第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P132～P134的内容，回答下列问题．
(1)在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？
提示：成立．
(2)在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？
提示：cos 2α＝cos2α－sin2α，
sin 2α＝2sin αcos α，
tan 2α＝.
2．归纳总结，核心必记
[问题思考]
(1)S2α，C2α，T2α中角α的取值范围分别是什么？
提示：S2α，C2α中α∈R，T2α中α≠kπ＋且α≠±.
(2)能应用tan α表示sin 2α，cos 2α吗？
提示：sin 2α＝2sin αcos α＝＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝.
[课前反思]
(1)二倍角的正弦公式： ；
(2)二倍角的余弦公式： ；
(3)二倍角的正切公式： .
知识点1
化简求值
?讲一讲
1．求下列各式的值：
(1)sincos；(2)1－2sin2750°；
(3)；(4)－；
(5)cos 20°cos 40°cos 80°.
[尝试解答] (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－.
(4)原式＝＝
＝＝＝4.
(5)原式＝
＝
＝＝＝.
类题·通法
化简求值的四个方向
三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
?练一练
1．化简：(1)－；
(2).
解：(1)原式＝
＝＝tan 2θ.
(2)原式＝
＝
＝
＝＝＝1.
知识点2
条件求值
?讲一讲
2．(1)已知cos＝，≤α<，求cos2α＋的值；
(2)已知α∈，且sin 2α＝sin，求α.
[尝试解答] (1)∵≤α<，∴≤α＋<.
∵cos>0，∴<α＋<.
∴sin＝－
＝－＝－.
∴cos 2α＝sin＝2sincos
＝2××＝－，
sin 2α＝－cos＝1－2cos2
＝1－2×2＝.
∴cos＝cos 2α－sin 2α
＝×＝－.
(2)∵sin 2α＝－cos＝－，
sin＝－sin＝－cos
＝－cos，
∴原式可化为1－2cos2＝－cos，
解得cos＝1或cos＝－.
∵α∈，∴α＋∈，
故α＋＝0或α＋＝，即α＝－或α＝.
类题·通法
解决条件求值问题的方法
解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
?练一练
2．(1)已知cos α＝，则cos 2α等于( )
A. B. C．－ D.
(2)设α是第四象限角，已知sin α＝－，则sin 2α，cos 2α和tan 2α的值分别为( )
A．－，，－ B.，，
C．－，－， D.，－，－
(3)已知tan α＋＝，α∈，求cos 2α和sin的值．
解析：(1)cos 2α＝2cos2α－1＝－1＝－.
(2)因为α是第四象限角，且sin α＝－，
所以cos α＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝，tan 2α＝＝－.
(3)由tan α＋＝，得＋＝，
则＝，即sin 2α＝.
因为α∈，所以2α∈，
所以cos 2α＝－＝－，
sin＝sin 2α·cos ＋cos 2α·sin ＝×－×＝.
答案：(1)C (2)A
知识点3
倍角公式的综合应用
?讲一讲
3．已知向量a＝(sin A，cos A)，b＝(，－1)，a·b＝1，且A为锐角．
(1)求角A的大小；
(2)求函数f(x)＝cos 2x＋4cos Asin x(x∈R)的值域．
[尝试解答] (1)由题意得a·b＝sin A－cos A＝1，
2sin＝1，sin＝.
由A为锐角得A－＝，所以A＝.
(2)由(1)知cos A＝，
所以f(x)＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x
＝－22＋.
因为x∈R，所以sin x∈[－1,1]，
因此，当sin x＝时，f(x)有最大值.
当sin x＝－1时，f(x)有最小值－3，
所以所求函数f(x)的值域是.
类题·通法
二倍角公式的灵活运用
(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：
2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，
cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α.
(2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的的活用公式．主要形式有：
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，
1＋cos 2α＝2cos2α，cos2α＝，sin2α＝.
?练一练
3．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．
解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)
＝sin，
所以f(x)的最小正周期为，最大值为.
(2)因为f(α)＝，
所以sin＝1.
因为α∈，
所以4α＋∈，
即4α＋＝.故α＝.
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式，难点是公式的应用．
2．要掌握二倍角公式的三个应用
(1)解决化简求值问题，见讲1；
(2)解决条件求值问题，见讲2；
(3)倍角公式的综合应用，见讲3.
3．要牢记二倍角公式的几种变形
(1)sin 2x＝cos＝cos
＝2cos2－1＝1－2sin2；
(2)cos 2x＝sin＝sin
＝2sincos；
(3)cos 2x＝sin＝sin
＝2sincos.
课下能力提升(二十四)
[学业水平达标练]
题组1 化简求值
1．下列各式中，值为的是( )
A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．2sin215° D．sin215°＋cos215°
解析：选B cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
2．cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°＝( )
A. B. C. D．1＋
解析：选C 原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋＝.
3．求值：.
解：∵sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°
＝sin 50°＝1，
cos 80°＝sin 10°＝sin210°，
∴
＝＝.
题组2 条件求值
4．若tan α＝3，则的值等于( )
A．2 B．3 C．4 D．6
解析：选D ＝＝2tan α＝2×3＝6.
5．已知sin 2α＝，则sin2＝( )
A. B. C. D.
解析：选D sin2＝＝＝.
6．已知α∈，且sin α＝，则tan＝( )
A．－ B. C．7 D．－
解析：选D 因为α∈，且sin α＝，所以cos α＝－，所以tan α＝－，由二倍角公式得tan 2α＝＝－，tan＝＝－.
7．已知角α在第一象限且cos α＝，则＝( )
A. B. C. D．－
解析：选C 因为cos α＝且α在第一象限，所以sin α＝.所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝，原式＝＝＝.
8．已知<α<π，cos α＝－.
(1)求tan α的值；
(2)求sin 2α＋cos 2α的值．
解：(1)因为cos α＝－，<α<π，所以sin α＝，
所以tan α＝＝－.
(2)sin 2α＝2sin αcos α＝－.
cos 2α＝2cos2α－1＝，
所以sin 2α＋cos 2α＝－＋＝－.
题组3 倍角公式的综合应用
9．函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________．
解析：f(x)＝1＋cos 2x＋sin 2x
＝1＋sin，
∴f(x)的最小值为1－.
答案：1－
10．已知0解：∵sin2 ＋sincos
＝－sincos
＝－
＝－sin，
∴由已知得－sin＝－，
∴sin＝.
∵0结合sin＝易知∴cos＝，∴tan＝.
∴tan＝＝＝.
[能力提升综合练]
1.＝( )
A. B．1 C. D．2
解析：选B 原式＝＝＝＝1.
2．已知sin 2α＝，则tan α＋等于( )
A．1 B．2 C．4 D．3
解析：选D tan α＋＝＋＝＝3.
3．已知＝，则sin 2x＝( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选A ∵＝，∴＝，∴cos x＋sin x＝，∴1＋sin 2x＝，∴sin 2x＝－.
4．设a∈R，f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2满足f＝f(0)，当x∈时，f(x)的值域为( )
A．[1,2] B．[， ]
C．[，2] D．[，2]
解析：选D f(x)＝sin 2x－＋
＝sin 2x－cos 2x，
因为f＝f(0)，所以a＝2，
所以f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
x∈时，2x－∈，f(x)∈[，2]．故选D.
5．等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为________．
解析：设A是等腰△ABC的顶角，则cos B＝，
sin B＝＝ ＝.
所以sin A＝sin(180°－2B)＝sin 2B＝2sin Bcos B＝2××＝.
答案：
6．已知cos 2α＝，π<2α<2π，求的值．
解：原式＝，
又∵cos 2α＝，∴2cos2α－1＝，
∴cos2α＝，<2α<2π，
∴<α<π，∴
∴原式＝.
7．设函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sin xcos x.
(1)求f；
(2)若f(α)＝5，α∈，求角α.
解：f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sin xcos x
＝5cos2x＋5sin2x－2sin 2x－4sin2x
＝5－2sin 2x－2(1－cos 2x)
＝3－2sin 2x＋2cos 2x
＝3－4
＝3－4
＝3－4sin.
(1)f＝3－4sin
＝3－4sin
＝3－4.
(2)由f(α)＝5，得sin＝－，
由α∈，得2α－∈，
∴2α－＝，α＝.
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[学业水平达标练]
题组1 化简求值
1．下列各式中，值为的是( )
A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．2sin215° D．sin215°＋cos215°
解析：选B cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
2．cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°＝( )
A. B. C. D．1＋
解析：选C 原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋＝.
3．求值：.
解：∵sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°
＝sin 50°＝1，
cos 80°＝sin 10°＝sin210°，
∴
＝＝.
题组2 条件求值
4．若tan α＝3，则的值等于( )
A．2 B．3 C．4 D．6
解析：选D ＝＝2tan α＝2×3＝6.
5．已知sin 2α＝，则sin2＝( )
A. B. C. D.
解析：选D sin2＝＝＝.
6．已知α∈，且sin α＝，则tan＝( )
A．－ B. C．7 D．－
解析：选D 因为α∈，且sin α＝，所以cos α＝－，所以tan α＝－，由二倍角公式得tan 2α＝＝－，tan＝＝－.
7．已知角α在第一象限且cos α＝，则＝( )
A. B. C. D．－
解析：选C 因为cos α＝且α在第一象限，所以sin α＝.所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝，原式＝＝＝.
8．已知<α<π，cos α＝－.
(1)求tan α的值；
(2)求sin 2α＋cos 2α的值．
解：(1)因为cos α＝－，<α<π，所以sin α＝，
所以tan α＝＝－.
(2)sin 2α＝2sin αcos α＝－.
cos 2α＝2cos2α－1＝，
所以sin 2α＋cos 2α＝－＋＝－.
题组3 倍角公式的综合应用
9．函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________．
解析：f(x)＝1＋cos 2x＋sin 2x
＝1＋sin，
∴f(x)的最小值为1－.
答案：1－
10．已知0解：∵sin2 ＋sincos
＝－sincos
＝－
＝－sin，
∴由已知得－sin＝－，
∴sin＝.
∵0结合sin＝易知∴cos＝，∴tan＝.
∴tan＝＝＝.
[能力提升综合练]
1.＝( )
A. B．1 C. D．2
解析：选B 原式＝＝＝＝1.
2．已知sin 2α＝，则tan α＋等于( )
A．1 B．2 C．4 D．3
解析：选D tan α＋＝＋＝＝3.
3．已知＝，则sin 2x＝( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选A ∵＝，∴＝，∴cos x＋sin x＝，∴1＋sin 2x＝，∴sin 2x＝－.
4．设a∈R，f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2满足f＝f(0)，当x∈时，f(x)的值域为( )
A．[1,2] B．[， ]
C．[，2] D．[，2]
解析：选D f(x)＝sin 2x－＋
＝sin 2x－cos 2x，
因为f＝f(0)，所以a＝2，
所以f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
x∈时，2x－∈，f(x)∈[，2]．故选D.
5．等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为________．
解析：设A是等腰△ABC的顶角，则cos B＝，
sin B＝＝ ＝.
所以sin A＝sin(180°－2B)＝sin 2B＝2sin Bcos B＝2××＝.
答案：
6．已知cos 2α＝，π<2α<2π，求的值．
解：原式＝，
又∵cos 2α＝，∴2cos2α－1＝，
∴cos2α＝，<2α<2π，
∴<α<π，∴
∴原式＝.
7．设函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sin xcos x.
(1)求f；
(2)若f(α)＝5，α∈，求角α.
解：f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sin xcos x
＝5cos2x＋5sin2x－2sin 2x－4sin2x
＝5－2sin 2x－2(1－cos 2x)
＝3－2sin 2x＋2cos 2x
＝3－4
＝3－4
＝3－4sin.
(1)f＝3－4sin
＝3－4sin
＝3－4.
(2)由f(α)＝5，得sin＝－，
由α∈，得2α－∈，
∴2α－＝，α＝.
