1.1 任意角和弧度制
第1课时 任 意 角
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P2～P5的内容，回答下列问题．
(1)阅读教材P2“思考”的内容，你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25个小时，你应当如何将它校准？在你调整的过程中，分针转动的方向有什么区别？
提示：当手表慢了5分钟时，通常将分针顺时针旋转进行调整；当手表快了1.25小时时，通常将分针逆时针旋转进行调整．故在调整的过程中两种情形分针的转动方向相反．
(2)体操中有“转体720°”(即“转体2周”)，“转体1 080°”(即“转体3周”)这样的动作名称，而旋转的方向也有顺时针与逆时针的不同；又如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．这样，OA绕O旋转所成的角与O′B绕O′旋转所成的角就会有不同的方向．
利用我们以前学过的0°～360°范围的角，还能描述以上现象吗？
提示：要准确地描述这些现象，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向．故利用0°～360°范围的角，无法描述以上现象．
(3)阅读教材P3“探究”的内容，请思考：对于直角坐标系内任一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么这些终边相同的角有什么关系？
提示：不唯一．它们之间相差360°的整数倍，即相差k·360°(k∈Z)．
2．归纳总结，核心必记
(1)角的有关概念
有关概念
描述
定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形
图示
其中O为顶点，OA为始边，OB为终边
记法
角α或∠α，或简记为α
(2)角的分类
①
②按角的终边位置
(ⅰ)角的终边在第几象限，则此角称为第几象限角；
(ⅱ)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．
(3)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
[问题思考]
(1)你能说出角的三要素吗？
提示：角的三要素是顶点、终边、始边．
(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？
提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等．
(3)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？
提示：不对，如果一条射线绕端点按顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小．
(4)在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°，这种说法是否正确？
提示：不正确，在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点
旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转的，故它形成的角为－90°.
(5)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？
提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小并没有确定，所以角也就不能确定．
(6)初中我们学过对顶角相等．依据现在的知识试判断一下图中角α，β是否相等？
提示：不相等．角α为逆时针方向形成的角，α为正角；角β为顺时针方向形成的角，β为负角．
[课前反思]
(1)角的概念： ；
(2)角的分类： ；
(3)终边相同的角： .
知识点1
终边相同的角及区域角的表示
[思考1] 终边相同的角一定是相等的角吗？它们之间有什么关系？如何把这一类角表示出来？
名师指津：不一定．相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍．可以用集合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}表示．
[思考2] 区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，区域角如何表示？
名师指津：区域角可以看作是某一范围内的终边相同角的集合．故可把区域的起始、终止边界表示出来，然后组成集合即可．
?讲一讲
1．(1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．
[尝试解答] (1)与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝－1 910°＋k·360°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，
∴－720°≤－1 910°＋k·360°＜360°，3≤k＜6.
故k＝4,5,6，
k＝4时，β＝－1 910°＋4×360°＝－470°.
k＝5时，β＝－1 910°＋5×360°＝－110°.
k＝6时，β＝－1 910°＋6×360°＝250°.
(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．
②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
③终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，结合②知所求角的集合为S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}．
(3)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
类题·通法
(1)在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
①把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．
②要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
(2)区域角的写法可分三步
①按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
②由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；
③用不等式表示区域内的角，组成集合．
?练一练
1．已知角α＝2 018°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
解：(1)由2 018°除以360°，得商为5，余数为218°，
∴取k＝5，β＝218°，α＝5×360°＋218°.
(2)与2 018°角终边相同的角为k·360°＋2 018°(k∈Z)．
令－360°≤k·360°＋2 018°<720°，k∈Z，∴k取－6，－5，－4，将k的值代入k·360°＋2 018°中，得角θ的值为－142°，218°，578°.
知识点2
象限角的判断
[思考1] 若α为第一象限角，则α的顶点、始边、终边各有什么特点？
提示：若α为第一象限角，则α的顶点为坐标原点、始边与x轴的正半轴重合，终边处在第一象限．
[思考2] 如何判定象限角？
提示：(1)根据图形判定；(2)根据终边相同的角的概念判定．
?讲一讲
2．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.
[尝试解答] 作出各角，其对应的终边如图所示：
(1)由图①可知：－75°是第四象限角．
(2)由图②可知：855°是第二象限角．
(3)由图③可知：－510°是第三象限角．
类题·通法
给定角α所处象限的判定方法
法一：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式．
第二步，判断β的终边所在的象限．
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
法二：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．
?练一练
2．(1)已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°.其中是第二象限角的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
(2)若β是第四象限角，则180°－β是第________象限角．
解析：(1)－120°角是第三象限角；－240°角是第二象限角；180°角不在任何一个象限内；495°＝360°＋135°，所以495°角是第二象限角．
(2)因为β是第四象限角，所以取β＝－20°，则180°－β＝200°，为第三象限角．
答案：(1)D (2)三
知识点3
nα或所在象限的判定
?讲一讲
3．若α是第二象限角，则2α，分别是第几象限的角？
[尝试解答] (1)∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，
∴180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°，
∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上．
(2)∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，
∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)．
法一：①当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，即是第一象限角；
②当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，
即是第三象限角．
故是第一或第三象限角．
法二：∵45°＋k·180°表示终边为一、三象限角平分线的角，90°＋k·180°(k∈Z)表示终边为y轴的角，
∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)表示如图中阴影部分图形．即是第一或第三象限角．
类题·通法
(1)nα所在象限的判断方法
确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．
(2)所在象限的判断方法
已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法：
①用不等式表示出角的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论．
②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．
?练一练
3．若角α是第一象限角，则－α，2α，分别是第几象限角？
解：∵α是第一象限角，∴k·360°<α(1)－k·360°－90°<－α<－k·360°(k∈Z)，
∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角．
(2)2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)，
∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，
故2α是第一、二象限角或终边落在y轴非负半轴上的角．
(3)法一(分类讨论)：k·120°<当k＝3n(n∈Z)时，
n·360°<当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋120°<当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋240°<综上可知，是第一、第二或第三象限角．
法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为角的终边落在的区域，故为第一、第二或第三象限角．
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是nα及所在象限的判定．
2．本节课要重点掌握以下规律方法
(1)求终边相同的角及区域角的表示，见讲1；
(2)象限角及nα、所处象限的判断，见讲2和讲3.
3．本节课的易错点有以下几点
(1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角．
(2)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可以用除法．
(3)已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上k·360°，得到所求．
课下能力提升(一)
[学业水平达标练]
题组1 终边相同的角及区域角的表示
1．与－457°角的终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
解析：选C 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}．
2．若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是( )
A．A＝B＝C B．A＝B∩C
C．A∪B＝C D．A?B?C
解析：选D ∵90°∈C,90°?B,90°?A，∴选项A，C错误；又∵180°∈C,180°∈B,180°?A，∴选项B错误．故选D.
3．若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ，m，n∈Z，则α，β终边的位置关系是( )
A．重合 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
解析：选C 由α＝n·360°＋θ，n∈Z可知α与θ是终边相同的角，由β＝m·360°－θ，m∈Z可知β与－θ是终边相同的角．因为θ与－θ两角终边关于x轴对称，所以α与β两角终边关于x轴对称．
4.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.
解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α满足30°<α<150°或210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α答案：{α|n·180°＋30°<α5．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来：
①60°；②－21°.
(2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α写出来．
解：(1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－300°，60°，420°；
②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－21°，339°，699°.
(2)终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α为：－45°，135°.
题组2 象限角的判断
6．－1 120°角所在象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 由题意，得－1 120°＝－4×360°＋320°，而320°在第四象限，所以－1 120°角也在第四象限．
7．下列叙述正确的是( )
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．第四象限角一定是负角
D．钝角比第三象限角小
解析：选B 90°的角是三角形的内角，它不是第一、二象限角，故A错；280°的角是第四象限角，它是正角，故C错；－100°的角是第三象限角，它比钝角小，故D错．
8．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B ∵α是第四象限角，
∴k·360°－90°<α∴k·360°＋90°<180°＋α∴180°＋α在第二象限，故选B.
题组3 nα或所在象限的判定
9．已知角2α的终边在x轴上方，那么α是( )
A．第一象限角 B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第一或第四象限角
解析：选C 由条件知k·360°<2α∴k·180°<α当k为偶数时，α在第一象限，当k为奇数时，α在第三象限．
10.若角α是第三象限角，则角的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)( )
A．③⑦
B．④⑧
C．②⑤⑧
D．①③⑤⑦
解析：选A ∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°<α当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋90°<∴角的终边所在的区域为③⑦.
[能力提升综合练]
1．已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝( )
A．{α|α为锐角} B．{α|α小于90°}
C．{α|α为第一象限角} D．以上都不对
解析：选D 小于90°的角包括锐角及所有负角，第一象限角指终边落在第一象限的角，所以A∩B是指锐角及第一象限的所有负角的集合，故选D.
2．下列叙述正确的是( )
A．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．若α是第一象限角，则2α是第二象限角
D．钝角比第三象限角小
解析：选B －330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A错；若α是第一象限角，则k·360°<α－135°，故D错．
3．终边与坐标轴重合的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°，k∈Z}
C．{α|α＝k·90°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
解析：选C 终边在x轴上的角的集合M＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合P＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}，则终边与坐标轴重合的角的集合S＝M∪P＝{α|α＝k·180°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{α|α＝n·90°，n∈Z}，故选C.
4．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )
A．α＋β＝k·360°，k∈Z
B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z
D．α－β＝k·360°，k∈Z
解析：选B 法一：特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.
法二：直接法：∵角α与角β的终边关于y轴对称，∴β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.
5．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．
解析：将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×＝60°，所转成的角度是－60°.
答案：－5 －60
6．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.
解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z.得 4α＝k·360°，当 k＝3时，α＝270°.
答案：270°
7．写出终边在如下列各图所示阴影部分内的角的集合．
解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；
(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．
8．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β都是锐角，
∴0°<α＋β<180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，
α，β都是锐角，
∴－90°<α－β<90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°.②
由①②，得α＝15°，β＝65°.
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[学业水平达标练]
题组1 终边相同的角及区域角的表示
1．与－457°角的终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
解析：选C 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}．
2．若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是( )
A．A＝B＝C B．A＝B∩C
C．A∪B＝C D．A?B?C
解析：选D ∵90°∈C,90°?B,90°?A，∴选项A，C错误；又∵180°∈C,180°∈B,180°?A，∴选项B错误．故选D.
3．若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ，m，n∈Z，则α，β终边的位置关系是( )
A．重合 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
解析：选C 由α＝n·360°＋θ，n∈Z可知α与θ是终边相同的角，由β＝m·360°－θ，m∈Z可知β与－θ是终边相同的角．因为θ与－θ两角终边关于x轴对称，所以α与β两角终边关于x轴对称．
4.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.
解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α满足30°<α<150°或210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α答案：{α|n·180°＋30°<α5．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来：
①60°；②－21°.
(2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α写出来．
解：(1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－300°，60°，420°；
②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－21°，339°，699°.
(2)终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α为：－45°，135°.
题组2 象限角的判断
6．－1 120°角所在象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 由题意，得－1 120°＝－4×360°＋320°，而320°在第四象限，所以－1 120°角也在第四象限．
7．下列叙述正确的是( )
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．第四象限角一定是负角
D．钝角比第三象限角小
解析：选B 90°的角是三角形的内角，它不是第一、二象限角，故A错；280°的角是第四象限角，它是正角，故C错；－100°的角是第三象限角，它比钝角小，故D错．
8．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B ∵α是第四象限角，
∴k·360°－90°<α∴k·360°＋90°<180°＋α∴180°＋α在第二象限，故选B.
题组3 nα或所在象限的判定
9．已知角2α的终边在x轴上方，那么α是( )
A．第一象限角 B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第一或第四象限角
解析：选C 由条件知k·360°<2α∴k·180°<α当k为偶数时，α在第一象限，当k为奇数时，α在第三象限．
10.若角α是第三象限角，则角的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)( )
A．③⑦
B．④⑧
C．②⑤⑧
D．①③⑤⑦
解析：选A ∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°<α当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋90°<∴角的终边所在的区域为③⑦.
[能力提升综合练]
1．已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝( )
A．{α|α为锐角} B．{α|α小于90°}
C．{α|α为第一象限角} D．以上都不对
解析：选D 小于90°的角包括锐角及所有负角，第一象限角指终边落在第一象限的角，所以A∩B是指锐角及第一象限的所有负角的集合，故选D.
2．下列叙述正确的是( )
A．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．若α是第一象限角，则2α是第二象限角
D．钝角比第三象限角小
解析：选B －330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A错；若α是第一象限角，则k·360°<α－135°，故D错．
3．终边与坐标轴重合的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°，k∈Z}
C．{α|α＝k·90°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
解析：选C 终边在x轴上的角的集合M＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合P＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}，则终边与坐标轴重合的角的集合S＝M∪P＝{α|α＝k·180°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{α|α＝n·90°，n∈Z}，故选C.
4．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )
A．α＋β＝k·360°，k∈Z
B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z
D．α－β＝k·360°，k∈Z
解析：选B 法一：特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.
法二：直接法：∵角α与角β的终边关于y轴对称，∴β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.
5．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．
解析：将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×＝60°，所转成的角度是－60°.
答案：－5 －60
6．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.
解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z.得 4α＝k·360°，当 k＝3时，α＝270°.
答案：270°
7．写出终边在如下列各图所示阴影部分内的角的集合．
解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；
(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．
8．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β都是锐角，
∴0°<α＋β<180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，
α，β都是锐角，
∴－90°<α－β<90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°.②
由①②，得α＝15°，β＝65°.
