最小值为－.
答案：－
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)
＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.
整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
∴a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2；
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
∴a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝＝2.
综上所述，|a－b|为2或2.
18．(12分)设向量a＝(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，b＝，且a与b不共线．
(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；
(2)若向量a＋b与a－b的模相等，求角α.
解：(1)证明：由题意，得a＋b＝，
a－b＝，
因为(a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝1－1＝0，所以(a＋b)⊥(a－b)．
(2)因为向量a＋b与a－b的模相等，
所以(a＋b)2＝(a－b)2，
所以|a|2－|b|2＋2a·b＝0，因为|a|＝1，|b|＝＝1，
所以|a|2＝|b|2，所以a·b＝0，
所以－cos α＋sin α＝0，
所以tan α＝，
又因为0≤α＜2π，
所以α＝或α＝.
19.(12分)如图所示，在△ABC中，已知CA＝2，CB＝3，∠ACB＝60°，CH为AB边上的高．
(1)求·；
(2)设＝m＋n，其中m，n∈R，求m，n的值．
解：设＝a，＝b.
(1)因为＝－＝a－b，所以·＝(a－b)·(－a)＝－a2＋a·b＝－9＋3×2×cos 60°＝－6.
(2)因为A，H，B三点共线，所以设＝λ＝λ(a－b)，所以＝＋＝b＋λ(a－b)＝λa＋(1－λ)b.
因为⊥，所以·＝0，所以[λa＋(1－λ)b]·(a－b)＝0，
即λa2－(1－λ)b2＋(1－2λ)a·b＝0.
又a2＝9，b2＝4，a·b＝3，代入上式，
解得λ＝，所以＝a＋b，
即m＝，n＝.
20.(12分)在边长为1的正△ABC中，＝2，＝3，AD与BE相交于点F.
(1)求·的值；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解：(1)由题意，D为BC边的中点，而△ABC是正三角形，所以AD⊥BC，
设＝a，＝b，
则·＝( ＋)·(－)
＝(a＋b)·
＝b2－a2－a·b
＝－－×1×1×＝－.
(2)根据题意：＝＋＝－＋＝－＋( ＋)＝ ＋.
记＝μ，则＝μ＝μ(－＋)＝－μ＋.
根据平面向量的基本定理有
解得λ＝4.
21．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t).
(1)若⊥a，且| |＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k＞4，且tsin θ取最大值为4时，求·.
解：(1) ＝(n－8，t)，
∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.
又∵||＝| |，
∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8，
∴＝(24,8)或＝(－8，－8)．
(2) ＝(ksin θ－8，t)．
∵与a共线，
∴t＝－2ksin θ＋16.
∵tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ
＝－2k2＋，
∵k＞4，∴1＞＞0，
当sin θ＝时，tsin θ取最大值为.
由＝4，得k＝8，
此时θ＝，＝(4,8)，
∴·＝(8,0)·(4,8)＝32.
22．(12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a，b满足关系式|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．
(1)求向量a与b的数量积(用k表示)．
(2)a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的k值．
(3)求向量a与b夹角的最大值．
解：(1)由已知得|a|＝|b|＝1.
∵|ka＋b|＝|a－kb|，
∴(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2|a|2＋2ka·b＋|b|2＝3(|a|2－2ka·b＋k2|b|2)，∴8ka·b＝2k2＋2，
∴a·b＝(k>0)．
(2)由(1)知a·b>0，
∴a与b不可能垂直．若a∥b，由a·b>0知a，b同向，
于是有a·b＝|a||b|cos 0°＝|a||b|＝1，
即＝1，解得k＝2±，
∴当k＝2±时，a∥b.
(3)设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝a·b＝(k>0)，
∴cos θ＝
＝
＝，
∴当＝，
即k＝1时，cos θ取得最小值.
又0°≤θ≤180°，
∴a与b夹角θ的最大值为60°.
