第2课时 三角函数及其应用
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P15～P17的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P16的图1.2－7，有向线段MP，OM，AT的方向是如何规定的？
提示：当方向与x轴或y轴的方向一致时，则有向线段MP，OM，AT的方向为正；当方向与x轴或y轴的方向相反时，则有向线段MP，OM，AT的方向为负．
(2)观察教材P16的图1.2－7，你认为sin α，cos α，tan α与有向线段MP，OM，AT有什么关系？
提示：|sin_α|＝|MP|，|cos_α|＝|OM|，|tan_α|＝|AT|.
2．归纳总结，核心必记
(1)有向线段
带有方向的线段，叫做有向线段．
(2)三角函数线
图示
正弦线
α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线
余弦线
有向线段OM即为余弦线
正切线
过A(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段AT即为正切线
[问题思考]
(1)三角函数线的长度等于三角函数的值吗？
提示：不等于，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值．
(2)三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗？
提示：能，当三角函数线与x轴(或y轴)正向同向时，所表示三角函数值为正的，与x轴(或y轴)正向反向时，所表示三角函数值为负的．
[课前反思]
(1)有向线段的概念： ；
(2)三角函数线的概念及作法： .
知识点1
作已知角的三角函数线
?讲一讲
1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)－；(2)；(3).
[尝试解答] 如图．
其中MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线．
类题·通法
三角函数线的作法步骤
(1)作直角坐标系和角的终边．
(2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A.
(3)过点P作x轴的垂线，垂足为M.
(4)过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T.
(5)有向线段MP，OM，AT即分别为角的正弦线，余弦线和正切线．
?练一练
1．作出－的正弦线、余弦线和正切线．
解：如图所示，
－的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
知识点2
利用三角函数线解简单不等式
?讲一讲
2．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；(2)cos α≤－.
[尝试解答] (1)如图①所示，作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为.
(2)如图②所示，作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为.
类题·通法
利用三角函数线解简单不等式的方法
利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sin x≥b，cos x≥a(或sin x≤b，cos x≤a)，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围；对于tan x≥c(或tan x≤c)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．
?练一练
2．利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围．
(1)sin α＜－；(2)cos α＞.
解：(1)如图①，过点作x轴的平行线交单位圆于P，P′两点，则sin∠xOP＝sin∠xOP′＝－，∠xOP＝，∠xOP′＝，故α的范围是
.
(2)如图②，过点作x轴的垂线与单位圆交于P，P′两点，则cos∠xOP＝cos∠xOP′＝，∠xOP＝，∠xOP′＝－，
故α的范围是.
知识点3
利用三角函数线比较大小
?讲一讲
3．(1)下列关系式中正确的是( )
A．sin 10°＜cos 10°＜sin 160°
B．sin 160°＜sin 10°＜cos 10°
C．sin 10°＜sin 160°＜cos 10°
D．sin 160°＜cos 10°＜sin 10°
(2)设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则a，b，c的大小顺序排列为________．
[尝试解答] (1)由三角函数线知，sin 160°＝sin 20°＞sin 10°，而cos 10°＞sin 20°，所以选C.
(2)由如图的三角函数线知：M1P1＝MP＜AT，
因为＞＝，所以MP＞OM，
所以cos＜sin＜tan，所以b＜a＜c.
答案：(1)C (2)b＜a＜c
类题·通法
(1)利用三角函数线比较大小的步骤
①角的位置要“对号入座”；
②比较三角函数线的长度；
③确定有向线段的正负．
(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：
①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．
②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．
?练一练
3．比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小．
解：先化为0°～360°范围内的角的三角函数：sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°，
sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°.
在单位圆中，分别作出表示sin 75°和sin 146°的正弦线M2P2，M1P1(如图)．
因为M1P1sin(－1 654°)．
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小问题，难点是对三角函数线概念的理解．
2．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题
(1)三角函数线的画法，见讲1；
(2)利用三角函数线解简单不等式，见讲2；
(3)利用三角函数线比较大小，见讲3.
3．理解三角函数线应注意以下四点
(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；
(2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的交点；
(3)正负：三条有向线段中与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值；
(4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后．
课下能力提升(四)
[学业水平达标练]
题组1 作已知角的三角函数线
1．角和角有相同的( )
A．正弦线 B．余弦线
C．正切线 D．不能确定
解析：选C 在同一坐标系内作出角和角的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．
2．如果MP，OM分别是角的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )
A．MPC．MP>OM>0 D．OM>MP>0
解析：选D 在单位圆中作出的正弦线和余弦线，如图所示．
由图可知，OM>MP>0.
3．角θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则θ的值为________．
解析：由题意知，角θ的终边应在第一、三象限的角平分线上，则θ＝或.
答案：，
题组2 利用三角函数线解简单不等式
4．在(0,2π)范围内，使sin α>cos α成立的α的取值范围是( )
A.∪ B.
C. D.∪
解析：选C 如图所示，OP是角α的终边，则sin α＝MP，cos α＝OM.当α∈时，恒有MP>OM；而当α∈∪时，则有MP5．若cos θ>sin ，利用三角函数线得角θ的取值范围是____________．
解析：因为cos θ>，所以cos θ>sin＝sin ＝，利用三角函数线易知角θ的取值范围是(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
6．求函数f(x)＝＋ln的定义域．
解：由题意，得自变量x应满足不等式组即
则不等式组的解的集合如图阴影部分所示，
所以所求定义域为.
题组3 利用三角函数线比较大小
7．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )
A．sin α＋cos α＞1 B．sin α＋cos α＝1
C．sin α＋cos α＜1 D．不能确定
解析：选A 如图，角α的终边与单位圆交于P点，过P作PM⊥x轴于M点，由三角形两边之和大于第三边可知sin α＋cos α＞1.
8．若－＜α＜－，则sin α，cos α，tan α的大小关系是( )
A．sin α＜tan α＜cos α B．tan α＜sin α＜cos α
C．cos α＜sin α＜tan α D．sin α＜cos α＜tan α
解析：选D 如图，在单位圆中，作出－＜α＜－内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线．
由图知，|OM|＜|MP|＜|AT|，考虑方向可得sin α＜cos α＜tan α.
9．sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( )
A．sin 1＞sin 1.2＞sin 1.5
B．sin 1＞sin 1.5＞sin 1.2
C．sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1
D．sin 1.2＞sin 1＞sin 1.5
解析：选C 如图，易知0＜1＜1.2＜1.5＜，|MA|＜|NB|＜|QC|，且MA―→，NB―→，QC―→同向，∴sin 1＜sin 1.2＜sin 1.5.
10．试利用单位圆中的三角函数线证明当0＜α＜时，sin α＜α＜tan α.
证明：如图，单位圆与α的终边OP相交于P点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，连接AP，过单位圆与x轴正半轴的交点A作AT⊥ x轴交OP于T，则sin α＝MP，α＝l，tan α＝AT，由S扇形OAP＜S△OAT，即OA·l＜OA·AT，所以l＜AT.又MP＜PA＜l，因此MP＜l＜AT.
即sin α＜α＜tan α.
[能力提升综合练]
1．如果MP和OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( )
A．MP＜OM＜0 B．OM＞0＞MP
C．OM＜MP＜0 D．MP＞0＞OM
解析：选D 如图所示，正弦线为MP，余弦线为OM，结合图象，可知：MP＞0，OM＜0，故OM＜0＜MP.
2．已知角α的正切线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )
A．在x轴上
B．在y轴上
C．在直线y＝x上
D．在直线y＝x，或y＝－x上
解析：选D 由题意可知，如图，|AT|＝1，∴AT＝±1.则tan α＝±1，角α的终边在直线y＝±x上，故选D.
3．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．a＜c＜b
解析：选C 如图作出角α＝－1 rad的正弦线、余弦线及正切线，显然b＝cos(－1)＝OM＞0，c＝tan(－1)＜a＝sin(－1)＜0，即c＜a＜b.
4．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于原点对称
解析：选A 利用单位圆中的余弦线解题易知A正确．
5．若0＜α＜2π，且sin α＜，cos α＞.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．
解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB的区域内，所以α的取值范围是∪.
答案：∪
6．函数y＝的定义域为____________．
解析：∵2cos x－1≥0，∴cos x≥.作直线x＝交单位圆于P，P′，连接OP，OP′，如图，所以满足条件的集合为x2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.∴该函数的定义域为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．利用三角函数线写出满足下列条件的角x的集合．
(1)sin x＞－，且cos x＞；(2)tan x≥－1.
解：(1)由图①知，当sin x＞－，且cos x＞时，角x的集合为.
(2)由图②知，当tan x≥－1时，角x的集合为
∪，
即.
8．若0<α<β<，试比较β－sin β与α－sin α的大小．
解：如图，在单位圆中，sin α＝MP，sin β＝NQ，弧AP的长为α，弧AQ的长为β，则弧PQ的长为β－α.
过点P作PR⊥QN于R，连接PQ，则MP＝|NR|，
所以|RQ|＝sin β－sin α<|PQ|<弧PQ的长＝β－α，
所以β－sin β>α－sin α.
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[学业水平达标练]
题组1 作已知角的三角函数线
1．角和角有相同的( )
A．正弦线 B．余弦线
C．正切线 D．不能确定
解析：选C 在同一坐标系内作出角和角的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．
2．如果MP，OM分别是角的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )
A．MPC．MP>OM>0 D．OM>MP>0
解析：选D 在单位圆中作出的正弦线和余弦线，如图所示．
由图可知，OM>MP>0.
3．角θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则θ的值为________．
解析：由题意知，角θ的终边应在第一、三象限的角平分线上，则θ＝或.
答案：，
题组2 利用三角函数线解简单不等式
4．在(0,2π)范围内，使sin α>cos α成立的α的取值范围是( )
A.∪ B.
C. D.∪
解析：选C 如图所示，OP是角α的终边，则sin α＝MP，cos α＝OM.当α∈时，恒有MP>OM；而当α∈∪时，则有MP5．若cos θ>sin ，利用三角函数线得角θ的取值范围是____________．
解析：因为cos θ>，所以cos θ>sin＝sin ＝，利用三角函数线易知角θ的取值范围是(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
6．求函数f(x)＝＋ln的定义域．
解：由题意，得自变量x应满足不等式组即
则不等式组的解的集合如图阴影部分所示，
所以所求定义域为.
题组3 利用三角函数线比较大小
7．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )
A．sin α＋cos α＞1 B．sin α＋cos α＝1
C．sin α＋cos α＜1 D．不能确定
解析：选A 如图，角α的终边与单位圆交于P点，过P作PM⊥x轴于M点，由三角形两边之和大于第三边可知sin α＋cos α＞1.
8．若－＜α＜－，则sin α，cos α，tan α的大小关系是( )
A．sin α＜tan α＜cos α B．tan α＜sin α＜cos α
C．cos α＜sin α＜tan α D．sin α＜cos α＜tan α
解析：选D 如图，在单位圆中，作出－＜α＜－内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线．
由图知，|OM|＜|MP|＜|AT|，考虑方向可得sin α＜cos α＜tan α.
9．sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( )
A．sin 1＞sin 1.2＞sin 1.5
B．sin 1＞sin 1.5＞sin 1.2
C．sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1
D．sin 1.2＞sin 1＞sin 1.5
解析：选C 如图，易知0＜1＜1.2＜1.5＜，|MA|＜|NB|＜|QC|，且MA―→，NB―→，QC―→同向，∴sin 1＜sin 1.2＜sin 1.5.
10．试利用单位圆中的三角函数线证明当0＜α＜时，sin α＜α＜tan α.
证明：如图，单位圆与α的终边OP相交于P点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，连接AP，过单位圆与x轴正半轴的交点A作AT⊥ x轴交OP于T，则sin α＝MP，α＝l，tan α＝AT，由S扇形OAP＜S△OAT，即OA·l＜OA·AT，所以l＜AT.又MP＜PA＜l，因此MP＜l＜AT.
即sin α＜α＜tan α.
[能力提升综合练]
1．如果MP和OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( )
A．MP＜OM＜0 B．OM＞0＞MP
C．OM＜MP＜0 D．MP＞0＞OM
解析：选D 如图所示，正弦线为MP，余弦线为OM，结合图象，可知：MP＞0，OM＜0，故OM＜0＜MP.
2．已知角α的正切线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )
A．在x轴上
B．在y轴上
C．在直线y＝x上
D．在直线y＝x，或y＝－x上
解析：选D 由题意可知，如图，|AT|＝1，∴AT＝±1.则tan α＝±1，角α的终边在直线y＝±x上，故选D.
3．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．a＜c＜b
解析：选C 如图作出角α＝－1 rad的正弦线、余弦线及正切线，显然b＝cos(－1)＝OM＞0，c＝tan(－1)＜a＝sin(－1)＜0，即c＜a＜b.
4．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于原点对称
解析：选A 利用单位圆中的余弦线解题易知A正确．
5．若0＜α＜2π，且sin α＜，cos α＞.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．
解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB的区域内，所以α的取值范围是∪.
答案：∪
6．函数y＝的定义域为____________．
解析：∵2cos x－1≥0，∴cos x≥.作直线x＝交单位圆于P，P′，连接OP，OP′，如图，所以满足条件的集合为x2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.∴该函数的定义域为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．利用三角函数线写出满足下列条件的角x的集合．
(1)sin x＞－，且cos x＞；(2)tan x≥－1.
解：(1)由图①知，当sin x＞－，且cos x＞时，角x的集合为.
(2)由图②知，当tan x≥－1时，角x的集合为
∪，
即.
8．若0<α<β<，试比较β－sin β与α－sin α的大小．
解：如图，在单位圆中，sin α＝MP，sin β＝NQ，弧AP的长为α，弧AQ的长为β，则弧PQ的长为β－α.
过点P作PR⊥QN于R，连接PQ，则MP＝|NR|，
所以|RQ|＝sin β－sin α<|PQ|<弧PQ的长＝β－α，
所以β－sin β>α－sin α.
