1.2 任意角的三角函数
第1课时 三角函数的定义
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P11～P15的内容，回答下列问题．
如图，设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离r＝>0.过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为a，线段MP的长度为b.
(1)根据初中学过的三角函数定义，你能表示出sin α，cos α，tan α的值吗？
提示：sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝.
(2)根据相似三角形的知识，对于确定的角α，请问(1)的结果会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗？
提示：不会随P点在终边上的位置的改变而改变．
(3)若将点P取在使线段OP的长r＝1的特殊位置上，如图所示，则sin α，cos α，tan α各为何值？
提示：sin α＝b，cos α＝a，tan α＝.
(4)以上3个问题中的角α为锐角，若α是一个任意角，上述结论还成立吗？
提示：上述结论仍然成立．
(5)一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α，cos α，tan α为何值？
提示：sin α＝，cos α＝，tan α＝.
2．归纳总结，核心必记
(1)任意角的三角函数的定义
前提
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y
余弦
x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x
正切
叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角
函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数
(2)三角函数的定义域
三角函数
定义域
sin α
R
cos α
R
tan α
{α|α≠＋kπ，k∈Z}
(3)三角函数值的符号
规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
(4)公式一
①终边相同的角的同一三角函数的值相等．
②公式：sin(α＋k·2π)＝sin_α，
cos(α＋k·2π)＝cos_α，
tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.
[问题思考]
(1)三角函数值的大小与点P在终边的位置是否有关？
提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
(2)若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin α与sin β，cos α与cos β，tan α与tan β之间有什么关系？
提示：sin_α＝sin_β，cos_α＝cos_β，tan_α＝tan_β.
(3)三角函数在各象限的符号与角的终边上点P的坐标有怎样的关系？
提示：由三角函数的定义知sin α＝，cos α＝，tan α＝，三角函数在各象限的符号由角α终边上的任一点P的横坐标、纵坐标的正负确定．
(4)对于角α，若sin α<0，cos α>0，则α为第几象限角？
提示：第四象限角．
[课前反思]
(1)任意角的三角函数的定义： ；
(2)三角函数的定义域： ；
(3)三角函数值的符号： ；
(4)公式一的内容： .
知识点1
三角函数的定义及应用
[思考1] 任意角α的正弦值sin α、余弦值cos α，正切值tan α都有意义吗？
名师指津：当α的终边在y轴上时，tan_α不存在．
[思考2] 若α的终边与单位圆交于点(x0，y0)，且x0≠0，则如何求sin α，cos α，tan α的值？
名师指津：sin α＝y0，cos α＝x0，tan α＝.
[思考3] 若已知α终边上一点P(x0，y0)，且x0≠0，如何求sin α，cos α，tan α的值？
名师指津：先求r＝，然后求sin α＝，cos α＝，tan α＝.
[思考4] 若已知α终边所在的直线方程为y＝kx，则如何求sin α，cos α，tan α的值？
名师指津：可在直线y＝kx上任取一点(x0，y0)，x0≠0，然后利用sin α＝，cos α＝，tan α＝求解．
?讲一讲
1．(1)已知角α的终边与单位圆交于点P，则角α的正弦值、余弦值和正切值分别为( )
A.，， B．－，，－
C．－，－， D.，－，－
(2)若角α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
[尝试解答] (1)∵r＝＝1，
∴sin α＝－，cos α＝，tan α＝＝－.
(2)当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取一点P(1,2)．由r＝|OP|＝＝，得sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝2.
当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取一点Q(－1，－2)．由r＝|OQ|＝＝，得sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝2.
答案：(1)B (2)± ± 2
类题·通法
求任意角的三角函数值的两种方法
方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．
方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P(x，y)，(P与原点不重合)；
第二步，计算r：r＝|OP|＝；
第三步，求值：由sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)求值．
在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用．
?练一练
1．(1)已知角α的终边经过点P(1，－1)，则sin α的值为( )
A. B.
C. D．－
(2)已知角α的终边与单位圆的交点为(y<0)，则sin αtan α＝________.
(3)已知角α的终边上一点坐标为(－3，a)，且α为第二象限角，cos α＝－，则sin α＝________.
解析：(1)∵α的终边经过点P(1，－1)，
∴sin α＝＝－.
(2)∵α的终边与单位圆的交点为，
∴2＋y2＝1，即y2＝.
又∵y<0，∴y＝－.
∴sin α＝－，cos α＝－，tan α＝，
sin αtan α＝－×＝－.
(3)∵(－3，a)为α终边上的一点，cos α＝－，
∴＝－，∴a2＝16.
又∵α为第二象限角，∴a＞0，即a＝4.
∴sin α＝.
答案：(1)D (2)－ (3)
知识点2
三角函数值的符号
?讲一讲
2．(1)若sin αtan α＜0，且＜0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)判断下列各式的符号：
①tan 120°·sin 269°；②cos 4·tan.
[尝试解答] (1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α为第二、三象限角．
由＜0可知cos α，tan α异号，从而α为第三、四象限角．
综上可知，α为第三象限角．
(2)①∵120°是第二象限角，
∴tan 120°＜0.
∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0.
∴tan 120°·sin 269°＞0.
②∵π＜4＜，∴4弧度是第三象限角，∴cos 4＜0.
∵－＝－6π＋，∴－是第一象限角，
∴tan＞0.∴cos 4·tan＜0.
答案：(1)C
类题·通法
判断给定角的三角函数值正负的步骤
(1)确定α的终边所在的象限；
(2)利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断．
?练一练
2．(1)若sin α<0且tan α>0，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 105°·cos 230°；
②cos 3·tan.
解析：(1)由于sin α<0，则α的终边在第三或第四象限或y轴非正半轴上，又tan α>0，则α的终边在第一或第三象限，所以α的终边在第三象限．
(2)①∵105°，230°分别为第二，第三象限角，∴sin 105°＞0，cos 230°＜0.于是sin 105°·cos 230°＜0.
②∵＜3＜π，∴3是第二象限角，∴cos 3＜0，又－是第三象限角，∴tan＞0，∴cos 3·tan＜0.
答案：(1)C
知识点3
公式一的应用
?讲一讲
3．求下列各式的值：
(1)sin(－1 740°)cos 1 470°＋cos(－660°)·sin 750°＋tan 405°；
(2)sin2 ＋tan2tan .
[尝试解答] (1)原式＝sin(60°－5×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(60°－2×360°)sin(30°＋2×360°)＋tan (45°＋360°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝×＋×＋1＝2.
(2)原式＝sin2＋tan2tan＋2π＝sin2＋tan2tan ＝2＋2×1＝＋＝.
类题·通法
公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．利用它可将大角转化为[0,2π)范围内的角，再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的．
?练一练
3．求下列各式的值：
(1)cos＋tan；
(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°.
解：(1)原式＝cos＋tan＝cos＋tan＝＋1＝.
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°
＝1＋1＋＝.
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是三角函数的定义、三角函数值的符号以及公式一的应用，难点是三角函数的定义及应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)三角函数的定义及应用，见讲1；
(2)三角函数值符号的判断，见讲2；
(3)公式一的应用，见讲3.
3．本节课的易错点是已知α的终边所在的直线求α的三角函数值时，易忽视对α所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误，如讲1的第(2)题．
课下能力提升(三)
[学业水平达标练]
题组1 三角函数的定义及应用
1．已知角θ的终边过点P(－12,5)，则cos θ＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B ∵角θ的终边过点P(－12,5)，∴r＝|OP|＝13，∴cos θ＝＝＝－，故选B.
2．若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( )
A. B．－
C．－ D．－
解析：选C ∵角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，
∴角α终边上一点的坐标为(1，－)，故sin α＝＝－.
3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝( )
A．－8 B．8
C．－4 D．4
解析：选A 由三角函数的定义可知sin θ＝＝－，所以y＝－8.
4．已知点P(－4a,3a)(a≠0)是角α终边上的一点，试求sin α，cos α，tan α的值．
解：由题意得r＝＝5|a|.当a＞0时，r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－；当a＜0时，r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
题组2 三角函数值的符号
5．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 由题意，得cos α<0，且tan α<0，所以角α的终边在第二象限．故选B.
6．已知角α是第二象限角，且＝－cos，则角是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选C 由α是第二象限角知，是第一或第三象限角，又∵＝－cos，∴cos＜0.
∴是第三象限角．
7．已知x为终边不在坐标轴上的角，则函数f(x)＝＋＋的值域是( )
A．{－3，－1,1,3} B．{－3，－1}
C．{1,3} D．{－1,3}
解析：选D 若x为第一象限角，则f(x)＝3；若x为第二、三、四象限角，则f(x)＝－1.所以函数f(x)的值域为{－1,3}．
题组3 公式一的应用
8．sin的值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A sin＝sin
＝sin＝sin＝.故选A.
9．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.
解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.
答案：
10．化简下列各式：
(1)acos180°＋bsin 90°＋ctan 0°；
(2)p2cos 360°＋q2sin 450°－2pqcos 0°；
(3)a2sin－b2cos π＋absin 2π－abcos.
解：(1)因为cos 180°＝－1，sin 90°＝1，tan 0°＝0，所以原式＝－a＋b；
(2)因为cos 360°＝cos 0°＝1，sin 450°＝sin(360°＋90°)＝sin 90°＝1，cos 0°＝1，所以原式＝p2＋q2－2pq＝(p－q)2；
(3)因为sin＝1，cos π＝－1，sin 2π＝sin 0＝0，
cos＝0，原式＝a2＋b2.
[能力提升综合练]
1．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos；③tan 2，其中符号为负的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°，
∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)＞0；
∵－是第四象限角，∴cos＞0；
∵2 rad＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2＜0.
2．角α的终边所在直线经过点P(－2,3)，则有( )
A．sin α＝ B．cos α＝－
C．sin α＝ D．tan α＝－
解析：选D 由三角函数的定义可知，|OP|＝＝.∴sin α＝±＝±，cos α＝±＝±，tan α＝－.
3．设△ABC的三个内角为A，B，C则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A．tan A与cos B B．cos B与sin C
C．sin C与tan A D．tan与sin C
解析：选D ∵0＜A＜π，∴0＜＜，∴tan＞0；
又∵0＜C＜π，∴sin C＞0.
4．若tan x＜0，且sin x－cos x＜0，则角x的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵tan x＜0，∴角x的终边在第二、四象限，又sin x－cos x＜0，∴角x的终边在第四象限．
5．sin＋cos－tan的值为________．
解析：原式＝sin＋cos－tan＝sin＋cos－tan＝＋－1＝0.
答案：0
6．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a的取值范围为________．
解析：∵sin α>0，cos α≤0，∴α的终边位于第二象限或y轴非负半轴上．∴3a－9≤0且a＋2>0.∴－2<α≤3.
答案：(－2,3]
7．求下列各三角函数值：
(1)cos；(2)tan；(3)sin 1 140°.
解：(1)cos＝cos＝cos＝；
(2)tan＝tan＝tan＝1；
(3)sin 1 140°＝sin(3×360°＋60°)＝sin 60°＝.
8．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解：(1)由＝－，可知sin α＜0，由lg(cos α)有意义可知cos α＞0，所以角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m＜0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝
＝＝＝－.
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[学业水平达标练]
题组1 三角函数的定义及应用
1．已知角θ的终边过点P(－12,5)，则cos θ＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B ∵角θ的终边过点P(－12,5)，∴r＝|OP|＝13，∴cos θ＝＝＝－，故选B.
2．若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( )
A. B．－
C．－ D．－
解析：选C ∵角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，
∴角α终边上一点的坐标为(1，－)，故sin α＝＝－.
3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝( )
A．－8 B．8
C．－4 D．4
解析：选A 由三角函数的定义可知sin θ＝＝－，所以y＝－8.
4．已知点P(－4a,3a)(a≠0)是角α终边上的一点，试求sin α，cos α，tan α的值．
解：由题意得r＝＝5|a|.当a＞0时，r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－；当a＜0时，r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
题组2 三角函数值的符号
5．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 由题意，得cos α<0，且tan α<0，所以角α的终边在第二象限．故选B.
6．已知角α是第二象限角，且＝－cos，则角是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选C 由α是第二象限角知，是第一或第三象限角，又∵＝－cos，∴cos＜0.
∴是第三象限角．
7．已知x为终边不在坐标轴上的角，则函数f(x)＝＋＋的值域是( )
A．{－3，－1,1,3} B．{－3，－1}
C．{1,3} D．{－1,3}
解析：选D 若x为第一象限角，则f(x)＝3；若x为第二、三、四象限角，则f(x)＝－1.所以函数f(x)的值域为{－1,3}．
题组3 公式一的应用
8．sin的值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A sin＝sin
＝sin＝sin＝.故选A.
9．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.
解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.
答案：
10．化简下列各式：
(1)acos180°＋bsin 90°＋ctan 0°；
(2)p2cos 360°＋q2sin 450°－2pqcos 0°；
(3)a2sin－b2cos π＋absin 2π－abcos.
解：(1)因为cos 180°＝－1，sin 90°＝1，tan 0°＝0，所以原式＝－a＋b；
(2)因为cos 360°＝cos 0°＝1，sin 450°＝sin(360°＋90°)＝sin 90°＝1，cos 0°＝1，所以原式＝p2＋q2－2pq＝(p－q)2；
(3)因为sin＝1，cos π＝－1，sin 2π＝sin 0＝0，
cos＝0，原式＝a2＋b2.
[能力提升综合练]
1．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos；③tan 2，其中符号为负的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°，
∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)＞0；
∵－是第四象限角，∴cos＞0；
∵2 rad＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2＜0.
2．角α的终边所在直线经过点P(－2,3)，则有( )
A．sin α＝ B．cos α＝－
C．sin α＝ D．tan α＝－
解析：选D 由三角函数的定义可知，|OP|＝＝.∴sin α＝±＝±，cos α＝±＝±，tan α＝－.
3．设△ABC的三个内角为A，B，C则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A．tan A与cos B B．cos B与sin C
C．sin C与tan A D．tan与sin C
解析：选D ∵0＜A＜π，∴0＜＜，∴tan＞0；
又∵0＜C＜π，∴sin C＞0.
4．若tan x＜0，且sin x－cos x＜0，则角x的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵tan x＜0，∴角x的终边在第二、四象限，又sin x－cos x＜0，∴角x的终边在第四象限．
5．sin＋cos－tan的值为________．
解析：原式＝sin＋cos－tan＝sin＋cos－tan＝＋－1＝0.
答案：0
6．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a的取值范围为________．
解析：∵sin α>0，cos α≤0，∴α的终边位于第二象限或y轴非负半轴上．∴3a－9≤0且a＋2>0.∴－2<α≤3.
答案：(－2,3]
7．求下列各三角函数值：
(1)cos；(2)tan；(3)sin 1 140°.
解：(1)cos＝cos＝cos＝；
(2)tan＝tan＝tan＝1；
(3)sin 1 140°＝sin(3×360°＋60°)＝sin 60°＝.
8．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解：(1)由＝－，可知sin α＜0，由lg(cos α)有意义可知cos α＞0，所以角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m＜0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝
＝＝＝－.
