考点一
三角函数的化简与证明
1．三角函数式的化简与证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经过何种形式联系起来；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．
2．三角恒等式的证明问题主要有两种类型：不附加条件的恒等式证明和条件恒等式证明．
(1)不附加条件的恒等式证明
三角恒等式的证明就是通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，这是三角变换的重要应用之一．证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡．
(2)条件恒等式证明
这类问题的解题思路是恰当、适时地使用条件，或仔细探求所附条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法．
[典例1] 化简：.
解：法一：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝2.
法二：原式＝
＝
＝
＝＝
＝
＝＝2.
[对点训练]
1．(1)化简：＝________.
(2)已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝________.
解析：(1)原式＝
＝＝＝＝cos 2x.
(2)∵α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，
∴2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，∴cos α＝，
∴＝＝＝.
答案：(1)cos 2x (2)
考点二
三角函数求值
三角函数求值主要有三种类型，即：
(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．
(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．
(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．
[典例2] 已知tan α＝－，cos β＝，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
解：(1)由cos β＝，β∈(0，π)，
得sin β＝，tan β＝2，
所以tan(α＋β)＝＝＝1.
(2)因为tan α＝－，α∈(0，π)，
所以sin α＝，cos α＝－ .
f(x)＝sin xcos α－cos xsin α＋cos xcos β－sin xsin β
＝－sin x－cos x＋cos x－sin x
＝－sin x.
所以f(x)的最大值为.
[对点训练]
2．已知α∈，sin α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
解：(1)因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝－＝－.
故sin
＝sin cos α＋cos sin α＝×＋×＝－.
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α
＝2××＝－，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，
所以cos＝cos cos 2α＋sin sin 2α＝×＋×
＝－.
考点三
三角恒等变换的应用
三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．
(1)求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解．
(2)要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题．
(3)有时会以向量为背景出题，综合考查向量、三角恒等变换、三角函数知识．
[典例3] 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点和点.
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
解：(1)由题意知，f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.
因为y＝f(x)的图象过点和点，
所以
即解得m＝，n＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
由题意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.
设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)．
由题意知，x＋1＝1，所以x0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．
将其代入y＝g(x)得，sin＝1.因为0<φ<π，所以φ＝.
因此，g(x)＝2sin＝2cos 2x.
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
[对点训练]
3．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递减区间．
解：(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
因为f(x)＝(sin x－cos x)
＝2cos x(sin x－cos x)
＝sin 2x－cos 2x－1
＝sin－1，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)函数y＝sin x的单调递减区间为2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)．
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
考点四
三角形中的三角函数
1．三角形中的三角函数问题，其本质是附条件的三角函数问题，这个条件是A＋B＋C＝π.解决问题时要熟练掌握下面一些恒等式的应用：
(1)sin(A＋B)＝sin C，
cos(A＋B)＝－cos C，
tan(A＋B)＝－tan C；
(2)sin(2A＋2B)＝－sin 2C，
cos(2A＋2B)＝cos 2C，
tan(2A＋2B)＝－tan 2C；
(3)sin＝cos，
cos＝sin，
tan＝.
还要记住下面恒等式的证明：
tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
2．三角形中的三角函数问题主要有求值、化简、证明，其实质是附条件的三角函数问题．还有一种重要题型是判断三角形的形状，从角的方面看，若最大角是锐角、直角、钝角，可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．从边的方面看，可分为等腰三角形、非等腰三角形，等腰三角形又可分为等边三角形和底、腰不等的等腰三角形，分类标准必须清楚．
[典例4] 在△ABC中，sin A＝sin Btan A，且B为钝角．
(1)证明：B－A＝；
(2)求sin A＋sin C的取值范围．
解：(1)由sin A＝sin Btan A，得＝，所以sin B＝cos A，即sin B＝sin.又B为钝角，因此＋A∈，故B＝＋A，即B－A＝.
(2)由(1)，知C＝π－(A＋B)＝－2A>0，所以A∈.
于是sin A＋sin C＝sin A＋sin＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1＝－22＋.因为0
[对点训练]
4．在△ABC中，A，B为锐角，且cos 2A＝，sin B＝，求角C的大小．
解：∵A为锐角，cos 2A＝，∴cos 2A＝1－2sin2A＝，
∴sin A＝，cos A＝＝.
又B为锐角，sin B＝，
∴cos B＝＝.
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝×－×＝.
∵0∴C＝π－(A＋B)＝.
即角C＝.
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一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝cos－cos是( )
A．周期为π的偶函数 B．周期为2π的偶函数
C．周期为π的奇函数 D．周期为2π的奇函数
解析：选D 因为f(x)＝cos－cos＝－＝－sin x，所以函数f(x)的最小正周期为＝2π.又f(－x)＝－sin(－x)＝sin x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选D.
2．sin 45°·cos 15°＋cos 225°·sin 15°的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°
＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin(45°－15°)
＝sin 30°＝.
3．已知α是第二象限角，且cos α＝－，则cos的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 由题意，sin α＝，
cos＝cos cos α＋sinsin α＝.
4．若sin＝，则cos等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A cos＋2α＝cosπ－2－α＝－cos2－α＝2sin2－1＝－.
5．已知tan(α＋β)＝，tan α＝，那么tan(2α＋β)等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A tan(2α＋β)＝＝.
6．已知sin x＋cos x＝2a－3，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由sin x＋cos x＝2sin＝2a－3，得sin＝a－，∴≤1，即≤a≤.
7．在△ABC中，已知tan＝sin C，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C 在△ABC中，tan＝sin C＝sin(A＋B)＝2sincos，∴2cos2＝1，∴cos(A＋B)＝0，从而A＋B＝，即△ABC为直角三角形．
8．若θ∈，sin θ－cos θ＝，则cos 2θ等于( )
A. B．－
C．± D．±
解析：选B 由sin θ－cos θ＝两边平方得，sin 2θ＝，又θ∈，且sin θ>cos θ，所以<θ<，所以<2θ<π，因此，cos 2θ＝－，故选B.
9．已知函数f(x)＝sin，若存在α∈(0，π)，使得f(x＋α)＝f(x－α)恒成立，则α的值是( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵f(x＋α)＝f(x－α)，∴函数f(x)的周期为T＝2α，而函数f(x)＝sin的周期为T＝＝π，∴2α＝π，∴α＝.
10．已知tan θ和tan是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，那么a，b间的关系是( )
A．a＋b＋1＝0 B．a＋b－1＝0
C．a－b＋1＝0 D．a－b－1＝0
解析：选C 由条件得tan θ＋tan＝－a，tan θtan－θ＝b，∴tan ＝1＝tanθ＋－θ＝＝，∴－a＝1－b，即a－b＋1＝0.
11．设a＝(sin 17°＋cos 17°)，b＝2cos213°－1，c＝sin 37°·sin 67°＋sin 53°sin 23°，则( )
A．cC．a解析：选A a＝cos 45°sin 17°＋sin 45°cos 17°＝sin 62°，
b＝cos 26°＝sin 64°，
c＝sin 37°cos 23°＋cos 37°sin 23°＝sin 60°，
故c12．在△ABC中，A，B，C是其三个内角，设f(B)＝4sin B·cos 2＋cos 2B，当f(B)－m<2恒成立时，实数m的取值范围是( )
A．m<1 B．m>－3
C．m<3 D．m>1
解析：选D f(B)＝4sin Bcos2＋cos 2B
＝4sin B·＋cos 2B
＝2sin B(1＋sin B)＋(1－2sin2B)＝2sin B＋1.
∵f(B)－m<2恒成立，
∴2sin B＋1－m<2恒成立，即m>2sin B－1恒成立．
∵0∴－1<2sin B－1≤1，故m>1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知α∈，sin α＝，则tan 2α＝________.
解析：因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－.
所以tan α＝＝－，
所以tan 2α＝＝＝－.
答案：－
14．已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是________．
解析：由题意，sin＝，∴cos＝，
∴tan＝.∴tan A＝＝.
答案：
15．化简sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－cos(120°－x)的结果是________．
解析：原式＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x＝0.
答案：0
16．已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为3，则m＝________.
解析：f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m＝sin 2x＋1＋cos 2x＋m＝2sin＋m＋1.
因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，所以－≤sin≤1，所以f(x)max＝2＋m＋1＝3＋m＝3，所以m＝0.
答案：0
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分 )已知cos θ＝，θ∈(π，2π)，求sin以及tan的值．
解：因为cos θ＝，θ∈(π，2π)，
所以sin θ＝－，tan θ＝－，
所以sin＝sin θcos－cos θsin
＝－×－×＝－，
tan＝＝＝.
18．(12分)已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤，求证：[f(β)]2－2＝0.
解：(1)∵f(x)＝sin＋sin
＝sin＋sin＝2sin，
∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.
(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝，
cos βcos α－sin βsin α＝－.
两式相加得2cos βcos α＝0.
∵0<α<β≤，∴β＝.
∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0.
19．(12分)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
解：(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈，从而sin x＝，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
当x＝∈时，sin取最大值1，此时f(x)取得最大值，最大值为.
20．(12分)已知向量a＝(，cos 2ωx)，b＝(sin 2ωx,1)(ω>0)，令f(x)＝a·b，且函数f(x)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若x∈时，f(x)＋m≤3，求实数m的取值范围．
解：(1)f(x)＝a·b＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin.
∵函数f(x)的最小正周期为π，∴ω＝1，∴f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，∴2x＋∈，
∴sin∈，∴f(x)∈[－1,2]．
由f(x)＋m≤3，得f(x)max＋m≤3，
∴2＋m≤3，∴m≤1.
21.(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)试确定函数f(x)的解析式；
(2)若f＝，求cos－α的值．
解：(1)由图象知，A＝2，设函数f(x)的最小正周期为T，则＝－＝，∴T＝2，
∴ω＝＝＝π，故函数f(x)＝2sin(πx＋φ)．
∵f＝2sin＝2，∴sin＝1.
又∵|φ|<，即－<φ<，
∴－<＋φ<，故＋φ＝，解得φ＝，
∴f(x)＝2sin.
(2)∵f＝，
∴2sin＝2sin＝，
∴sin＝，
∴cos＝cos
＝sin＝，
∴cos＝cos ＝2cos2－－1＝2×2－1＝－.
22．(12分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．
解：(1)由f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1，得
f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
∴函数f(x)的最小正周期为π.
∵f(x)＝2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，
又f(0)＝1，f＝2，
f＝－1，
∴函数f(x)在区间上的最大值为2，
最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin.
又∵f(x0)＝，∴sin＝.
由x0∈，得2x0＋∈.
从而cos＝－ ＝－.
∴cos 2x0＝cos
＝coscos＋sinsin
＝.
