第2课时 弧 度 制
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P6～P9的内容，回答下列问题．
(1)我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角是如何定义的？
提示：1度的角等于周角的.
(2)为了使用方便，数学上还采用弧度制来度量角，1弧度的角是如何定义的？
提示：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
(3)阅读教材P6“探究”的内容，思考：
①如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数的绝对值是多少？
提示：|α|＝.
②既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间是如何换算的？
提示：π＝180°.
2．归纳总结，核心必记
(1)度量角的两种制度
角度制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
周角的为1度角，记作1°
弧度制
定义
以弧度为单位来度量角的单位制
1弧度的角
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad
(2)弧度数的计算
(3)角度制与弧度制的换算
(4)一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
0
π
(5)扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则
α为度数
α为弧度数
扇形的弧长
l＝
l＝αR
扇形的面积
S＝
S＝lR＝αR2
[问题思考]
(1)在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？
提示：不相等．这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．
(2)比值与所取的圆的半径大小是否有关？
提示：无关．
(3)在具体的运算中，“弧度”二字和单位符号“rad”可以略去不写，但“度”作单位时“°”能省略吗？
提示：不能省略．
(4)你认为式子“α＝k·360°＋，k∈Z”正确吗？
提示：不正确，在同一个式子中不能同时出现角度制与弧度制．
[课前反思]
(1)角度制的定义： ；
(2)弧度制的定义： ；
(3)任意角的弧度数与实数的对应关系： ；
(4)角的弧度数的计算公式： ；
(5)角度与弧度的互化： ；
(6)扇形的弧长及面积公式： .
知识点1
弧度的概念
?讲一讲
1．有关角的度量给出以下说法：
①1°的角是周角的，1 rad的角是周角的；
②1 rad的角等于1度的角；
③180°的角一定等于π rad的角；
④“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．
其中正确的说法是________．
[尝试解答] 由弧度制的定义、弧度与角度的关系知，①③④均正确；
因为1 rad＝°≈57.30°≠1°，
故②不正确．
答案：①③④
类题·通法
(1)解决概念辨析问题的关键是准确理解概念．如本题中要准确理解1弧度角的概念，知道角度制与弧度制的关系．
(2)角度制和弧度制的比较：
①弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的的角，大小显然不同．
③无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．
④用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法．
?练一练
1．下列说法正确的是( )
A．1弧度就是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小
解析：选D 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小.
知识点2
角度与弧度的换算
?讲一讲
2．(1)把下列角度化成弧度：
①－150°＝________；②2 100°＝________；
③11°15′＝________；④112°30′＝________.
(2)把下列弧度化成角度：
①＝________；②－＝________；
③＝________；④－＝________.
[尝试解答] (1)①－150°＝－150×＝－；②2 100°＝2 100×＝；③11°15′＝°＝×＝；④112°30′＝°＝×＝.
(2)①＝°＝30°；②－＝°＝－300°；③＝°＝81°；④－＝－°＝－75°.
答案：(1)①－ ② ③ ④
(2)①30° ②－300° ③81° ④－75°
类题·通法
角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数．
?练一练
2．已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；
(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°范围内，找出与它们有相同终边的所有角．
解：(1)α1＝－570°＝－＝－，
α2＝750°＝＝.
∵α1＝－＝－2×2π＋，
α2＝＝2×2π＋，
∴α1是第二象限角，α2是第一象限角．
(2)β1＝＝×180°＝108°，
设θ＝k·360°＋108°(k∈Z)，
则由－720°≤θ＜0°，
得－720°≤k·360°＋108°＜0°(k∈Z)，
解得k＝－2或k＝－1，
∴在－720°～0°范围内，与β1有相同终边的角是－612°和－252°；
β2＝－＝－×180°＝－60°，
设γ＝k·360°－60°(k∈Z)，
则由－720°≤k·360°－60°＜0(k∈Z)，
得k＝－1或k＝0，
∴在－720°～0°范围内，与β2有相同终边的角是－60°和－420°.
知识点3
扇形的弧长公式和面积公式的应用
?讲一讲
3．(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形的圆心角的弧度数．
(2)已知扇形的圆心角为108°，半径等于30 cm，求扇形的面积．
[尝试解答] (1)设扇形的圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，所在圆的半径为r.依题意得消去l，得r2－5r＋4＝0，解得r＝1或r＝4.
当r＝1时，l＝8，此时θ＝8 rad>2π rad，故舍去；
当r＝4时，l＝2，此时θ＝＝ rad，满足题意．故θ＝ rad.
(2)∵108°＝108×＝，
∴扇形的面积为××302＝270π(cm2)．
类题·通法
弧度制下涉及扇形问题的解题策略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α(0＜α＜2π)是扇形的圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．
?练一练
3．已知扇形的周长是30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，弧长为l，则l＋2r＝30，
故l＝30－2r，从而S＝lr＝(30－2r)r
＝－r2＋15r＝－2＋，
所以，当r＝ cm时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为 cm2.
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解．
2．本节要牢记弧度制与角度制的转化公式
(1)π＝180°；(2)1°＝ rad；(3)1 rad＝°.
3．本节课要重点掌握以下规律方法
(1)弧度制的概念辨析，见讲1；
(2)角度与弧度的换算，见讲2；
(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用，见讲3.
4．本节课的易错点
表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用．
课下能力提升(二)
[学业水平达标练]
题组1 弧度的概念
1．下列说法正确的是( )
A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
解析：选A 对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．
2．与角－终边相同的角是( )
A. B. C. D.
解析：选C 与角－终边相同的角的集合为αα＝－＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，α＝－＋2π＝，故选C.
3．角－π的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D －π＝－4π＋π，π的终边位于第四象限，故选D.
题组2 角度与弧度的换算
4．下列转化结果错误的是( )
A．60°化成弧度是
B．－π化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π
D.化成度是15°
解析：选C 对于A,60°＝60×＝；对于B，－＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×＝－π；对于D，＝×180°＝15°.
5．已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，则α，β，γ，θ，φ的大小关系为____________．
解析：法一(化为弧度)：α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝.显然<<1<，故α<β<γ<θ＝φ.
法二(化为角度)：β＝＝×°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝×°＝105°.显然15°<18°<57.30°<105°，故α<β<γ<θ＝φ.
答案：α<β<γ<θ＝φ
6．已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成θ＋2kπ(k∈Z,0≤θ＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角；
(3)在区间[0,5π)上找出与α终边相同的角．
解：(1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋.
又π<<，角α与角的终边相同，故α是第三象限角．
(2)与α终边相同的角可以写为β＝＋2kπ(k∈Z)．
又－5π≤β＜0，∴k＝－3，－2，－1.当k＝－3时，β＝－；当k＝－2时，β＝－；当k＝－1时，β＝－.
(3)与α终边相同的角可以写为γ＝＋2kπ(k∈Z)．
又0≤γ＜5π，∴k＝0,1.当k＝0时，γ＝；当k＝1时，γ＝.
题组3 扇形的弧长公式和面积公式的应用
7．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对的弧长为( )
A.π B.π C. D.π
解析：选A 240°＝π＝π，∴弧长l＝π×10＝π，选A.
8．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：选C 设扇形所在圆的半径为R，则2＝×4×R2，∴R2＝1，∴R＝1.∴扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.故选C.
9．一个扇形的面积为1，周长为4，则圆心角的弧度数为________．
解析：设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4.
根据扇形面积公式S＝lR，得1＝l·R.
联立解得R＝1，l＝2，∴α＝＝＝2.
答案：2
10.如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．
解：∵120°＝π＝π，∴l＝6×π＝4π，∴的长为4π.
∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，如图所示，有S△OAB＝×AB×OD(D为AB中点)＝×2×6cos 30°×3＝9.
∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
∴弓形ACB的面积为12π－9.
[能力提升综合练]
1．角α的终边落在区间内，则角α所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C －3π的终边在x轴的非正半轴上，－的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．
2．已知α＝－2，则角α的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C ∵1 rad＝°，∴α＝－2 rad＝－°≈－114.59°，故角α的终边所在的象限是第三象限．
3．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )
A. B.
C. D．2
解析：选C 如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α＝＝.
4．集合P＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，Q＝{α|－4≤α≤4}，则P∩Q＝( )
A．?
B．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
C．{α|－4≤α≤4}
D．{α|0≤α≤π}
解析：选B 如图，在k≥1或k≤－2时，[2kπ，(2k＋1)π]∩[－4,4]为空集，分别取k＝－1,0，于是A∩B＝{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}．
5．已知扇形的周长为4 cm，则当它的半径为________cm，圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm2.
解析：设扇形圆心角为α(0<α<2π)，半径为r cm，则2r＋αr＝4，∴α＝－2.∴S扇形＝α·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时α＝2.
答案：1 2 1
6．若角α的终边与角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角的终边相同的角是________．
解析：由题意，得α＝＋2kπ，∴＝＋(k∈Z)．令k＝0,1,2,3，得＝，，，.
答案：，，，
7．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈.
解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝，
∴α＝－800°＝＋(－3)×2π.
∵α与角终边相同，
∴α是第四象限角．
(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，
∴γ＝2kπ＋，k∈Z.又γ∈，
∴－<2kπ＋<，k∈Z，解得k＝－1，
∴γ＝－2π＋＝－.
8．如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积．
解：所在的圆半径是2 dm，圆心角为；所在的圆半径是1 dm，圆心角为；A2A3所在的圆半径是 dm，圆心角为，所以点A走过的路径长是三段圆弧之和，即2×＋1×＋×＝(dm)．
三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2＋××1＋××＝(dm2)．
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[学业水平达标练]
题组1 弧度的概念
1．下列说法正确的是( )
A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
解析：选A 对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．
2．与角－终边相同的角是( )
A. B. C. D.
解析：选C 与角－终边相同的角的集合为αα＝－＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，α＝－＋2π＝，故选C.
3．角－π的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D －π＝－4π＋π，π的终边位于第四象限，故选D.
题组2 角度与弧度的换算
4．下列转化结果错误的是( )
A．60°化成弧度是
B．－π化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π
D.化成度是15°
解析：选C 对于A,60°＝60×＝；对于B，－＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×＝－π；对于D，＝×180°＝15°.
5．已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，则α，β，γ，θ，φ的大小关系为____________．
解析：法一(化为弧度)：α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝.显然<<1<，故α<β<γ<θ＝φ.
法二(化为角度)：β＝＝×°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝×°＝105°.显然15°<18°<57.30°<105°，故α<β<γ<θ＝φ.
答案：α<β<γ<θ＝φ
6．已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成θ＋2kπ(k∈Z,0≤θ＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角；
(3)在区间[0,5π)上找出与α终边相同的角．
解：(1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋.
又π<<，角α与角的终边相同，故α是第三象限角．
(2)与α终边相同的角可以写为β＝＋2kπ(k∈Z)．
又－5π≤β＜0，∴k＝－3，－2，－1.当k＝－3时，β＝－；当k＝－2时，β＝－；当k＝－1时，β＝－.
(3)与α终边相同的角可以写为γ＝＋2kπ(k∈Z)．
又0≤γ＜5π，∴k＝0,1.当k＝0时，γ＝；当k＝1时，γ＝.
题组3 扇形的弧长公式和面积公式的应用
7．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对的弧长为( )
A.π B.π C. D.π
解析：选A 240°＝π＝π，∴弧长l＝π×10＝π，选A.
8．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：选C 设扇形所在圆的半径为R，则2＝×4×R2，∴R2＝1，∴R＝1.∴扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.故选C.
9．一个扇形的面积为1，周长为4，则圆心角的弧度数为________．
解析：设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4.
根据扇形面积公式S＝lR，得1＝l·R.
联立解得R＝1，l＝2，∴α＝＝＝2.
答案：2
10.如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．
解：∵120°＝π＝π，∴l＝6×π＝4π，∴的长为4π.
∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，如图所示，有S△OAB＝×AB×OD(D为AB中点)＝×2×6cos 30°×3＝9.
∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
∴弓形ACB的面积为12π－9.
[能力提升综合练]
1．角α的终边落在区间内，则角α所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C －3π的终边在x轴的非正半轴上，－的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．
2．已知α＝－2，则角α的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C ∵1 rad＝°，∴α＝－2 rad＝－°≈－114.59°，故角α的终边所在的象限是第三象限．
3．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )
A. B.
C. D．2
解析：选C 如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α＝＝.
4．集合P＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，Q＝{α|－4≤α≤4}，则P∩Q＝( )
A．?
B．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
C．{α|－4≤α≤4}
D．{α|0≤α≤π}
解析：选B 如图，在k≥1或k≤－2时，[2kπ，(2k＋1)π]∩[－4,4]为空集，分别取k＝－1,0，于是A∩B＝{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}．
5．已知扇形的周长为4 cm，则当它的半径为________cm，圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm2.
解析：设扇形圆心角为α(0<α<2π)，半径为r cm，则2r＋αr＝4，∴α＝－2.∴S扇形＝α·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时α＝2.
答案：1 2 1
6．若角α的终边与角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角的终边相同的角是________．
解析：由题意，得α＝＋2kπ，∴＝＋(k∈Z)．令k＝0,1,2,3，得＝，，，.
答案：，，，
7．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈.
解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝，
∴α＝－800°＝＋(－3)×2π.
∵α与角终边相同，
∴α是第四象限角．
(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，
∴γ＝2kπ＋，k∈Z.又γ∈，
∴－<2kπ＋<，k∈Z，解得k＝－1，
∴γ＝－2π＋＝－.
8．如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积．
解：所在的圆半径是2 dm，圆心角为；所在的圆半径是1 dm，圆心角为；A2A3所在的圆半径是 dm，圆心角为，所以点A走过的路径长是三段圆弧之和，即2×＋1×＋×＝(dm)．
三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2＋××1＋××＝(dm2)．
