3.2 简单的三角恒等变换
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P139～P142的内容，回答下列问题．
(1)α与是什么关系？
提示：倍角关系．
(2)如何用cos α表示sin2 ，cos2 和tan2 ？
提示：sin2＝，cos2＝，tan2＝.
2．归纳总结，核心必记
(1)半角公式
(2)三角恒等变换的特点
三角恒等变换常常寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式．
[问题思考]
(1)能用不含根号的形式用sin α，cos α表示tan 吗？
提示：tan ＝＝.
(2)如何用tan 表示sin α，cos α及tan α？
提示：sin α＝2sin·cos＝＝. cos α＝cos2 －sin2 ＝＝.tan α＝＝.
[课前反思]
(1)半角公式的有理形式： ；
(2)半角公式的无理形式： .
知识点1
求值问题
?讲一讲
1．已知sin α＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．
[尝试解答] ∵π<α<，sin α＝－，
∴cos α＝－，且<<，
∴sin＝ ＝，
cos＝－ ＝－，
tan＝＝－2.
类题·通法
解决给值求值问题的思路方法
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：
(1)先化简已知或所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
?练一练
1．已知sin－cos＝－，450°<α<540°，求tan的值．
解：由题意得2＝，
即1－sin α＝，得sin α＝.
∵450°<α<540°，∴cos α＝－，
∴tan＝＝＝2.
知识点2
三角函数式的化简
?讲一讲
2．化简：(180°<α<360°)．
[尝试解答] 原式＝
＝＝.
又∵180°<α<360°，∴90°<<180°，∴cos<0，
∴原式＝＝cos α.
类题·通法
化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．
?练一练
2．化简：
(1)－；
(2)－2cos(α＋β)．
解：(1)原式＝－，
∵<θ<2π，∴<<π，
∴0
从而sin＋cos<0，sin－cos>0.
∴原式＝－－＝－2sin.
(2)∵2α＋β＝α＋(α＋β)，
∴原式＝
＝
＝＝.
知识点3
三角恒等式的证明
?讲一讲
3．求证：＝tan x.
[尝试解答] 法一：左边＝
＝sin x＝＝tan x＝右边．
法二：左边＝·＝·
＝·＝·
＝＝tan x＝右边．
类题·通法
三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
?练一练
3．求证：＝.
证明：左边＝
＝＝＝
＝＝＝右边．
∴原等式成立．
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是半角公式，难点是半角公式的应用．
2．要掌握三角恒等变换的三个应用
(1)求值问题，见讲1；
(2)化简问题，见讲2；
(3)三角恒等式的证明，见讲3.
3．对半角公式的四点认识
(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．
(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，便可求出sin，cos，tan.
(3)由于tan＝及tan＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．
(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin2 ＝，cos2 ＝求解．
课下能力提升(二十五)
[学业水平达标练]
题组1 求值问题
1．设5π<θ<6π，cos ＝a，则sin ＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D ∵∈，
∴sin ＝－＝－ .
2．若f(x)＝2tan x－，则f的值是( )
A．－ B．8 C．4 D．－4
解析：选B f(x)＝2tan x－
＝2tan x＋＝2(tan x＋)．
又tan＝＝，
∴原式＝2＝8.
3．已知cos θ＝－，且180°<θ<270°，求tan.
解：法一：∵180°<θ<270°，∴90°<<135°，∴tan<0，∴tan ＝－＝－＝－2.
法二：∵180°<θ<270°，∴sin θ<0，
∴sin θ＝－＝－＝－，
∴tan＝＝＝－2.
题组2 三角函数式的化简
4．化简的结果是( )
A．－cos 1 B．cos 1
C.cos 1 D．－cos 1
解析：选C 原式＝＝＝＝＝cos 1.
5．化简2＋2sin2得( )
A．2＋sin α B．2＋sin
C．2 D．2＋sin
解析：选C 原式＝1＋2sincos＋1－cos2－＝2＋sin α－cos＝2＋sin α－sin α＝2.
题组3 三角恒等式的证明
6．求证：cos4θ＝＋cos 2θ＋cos22θ.
证明：法一：原式左边＝2
＝＋cos 2θ＋cos22θ＝右边，∴原式成立．
法二：原式右边＝(cos22θ＋2cos 2θ＋1)
＝(cos 2θ＋1)2＝(2cos2θ－1＋1)2＝cos4θ＝左边，
∴原式成立．
7．求证：2sin4x＋sin22x＋5cos4x－(cos 4x＋cos 2x)＝2(1＋cos2x)．
证明：左边＝22＋sin22x＋
52－(cos 4x＋cos 2x)
＝2×＋sin22x＋5×－(2cos22x－1＋cos 2x)
＝2×＋＋＋2×－＋5×－cos 2x＋2×＋5×－×2cos22x＋sin22x＝＋cos 2x＋cos22x＋sin22x
＝＋cos 2x＋
＝3＋cos 2x＝3＋(2cos2x－1)＝2(1＋cos2x)＝右边．
∴原式成立．
[能力提升综合练]
1．函数f(x)＝cos2，x∈R，则f(x)( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
解析：选D 由cos 2x＝2cos2x－1，得f(x)＝cos2x＋＝
＝＋cos＝－，
所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数．
2．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝，c＝，则有( )
A．a>b>c B．aC．a解析：选C a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，∴a3．已知关于x的方程x2＋xcos Acos B－2sin2 ＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选C 由一元二次方程根与系数的关系得－cos Acos B＝，
即cos Acos B＝sin2 ＝sin2＝cos2＝[1＋cos(A＋B)]．得cos(A－B)＝1.∴A＝B.
4．已知sin＝，则cos2＝________.
解析：因为cos＝sin＝sin＋α＝.所以cos2＝＝＝.
答案：
5．已知sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围是________．
解析：法一：设x＝cos α·sin β，
则sin(α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β＝＋x，sin(α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β＝－x.
因为－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，
所以所以所以－≤x≤.
法二：设x＝cos α·sin β，sin α·cos β·cos α·sin β＝x，即sin 2α·sin 2β＝2x.由|sin 2α·sin 2β|≤1，得|2x|≤1，所以－≤x≤.
答案：
6．已知tan ＝，求sin的值．
解：∵tan ＝，∴sin α＝2sin cos ＝＝＝＝，
cos α＝cos2－sin2＝＝＝＝.
∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝.
7．设函数f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)的值域．
解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ
＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ
＝2sin＋λ .
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，
可得sin＝±1.
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，
即ω＝＋(k∈Z)．
又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，
即λ＝－2sin＝－2sin＝－，
即λ＝－.
故f(x)＝2sin－，
函数f(x)的值域为[－2－，2－ ]．
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[学业水平达标练]
题组1 求值问题
1．设5π<θ<6π，cos ＝a，则sin ＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D ∵∈，
∴sin ＝－＝－ .
2．若f(x)＝2tan x－，则f的值是( )
A．－ B．8 C．4 D．－4
解析：选B f(x)＝2tan x－
＝2tan x＋＝2(tan x＋)．
又tan＝＝，
∴原式＝2＝8.
3．已知cos θ＝－，且180°<θ<270°，求tan.
解：法一：∵180°<θ<270°，∴90°<<135°，∴tan<0，∴tan ＝－＝－＝－2.
法二：∵180°<θ<270°，∴sin θ<0，
∴sin θ＝－＝－＝－，
∴tan＝＝＝－2.
题组2 三角函数式的化简
4．化简的结果是( )
A．－cos 1 B．cos 1
C.cos 1 D．－cos 1
解析：选C 原式＝＝＝＝＝cos 1.
5．化简2＋2sin2得( )
A．2＋sin α B．2＋sin
C．2 D．2＋sin
解析：选C 原式＝1＋2sincos＋1－cos2－＝2＋sin α－cos＝2＋sin α－sin α＝2.
题组3 三角恒等式的证明
6．求证：cos4θ＝＋cos 2θ＋cos22θ.
证明：法一：原式左边＝2
＝＋cos 2θ＋cos22θ＝右边，∴原式成立．
法二：原式右边＝(cos22θ＋2cos 2θ＋1)
＝(cos 2θ＋1)2＝(2cos2θ－1＋1)2＝cos4θ＝左边，
∴原式成立．
7．求证：2sin4x＋sin22x＋5cos4x－(cos 4x＋cos 2x)＝2(1＋cos2x)．
证明：左边＝22＋sin22x＋
52－(cos 4x＋cos 2x)
＝2×＋sin22x＋5×－(2cos22x－1＋cos 2x)
＝2×＋＋＋2×－＋5×－cos 2x＋2×＋5×－×2cos22x＋sin22x＝＋cos 2x＋cos22x＋sin22x
＝＋cos 2x＋
＝3＋cos 2x＝3＋(2cos2x－1)＝2(1＋cos2x)＝右边．
∴原式成立．
[能力提升综合练]
1．函数f(x)＝cos2，x∈R，则f(x)( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
解析：选D 由cos 2x＝2cos2x－1，得f(x)＝cos2x＋＝
＝＋cos＝－，
所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数．
2．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝，c＝，则有( )
A．a>b>c B．aC．a解析：选C a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，∴a3．已知关于x的方程x2＋xcos Acos B－2sin2 ＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选C 由一元二次方程根与系数的关系得－cos Acos B＝，
即cos Acos B＝sin2 ＝sin2＝cos2＝[1＋cos(A＋B)]．得cos(A－B)＝1.∴A＝B.
4．已知sin＝，则cos2＝________.
解析：因为cos＝sin＝sin＋α＝.所以cos2＝＝＝.
答案：
5．已知sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围是________．
解析：法一：设x＝cos α·sin β，
则sin(α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β＝＋x，sin(α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β＝－x.
因为－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，
所以所以所以－≤x≤.
法二：设x＝cos α·sin β，sin α·cos β·cos α·sin β＝x，即sin 2α·sin 2β＝2x.由|sin 2α·sin 2β|≤1，得|2x|≤1，所以－≤x≤.
答案：
6．已知tan ＝，求sin的值．
解：∵tan ＝，∴sin α＝2sin cos ＝＝＝＝，
cos α＝cos2－sin2＝＝＝＝.
∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝.
7．设函数f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)的值域．
解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ
＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ
＝2sin＋λ .
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，
可得sin＝±1.
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，
即ω＝＋(k∈Z)．
又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，
即λ＝－2sin＝－2sin＝－，
即λ＝－.
故f(x)＝2sin－，
函数f(x)的值域为[－2－，2－ ]．
