3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P124～P127的内容，回答下列问题．
(1)当α＝60°，β＝30°时，cos α－cos β等于多少？cos 60°－cos 30°＝cos(60°－30°)成立吗？
提示：cos 60°－cos 30°＝，cos(60°－30°)＝，故cos 60°－cos 30°＝cos(60°－30°)不成立．
(2)cos α－cos β＝cos(α－β)一定成立吗？
提示：不一定．
(3)单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？ 与的夹角是多少？
提示：A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)．与的夹角是α－β.
(4)根据上图，分别利用平面向量数量积的定义及坐标运算，求出·的数量积各是什么？
提示：①·＝||·||cos(α－β)＝cos(α－β)．
②·＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)
＝cos αcos β＋sin αsin β.
(5)根据上面的计算可以得出什么结论？
提示：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.
2．归纳总结，核心必记
两角差的余弦公式
公式
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
简记符号
C(α－β)
使用条件
α，β为任意角
[问题思考]
公式Cα－β在结构上有什么特点？
提示：①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦；②将所得的积相加．
[课前反思]
(1)两角差的余弦公式： ；
(2)两角差的余弦公式的适用条件： .
知识点1
给角求值问题
?讲一讲
1．求下列各式的值：
(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；
(2)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；
(3)cos 15°＋sin 15°.
[尝试解答] (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°
＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°)
＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°
＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝.
(2)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°
＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°)
＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14°
＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝.
(3)∵＝cos 60°，＝sin 60°，
∴cos 15°＋sin 15°
＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.
类题·通法
利用公式C(α－β)求值的思路方法
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接化简求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，然后正确地顺用公式或逆用公式求值．
?练一练
1．求下列式子的值．
(1)cos(－15°)；
(2)cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°.
解：(1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)
＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝×＋×＝.
(2)∵cos 167°＝cos(90°＋77°)＝－sin 77°，
∴原式＝cos 43°cos 77°－sin 43°sin 77°
＝cos(43°＋77°)＝cos 120°＝－.
知识点2
给值(式)求值问题
?讲一讲
2．(1)若sin α－sin β＝，cos α－cos β＝，则cos(α－β)的值为( )
A. B. C. D．1
(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cos α的值．
[尝试解答] (1)由sin α－sin β＝，cos α－cos β＝，
得sin2α＋sin2β－2sin αsin β＝，①
cos2α＋cos2β－2cos αcos β＝，②
①＋②得2－2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1.
∴sin αsin β＋cos αcos β＝.∴cos(α－β)＝.
(2)∵α，β为锐角，∴0<α＋β<π.
又∵cos(α＋β)＝>0，∴0<α＋β<，
又∵cos(2α＋β)＝，∴0<2α＋β<，
∴sin(α＋β)＝，sin(2α＋β)＝，
∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]
＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)
＝×＋×＝.
答案：(1)A
类题·通法
给值求值问题的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
?练一练
2．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos的值．
解：因为α，β∈，所以α＋β∈.所以cos(α＋β)＝＝.
又β－∈，所以cos＝－，
cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝－.
知识点3
给值求角问题
?讲一讲
3．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且0<β<α<，求β的值．
[尝试解答] 因为0<β<α<，所以0<α＋β<π，
由cos α＝，cos(α＋β)＝－，得sin α＝，sin(α＋β)＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.所以β＝.
类题·通法
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；
(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
?练一练
3．已知0<α<，－<β<0，且α，β满足sin α＝，cos β＝，求α－β.
解：因为0<α<，－<β<0，且sin α＝，cos β＝，
故cos α＝＝＝，
sin β＝－＝－＝－，
故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
由0<α<，－<β<0得，0<α－β<π，
又cos(α－β)>0，所以α－β为锐角，所以α－β＝.
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是两角差的余弦公式，难点是公式的推导及应用．
2．要掌握两角差的余弦公式的三个应用
(1)解决给角求值问题，见讲1；
(2)解决给值(式)求值问题，见讲2；
(3)解决给值求角问题，见讲3.
3．本节课的易错点是：利用两角差的余弦公式解决给值求角问题时，易忽视角的范围而导致解题错误，如练3.
课下能力提升(二十二)
[学业水平达标练]
题组1 给角求值问题
1．cos 27°cos 57°－sin 27°cos 147°等于( )
A. B．－ C. D．－
解析：选A 原式＝cos 27°cos 57°－sin 27°cos(180°－33°)＝cos 27°cos 57°＋sin 27°cos 33°＝cos 27°cos 57°＋sin 27°sin 57°＝cos(57°－27°)＝cos 30°＝.故选A.
2．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)等于( )
A. B．－ C. D．－
解析：选A 原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝.
3．cos 555°的值是________．
解析：∵cos 555°＝cos 195°＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)＝－×－×＝－.
答案：－
题组2 给值(式)求值问题
4．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选A ∵α为锐角，且cos α＝，∴sin α＝＝.∵β为第三象限角，且sin β＝－，
∴cos β＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.故选A.
5．若cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β都是锐角，则cos β的值为( )
A．－ B. C. D．－
解析：选B ∵β＝(α＋β)－α，又∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角，∴α＋β是钝角，∴sin α＝，sin(α＋β)＝.∵cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)sin α，∴cos β＝－×＋×＝＝＝.
6．已知sin＝，α∈，则cos α的值为________．
解析：∵sin＝，α∈，∴＋α∈，cos＝－.∴cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.
答案：
7．若x∈，且sin x＝，求2cos＋2cos x的值．
解：∵x∈，sin x＝，∴cos x＝－.
∴2cos＋2cos x＝2＋2cos x
＝2＋2cos x＝sin x＋cos x＝－＝.
题组3 给值求角问题
8．满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是( )
A．α＝，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
解析：选B ∵cos αcos β＝－sin αsin β，∴cos αcos β＋sin αsin β＝，
即cos(α－β)＝，经验证可知选项B正确．
9．若α∈[0，π]，sin sin ＋cos cos ＝0，则α的值是( )
A. B. C. D.
解析：选D 由已知得cos cos ＋sin sin ＝0，即cos＝0，cos α＝0，又α∈[0，π]，所以α＝，选D.
10．已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，求角β的大小．
解：因为sin(π－α)＝，所以sin α＝.因为0<α<，所以cos α＝＝.
因为cos(α－β)＝，且0<β<α<，所以0<α－β<，所以sin(α－β)＝＝.
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)＝×＋×＝.
因为0<β<，所以β＝.
[能力提升综合练]
1．cos 165°的值是( )
A. B. C. D.
解析：选D cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)
＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝－×－×＝.
2．已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是( )
A．－ B. C. D．－
解析：选A 因为α∈，所以sin α＝，因为β是第三象限角，所以cos β＝－，所以cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－.
3．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若a＝(cos A，sin A)，b＝(cos B，sin B)，且a·b＝1，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：选B 因为a·b＝cos Acos B＋sin Asin B＝cos(A－B)＝1，且A，B，C是三角形的内角，所以A＝B，即△ABC一定是等腰三角形．
4．已知cos＝－，则cos x＋cos＝( )
A．－ B．± C．－1 D．±1
解析：选C cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos＝－1.故选C.
5．已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则β－α的值为________．
解析：由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，∴β－α＝±.∵sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴β－α＝.
答案：
6．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
解：由α－β∈，cos(α－β)＝－，可知sin(α－β)＝.
又∵α＋β∈，cos(α＋β)＝，
∴sin(α＋β)＝－，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－1.
∵α－β∈，α＋β∈，∴2β∈，
∴2β＝π，故β＝.
7．已知cos＝－，sin＝，且α∈，β∈，求cos的值．
解：∵<α<π，0<β<，∴<<，0<<，<α＋β<.
∴<α－<π，－<－β<，<<.
又cos＝－，sin＝，
∴sin＝，cos＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝－＋＝.
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[学业水平达标练]
题组1 给角求值问题
1．cos 27°cos 57°－sin 27°cos 147°等于( )
A. B．－ C. D．－
解析：选A 原式＝cos 27°cos 57°－sin 27°cos(180°－33°)＝cos 27°cos 57°＋sin 27°cos 33°＝cos 27°cos 57°＋sin 27°sin 57°＝cos(57°－27°)＝cos 30°＝.故选A.
2．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)等于( )
A. B．－ C. D．－
解析：选A 原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝.
3．cos 555°的值是________．
解析：∵cos 555°＝cos 195°＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)＝－×－×＝－.
答案：－
题组2 给值(式)求值问题
4．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选A ∵α为锐角，且cos α＝，∴sin α＝＝.∵β为第三象限角，且sin β＝－，
∴cos β＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.故选A.
5．若cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β都是锐角，则cos β的值为( )
A．－ B. C. D．－
解析：选B ∵β＝(α＋β)－α，又∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角，∴α＋β是钝角，∴sin α＝，sin(α＋β)＝.∵cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)sin α，∴cos β＝－×＋×＝＝＝.
6．已知sin＝，α∈，则cos α的值为________．
解析：∵sin＝，α∈，∴＋α∈，cos＝－.∴cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.
答案：
7．若x∈，且sin x＝，求2cos＋2cos x的值．
解：∵x∈，sin x＝，∴cos x＝－.
∴2cos＋2cos x＝2＋2cos x
＝2＋2cos x＝sin x＋cos x＝－＝.
题组3 给值求角问题
8．满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是( )
A．α＝，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
解析：选B ∵cos αcos β＝－sin αsin β，∴cos αcos β＋sin αsin β＝，
即cos(α－β)＝，经验证可知选项B正确．
9．若α∈[0，π]，sin sin ＋cos cos ＝0，则α的值是( )
A. B. C. D.
解析：选D 由已知得cos cos ＋sin sin ＝0，即cos＝0，cos α＝0，又α∈[0，π]，所以α＝，选D.
10．已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，求角β的大小．
解：因为sin(π－α)＝，所以sin α＝.因为0<α<，所以cos α＝＝.
因为cos(α－β)＝，且0<β<α<，所以0<α－β<，所以sin(α－β)＝＝.
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)＝×＋×＝.
因为0<β<，所以β＝.
[能力提升综合练]
1．cos 165°的值是( )
A. B. C. D.
解析：选D cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)
＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝－×－×＝.
2．已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是( )
A．－ B. C. D．－
解析：选A 因为α∈，所以sin α＝，因为β是第三象限角，所以cos β＝－，所以cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－.
3．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若a＝(cos A，sin A)，b＝(cos B，sin B)，且a·b＝1，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：选B 因为a·b＝cos Acos B＋sin Asin B＝cos(A－B)＝1，且A，B，C是三角形的内角，所以A＝B，即△ABC一定是等腰三角形．
4．已知cos＝－，则cos x＋cos＝( )
A．－ B．± C．－1 D．±1
解析：选C cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos＝－1.故选C.
5．已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则β－α的值为________．
解析：由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，∴β－α＝±.∵sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴β－α＝.
答案：
6．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
解：由α－β∈，cos(α－β)＝－，可知sin(α－β)＝.
又∵α＋β∈，cos(α＋β)＝，
∴sin(α＋β)＝－，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－1.
∵α－β∈，α＋β∈，∴2β∈，
∴2β＝π，故β＝.
7．已知cos＝－，sin＝，且α∈，β∈，求cos的值．
解：∵<α<π，0<β<，∴<<，0<<，<α＋β<.
∴<α－<π，－<－β<，<<.
又cos＝－，sin＝，
∴sin＝，cos＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝－＋＝.
