第3课时 同角三角函数的基本关系
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P18～P20的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P19图1.2－8，图中α的正弦线、余弦线各是什么？
提示：正弦线是MP，余弦线为OM.
(2)若P点坐标为(x，y)，则sin α，cos α各为何值？sin α与cos α有什么关系？
提示：sin_α＝y，cos_α＝x，sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝1.
(3)若α≠＋kπ，k∈Z，能否用sin α和cos α来表示tan α？如果能，试写出它们的关系式．
提示：能．tan α＝.
2．归纳总结，核心必记
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tan_α.
[问题思考]
(1)对任意α，都有sin2α＋cos2α＝1成立吗？
提示：是．
(2)对任意α，都有tan α＝成立吗？
提示：只有当α≠＋kπ，k∈Z时，tan α＝才成立．
(3)对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？
提示：成立．
(4)当2α≠＋kπ，k∈Z时，tan 2α＝是否成立？
提示：成立．
[课前反思]
(1)同角三角函数的平方关系： ；
(2)同角三角函数的商数关系： ；
(3)同角三角函数的基本关系式成立的条件： .
知识点1
利用同角三角函数的基本关系求值
?讲一讲
1．(1)已知cos α＝－，求sin α和tan α.
(2)已知tan α＝3，求下列各式的值．
①；②；
③sin2a＋cos2α.
[尝试解答] (1)sin2α＝1－cos2α＝1－2＝2，
因为cos α＝－＜0，所以α是第二或第三象限角，
当α是第二象限角时，sin α＝，tan α＝＝－；
当α是第三象限角时，sin α＝－，tan α＝＝.
(2)①原式＝＝＝；
②原式＝＝＝－；
③原式＝＝＝＝.
类题·通法
已知三角函数值求其他三角函数值的方法
(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．
(2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．
(3)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．
(4)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．
?练一练
1．(1)已知sin α＝，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.
(2)已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
(3)已知tan α＝2，求4sin2α－3sin αcos α－5cos2α的值．
解：(1)cos2α＝1－sin2α＝1－2＝2，又α是第二象限角，所以cos α＜0，cos α＝－，tan α＝＝－.
(2)由tan α＝＝，得sin α＝cos α，①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，
即cos2α＝.又α是第三象限角，故cos α＝－，sin α＝cos α＝－.
(3)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α
＝
＝
＝＝1.
知识点2
sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用
?讲一讲
2．已知sin α＋cos α＝－，0＜α＜π.
(1)求sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值．
[尝试解答] (1)由sin α＋cos α＝－，得(sin α＋cos α)2＝，
sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，sin αcos α＝－.
(2)因为0＜α＜π，sin αcos α＜0，
所以sin α＞0，cos α＜0?sin α－cos α＞0.
sin α－cos α＝＝＝.
类题·通法
(1)sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”．
(2)求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意判断它们的符号．
?练一练
2．(1)若sin θ－cos θ＝，求tan θ＋的值．
(2)已知sin αcos α＝，且＜α＜，求cos α－sin α的值．
解：(1)由已知得(sin θ－cos θ)2＝2，
所以sin θcos θ＝－.
所以tan θ＋＝＋＝＝－2.
(2)(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝.
因为＜α＜，所以cos α＜sin α，
即cos α－sin α＜0，所以cos α－sin α＝－.
知识点3
三角函数式的化简与证明
?讲一讲
3．化简下列各式：
(1)；(2).
[尝试解答] (1)原式＝
＝＝＝－1.
(2)法一：原式＝
＝＝.
法二：原式＝
＝
＝
＝＝.
法三：原式＝
＝
＝＝＝.
类题·通法
(1)利用同角三角函数关系化简的常用方法
①化切为弦，减少函数名称，便于约分化简；
②对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值号表示，然后考虑正负；
③对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简．
(2)简单的三角恒等式的证明思路
①从一边开始，证明它等于另一边；
②证明左、右两边等于同一个式子；
③逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．
?练一练
3．求证：·＝1.
证明：·
＝·
＝·
＝＝＝1.
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是利用同角三角函数基本关系式求值以及sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用．难点是三角函数式的化简与证明．
2．要掌握sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的转换
(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；
(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；
(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.
3．要掌握同角三角函数基本关系式的三个应用
(1)利用同角三角函数的基本关系求值，见讲1；
(2)sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用，见讲2；
(3)三角函数式的化简与证明的方法，见讲3.
4．本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求sin α、cos α的值时，易忽视对角α所处象限的讨论，造成sin α、cos α漏解或多解的错误，如讲1的第(1)题．
课下能力提升(五)
[学业水平达标练]
题组1 利用同角三角函数的基本关系求值
1．若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是( )
A．tan α＝－
B．cos α＝－
C．sin α＝－
D．tan α＝
解析：选B 由同角三角函数的基本关系式，知tan α＝，故A，D错误；又因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，故C错误．
2．已知角α的终边经过点(6,8)，则＝( )
A. B.
C．7 D.
解析：选C 由三角函数的定义可知tan α＝，所以＝＝7.
3．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin α＝________，tan α＝________.
解析：由sin2α＋cos2α＝1得sin2α＝1－cos2α＝1－2＝.
已知α是第三象限角，则sin α＜0，于是sin α＝－.
从而tan α＝＝×＝.
答案：－
4．已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1，α∈.求：
(1)tan α；(2).
解：(1)2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α
＝＝，
则＝1，即4tan2α－3tan α－1＝0.
解得tan α＝－或tan α＝1.
∵a∈，∴α为第二象限角，
∴tan α＜0，∴tan α＝－.
(2)原式＝＝＝＝.
题组2 sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用
5．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 由sin4θ＋cos4θ＝，得
(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝.
∴sin2θcos2θ＝.∵θ是第三象限角，
∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝.
6．已知sin β＋cos β＝，且0<β<π，则sin β－cos β＝________.
解析：由sin β＋cos β＝，得sin2β＋2sin βcos β＋cos2β＝1＋2sin βcos β＝.∴sin βcos β＝－.∴(sin β－cos β)2＝1－2sin βcos β＝.∵sin βcos β<0，且0<β<π，∴sin β>0，cos β<0.∴sin β－cos β＝.
答案：
7．已知0＜θ＜π，且sin θ－cos θ＝，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．
解：∵sin θ－cos θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝.
解得sin θcos θ＝.
∵0＜θ＜π，且sin θ·cos θ＝＞0，∴sin θ＞0，cos θ＞0.
∴sin θ＋cos θ＝＝＝＝.由得
∴tan θ＝＝.
题组3 三角函数式的化简与证明
8．(1)化简：(1－cos α)＝________.
(2)若α为第二象限角，化简tan α·＝________.
解析：(1)原式＝(1－cos α)＝·(1－cos α)＝＝＝sin α.
(2)原式＝tan α·＝·.因为α为第二象限的角，所以cos α<0，sin α>0，
原式＝·＝－1.
答案：(1)sin α (2)－1
9．求证：＝.
证明：法一：∵右边＝＝＝＝＝＝左边，
∴原等式成立．
法二：∵左边＝＝，
右边＝＝＝＝＝，
∴左边＝右边，原等式成立．
[能力提升综合练]
1．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选B ∵sin α＝，∴cos2α＝1－sin2α＝1－＝.sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2－＝－＝－.故选B.
2．若α为第三象限角，则＋的值为( )
A．3 B．－3 C．1 D．－1
解析：选B ∵α为第三象限角，∴原式＝＋＝－3.
3．若sin θ＋sin2θ＝1，则cos2θ＋cos6θ＋cos8θ的值为( )
A．0 B．1
C．－1 D.
解析：选B 由sin θ＋sin2θ＝1，得sin θ＝1－sin2θ＝cos2θ，∴cos2θ＋cos6θ＋cos8θ＝sin θ＋sin3θ＋sin4θ＝sin θ＋sin2θ(sin θ＋sin2θ)＝sin θ＋sin2θ＝1.
4．若β∈[0,2π)，且＋＝sin β－cos β，则β的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵＋＝|sin β|＋|cos β|＝sin β－cos β，∴sin β≥0且cos β≤0. 又∵β∈[0,2π)，∴β∈.故选B.
5．已知sin θ＝，cos θ＝(m≠0)，则m＝______，tan θ＝________.
解析：∵sin2θ＋cos2θ＝1，
∴＋＝1.
得m＝0(舍)，或m＝8.
∴sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝＝－.
答案：8 －
6．已知α∈，且＝4，则＝________.
解析：∵1＋2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2,1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2，
∴＝|sin α＋cos α|，
＝|sin α－cos α|.
又∵α∈，∴sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0.
由题意，得＝4，sin α＝2cos α.
∴＝＝.
答案：
7．证明：－＝sin α＋cos α.
证明：左边＝－＝－＝－＝－＝＝sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．
8．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及θ的值．
解：因为已知方程有两根，
所以
(1)＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝.
(2)对①式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，所以sin θcos θ＝.
由②，得＝，所以m＝.
由③，得m≤，所以m＝.
(3)因为m＝，所以原方程为2x2－(＋1)x＋＝0.
解得x1＝，x2＝，
所以或
又因为x∈(0,2π)，所以θ＝或θ＝.
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[学业水平达标练]
题组1 利用同角三角函数的基本关系求值
1．若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是( )
A．tan α＝－
B．cos α＝－
C．sin α＝－
D．tan α＝
解析：选B 由同角三角函数的基本关系式，知tan α＝，故A，D错误；又因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，故C错误．
2．已知角α的终边经过点(6,8)，则＝( )
A. B.
C．7 D.
解析：选C 由三角函数的定义可知tan α＝，所以＝＝7.
3．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin α＝________，tan α＝________.
解析：由sin2α＋cos2α＝1得sin2α＝1－cos2α＝1－2＝.
已知α是第三象限角，则sin α＜0，于是sin α＝－.
从而tan α＝＝×＝.
答案：－
4．已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1，α∈.求：
(1)tan α；(2).
解：(1)2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α
＝＝，
则＝1，即4tan2α－3tan α－1＝0.
解得tan α＝－或tan α＝1.
∵a∈，∴α为第二象限角，
∴tan α＜0，∴tan α＝－.
(2)原式＝＝＝＝.
题组2 sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用
5．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 由sin4θ＋cos4θ＝，得
(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝.
∴sin2θcos2θ＝.∵θ是第三象限角，
∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝.
6．已知sin β＋cos β＝，且0<β<π，则sin β－cos β＝________.
解析：由sin β＋cos β＝，得sin2β＋2sin βcos β＋cos2β＝1＋2sin βcos β＝.∴sin βcos β＝－.∴(sin β－cos β)2＝1－2sin βcos β＝.∵sin βcos β<0，且0<β<π，∴sin β>0，cos β<0.∴sin β－cos β＝.
答案：
7．已知0＜θ＜π，且sin θ－cos θ＝，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．
解：∵sin θ－cos θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝.
解得sin θcos θ＝.
∵0＜θ＜π，且sin θ·cos θ＝＞0，∴sin θ＞0，cos θ＞0.
∴sin θ＋cos θ＝＝＝＝.由得
∴tan θ＝＝.
题组3 三角函数式的化简与证明
8．(1)化简：(1－cos α)＝________.
(2)若α为第二象限角，化简tan α·＝________.
解析：(1)原式＝(1－cos α)＝·(1－cos α)＝＝＝sin α.
(2)原式＝tan α·＝·.因为α为第二象限的角，所以cos α<0，sin α>0，
原式＝·＝－1.
答案：(1)sin α (2)－1
9．求证：＝.
证明：法一：∵右边＝＝＝＝＝＝左边，
∴原等式成立．
法二：∵左边＝＝，
右边＝＝＝＝＝，
∴左边＝右边，原等式成立．
[能力提升综合练]
1．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选B ∵sin α＝，∴cos2α＝1－sin2α＝1－＝.sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2－＝－＝－.故选B.
2．若α为第三象限角，则＋的值为( )
A．3 B．－3 C．1 D．－1
解析：选B ∵α为第三象限角，∴原式＝＋＝－3.
3．若sin θ＋sin2θ＝1，则cos2θ＋cos6θ＋cos8θ的值为( )
A．0 B．1
C．－1 D.
解析：选B 由sin θ＋sin2θ＝1，得sin θ＝1－sin2θ＝cos2θ，∴cos2θ＋cos6θ＋cos8θ＝sin θ＋sin3θ＋sin4θ＝sin θ＋sin2θ(sin θ＋sin2θ)＝sin θ＋sin2θ＝1.
4．若β∈[0,2π)，且＋＝sin β－cos β，则β的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵＋＝|sin β|＋|cos β|＝sin β－cos β，∴sin β≥0且cos β≤0. 又∵β∈[0,2π)，∴β∈.故选B.
5．已知sin θ＝，cos θ＝(m≠0)，则m＝______，tan θ＝________.
解析：∵sin2θ＋cos2θ＝1，
∴＋＝1.
得m＝0(舍)，或m＝8.
∴sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝＝－.
答案：8 －
6．已知α∈，且＝4，则＝________.
解析：∵1＋2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2,1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2，
∴＝|sin α＋cos α|，
＝|sin α－cos α|.
又∵α∈，∴sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0.
由题意，得＝4，sin α＝2cos α.
∴＝＝.
答案：
7．证明：－＝sin α＋cos α.
证明：左边＝－＝－＝－＝－＝＝sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．
8．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及θ的值．
解：因为已知方程有两根，
所以
(1)＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝.
(2)对①式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，所以sin θcos θ＝.
由②，得＝，所以m＝.
由③，得m≤，所以m＝.
(3)因为m＝，所以原方程为2x2－(＋1)x＋＝0.
解得x1＝，x2＝，
所以或
又因为x∈(0,2π)，所以θ＝或θ＝.
