第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P128～P131的内容，回答下列问题．
(1)把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的 β用－β代替，结果如何？
提示：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.
(2)由公式C(α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？
提示：可以，sin(α＋β)＝cos
＝cos＝sin αcos β＋cos αsin β.
(3)如何由sin(α＋β)的公式推出sin(α－β)的公式？
提示：以－β代替sin(α＋β)中的β，即可得sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.
(4)如何用tan α和tan β表示tan(α＋β)和tan(α－β)?
提示：①tan(α＋β)＝
＝＝ .
②tan (α－β)＝＝
＝ .
2．归纳总结，核心必记
(1)两角和与差的余弦公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和
的余弦
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
C(α＋β)
α，β∈R
两角差
的余弦
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
C(α－β)
(2)两角和与差的正弦公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和
的正弦
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β
S(α＋β)
α，β∈R
两角差
的正弦
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β
S(α－β)
α，β∈R
(3)两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和
的正切
tan(α＋β)＝
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差
的正切
tan(α－β)＝
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
[问题思考]
(1)sin(α＋β)＝sin α＋sin β能否成立？若成立，在什么情况下成立？
提示：不一定成立，当α＝2kπ或β＝2kπ或α＝β＝kπ，k∈Z时成立．
(2)两角和与差的正切公式对任意α，β均成立吗？
提示：不是的．在两角和的正切公式中，使用条件是：α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)；在两角差的正切公式中，使用条件是：α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)．
[课前反思]
(1)两角和与差的余弦公式： ；
(2)两角和与差的正弦公式： ；
(3)两角和与差的正切公式： .
知识点1
给角求值问题
?讲一讲
1．化简求值：
(1)sin 13° cos 17°＋sin 77°cos 73°；
(2)sin－cos；
(3)；
(4)tan 72°－tan 42°－tan 72°tan 42°.
[尝试解答] (1)原式＝sin 13°cos 17 °＋sin(90°－13°)·cos(90°－17°)＝sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝.
(2)原式＝2
＝2
＝2sin＝－2sin＝－.
(3)原式＝
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
(4)∵tan 30°＝tan(72°－42°)＝，
∴tan 72°－tan 42°＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)．
∴原式＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)－tan 72°tan 42°
＝.
类题·通法
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”，“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
?练一练
1．求下列各式的值．
(1)sin 795°；
(2)sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)sin(x－18°)；
(3).
解：(1)sin 795°＝sin(2×360°＋75°)＝sin 75°＝sin(45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°
＝×＋×＝.
(2)原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)
＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin 45°＝.
(3)原式＝＝tan 45°＝1.
知识点2
给值(式)求角问题
?讲一讲
2．已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值．
[尝试解答] ∵α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，∴cos α＝，sin β＝.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
又∵α，β均为锐角，∴－<α－β<.
又∵sin α从而－<α－β<0，故α－β＝－.
类题·通法
解决给值(式)求角问题的方法
解决给值(式)求角问题的关键是寻求所求角的三角函数值与已知值或式之间的关系，利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，求出所求角的三角函数值，从而求出角．
?练一练
2．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β.
解：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝，而α∈(0，π)，∴α∈.
∵tan β＝－，β∈(0，π)∴β∈，
∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝>0，
∴－π<α－β<－，
∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，
∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝＝1.∴2α－β＝－.
知识点3
条件求值问题
?讲一讲
3．已知<α<，0<β<， cos＝－，sin＋β＝.
(1)求sin(α＋β)的值；
(2)求cos(α－β)的值．
[尝试解答] (1)∵<α<，<＋α<π，
∴sin＝ ＝.
∵0<β<，<＋β<π，
∴cos＝－＝－，
∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin
＝－sin＋αcos＋β＋cos＋α·sin
＝－＝.
(2)由(1)可知，sin＝，cos＝－，
∴sin
＝sincos－cossin
＝×－×＝－.
又sin＝sin
＝－cos(α－β)，从而cos(α－β)＝.
类题·通法
给值求值问题的解题策略
在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：
(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．
(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．
?练一练
3．已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tanα＋的值．
解：∵α＋＝(α＋β)－，
∴tan＝tan
＝
＝＝＝.
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，难点是公式的运用．
2．要掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的三个应用
(1)解决给角求值问题，见讲1；
(2)解决给值(式)求角问题，见讲2；
(3)解决条件求值问题，见讲3.
3．本节课的易错点是，解决给值(式)求角问题时，易忽视角的范围而造成解题错误，如练2.
4．本节课要牢记常见角的变换
α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝β－(β－α)；α＝－；α＝[(α＋β)＋(α－β)]；
α＋β＝(2α＋β)－α；2α＝(α＋β)＋(α－β)等．
课下能力提升(二十三)
[学业水平达标练]
题组1 给角求值问题
1．sin 105°的值为( )
A. B. C. D.
解析：选D sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝×＋×＝.
2．sin θ＋sin＋sin的值为( )
A．0 B. C．1 D．2
解析：选A 原式＝sin θ＋sin θcos ＋cos θsin ＋sin θcos ＋cos θsin ＝sin θ－sin θ＋cos θ－sin θ－cos θ＝0.
3．tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°的值是________．
解析：∵tan 60°＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
答案：
题组2 给值(式)求角问题
4．设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为( )
A. B. C. D.或
解析：选C 因为α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，所以cos α＝－，sin β＝，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－－×＝，所以α＋β的值为.
5．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝________.
解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2?tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2?tan α＋tan β＝tan αtan β－1?＝－1，即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝kπ－，k∈Z.
答案：kπ－，k∈Z
6．已知△ABC中B＝60°，且＋＝－，若A>C，则A的值为________．
解析：由已知B＝60°，A＋C＝120°，
设＝α，∵A>C，则0°<α<120°，
故A＝＋＝60°＋α，C＝－＝60°－α，
故＋＝＋
＝＋
＝＝.
由题设有＝－＝－2，
整理得：4cos2α＋2cos α－3＝0.
(2cos α－)(2cos α＋3)＝0.
∵2cos α＋3≠0，∴2cos α－＝0.
∴cos α＝.故α＝45°，A＝60°＋45°＝105°.
答案：105°
题组3 条件求值问题
7．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 因为cos α＝－，α是第三象限角，
所以sin α＝－，由两角和的正弦公式可得
sin＝sin αcos＋cos αsin
＝×＋×＝－.
8．设α∈，β∈，若cos β＝－，sin＝，则sin α的值为( )
A. B. C. D.
解析：选C 因为α∈，β∈，所以α＋β∈.由cos β＝－，sin(α＋β)＝，得sin β＝，cos(α＋β)＝－，所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝×－×＝.
9．在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan A·tan B的值为( )
A. B. C. D.
解析：选B ∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，∴tan(A＋B)＝＝，
∴tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝，
解得tan A·tan B＝.故选B.
10．若0<α<，－<β<0，cos＝－，cos＝，则cos的值为________．
解析：∵cos＝－，∴cos＝.
∵0<α<，∴<α＋<，∴sin＝.
∵－<β<0，∴<－<.
又cos＝，∴sin＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin－＝×＋×＝.
答案：
[能力提升综合练]
1．在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccos B，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选C ∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．
由已知可得sin(B＋C)＝2sin C cos B?
sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Ccos B?
sin Bcos C－cos Bsin C＝0?sin(B－C)＝0.
∵0∴B＝C.故△ABC为等腰三角形．
2．已知向量a＝，b＝(4,4cos α－)，若a⊥b，则sin等于( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选B a·b＝4sin＋4cos α－＝2sin α＋6cos α－＝4sin－＝0，∴sin＝.sin＝－sin＝－.
3.的值等于( )
A．－1 B．1 C. D．－
解析：选D ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°.
∴原式＝
＝－.
4．在△ABC中，若tan Atan B>1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上均有可能
解析：选A 由tan Atan B>1，得角A，B均为锐角，然后切化弦，得sin Asin B>cos Acos B，即cos(A＋B)<0，∴cos(π－C)<0，∴－cos C<0，∴cos C>0，∴角C为锐角，∴△ABC是锐角三角形，故选A.
5．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝________.
解析：依题设得：＝sin α·cos β－cos α·sin β＝sin(α－β)＝.∵0<β<α<，∴cos(α－β)＝.又∵cos α＝，∴sin α＝，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin α·cos(α－β)－cos α·sin(α－β)＝×－×＝，∴β＝.
答案：
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，
sin β＝＝.∴tan α＝7，tan β＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
又∵α，β为锐角，∴0<α＋2β <，
∴α＋2β＝.
7．已知函数f(x)＝2cos，x∈R.设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
解：∵f＝－，
∴2cos
＝2cos＝－，
∴sin α＝.
又∵f＝，
∴2cos＝2cos β＝，
∴cos β＝.
又∵α，β∈，
∴cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
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[学业水平达标练]
题组1 给角求值问题
1．sin 105°的值为( )
A. B. C. D.
解析：选D sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝×＋×＝.
2．sin θ＋sin＋sin的值为( )
A．0 B. C．1 D．2
解析：选A 原式＝sin θ＋sin θcos ＋cos θsin ＋sin θcos ＋cos θsin ＝sin θ－sin θ＋cos θ－sin θ－cos θ＝0.
3．tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°的值是________．
解析：∵tan 60°＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
答案：
题组2 给值(式)求角问题
4．设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为( )
A. B. C. D.或
解析：选C 因为α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，所以cos α＝－，sin β＝，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－－×＝，所以α＋β的值为.
5．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝________.
解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2?tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2?tan α＋tan β＝tan αtan β－1?＝－1，即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝kπ－，k∈Z.
答案：kπ－，k∈Z
6．已知△ABC中B＝60°，且＋＝－，若A>C，则A的值为________．
解析：由已知B＝60°，A＋C＝120°，
设＝α，∵A>C，则0°<α<120°，
故A＝＋＝60°＋α，C＝－＝60°－α，
故＋＝＋
＝＋
＝＝.
由题设有＝－＝－2，
整理得：4cos2α＋2cos α－3＝0.
(2cos α－)(2cos α＋3)＝0.
∵2cos α＋3≠0，∴2cos α－＝0.
∴cos α＝.故α＝45°，A＝60°＋45°＝105°.
答案：105°
题组3 条件求值问题
7．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A 因为cos α＝－，α是第三象限角，
所以sin α＝－，由两角和的正弦公式可得
sin＝sin αcos＋cos αsin
＝×＋×＝－.
8．设α∈，β∈，若cos β＝－，sin＝，则sin α的值为( )
A. B. C. D.
解析：选C 因为α∈，β∈，所以α＋β∈.由cos β＝－，sin(α＋β)＝，得sin β＝，cos(α＋β)＝－，所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝×－×＝.
9．在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan A·tan B的值为( )
A. B. C. D.
解析：选B ∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，∴tan(A＋B)＝＝，
∴tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝，
解得tan A·tan B＝.故选B.
10．若0<α<，－<β<0，cos＝－，cos＝，则cos的值为________．
解析：∵cos＝－，∴cos＝.
∵0<α<，∴<α＋<，∴sin＝.
∵－<β<0，∴<－<.
又cos＝，∴sin＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin－＝×＋×＝.
答案：
[能力提升综合练]
1．在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccos B，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选C ∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．
由已知可得sin(B＋C)＝2sin C cos B?
sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Ccos B?
sin Bcos C－cos Bsin C＝0?sin(B－C)＝0.
∵0∴B＝C.故△ABC为等腰三角形．
2．已知向量a＝，b＝(4,4cos α－)，若a⊥b，则sin等于( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选B a·b＝4sin＋4cos α－＝2sin α＋6cos α－＝4sin－＝0，∴sin＝.sin＝－sin＝－.
3.的值等于( )
A．－1 B．1 C. D．－
解析：选D ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°.
∴原式＝
＝－.
4．在△ABC中，若tan Atan B>1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上均有可能
解析：选A 由tan Atan B>1，得角A，B均为锐角，然后切化弦，得sin Asin B>cos Acos B，即cos(A＋B)<0，∴cos(π－C)<0，∴－cos C<0，∴cos C>0，∴角C为锐角，∴△ABC是锐角三角形，故选A.
5．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝________.
解析：依题设得：＝sin α·cos β－cos α·sin β＝sin(α－β)＝.∵0<β<α<，∴cos(α－β)＝.又∵cos α＝，∴sin α＝，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin α·cos(α－β)－cos α·sin(α－β)＝×－×＝，∴β＝.
答案：
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，
sin β＝＝.∴tan α＝7，tan β＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
又∵α，β为锐角，∴0<α＋2β <，
∴α＋2β＝.
7．已知函数f(x)＝2cos，x∈R.设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
解：∵f＝－，
∴2cos
＝2cos＝－，
∴sin α＝.
又∵f＝，
∴2cos＝2cos β＝，
∴cos β＝.
又∵α，β∈，
∴cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
