1.3 三角函数的诱导公式
第1课时 诱导公式二、三、四
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P23～P26的内容，回答下列问题．
(1)给定一个角α，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
提示：π＋α的终边与α的终边关于原点对称，sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.
(2)给定一个角α，则角π－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
提示：π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α.
(3)给定一个角α，则角－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
提示：－α的终边与角α的终边关于x轴对称，sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.
2．归纳总结，核心必记
(1)特殊角的终边对称性
①π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图①；
②－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图②；
③π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图③.
(2)诱导公式
公式一
sin(α＋2kπ)＝sin α
cos(α＋2kπ)＝cos α
tan(α＋2kπ)＝tan_α
公式二
sin(π＋α)＝－sin__α
cos(π＋α)＝－cos_α
tan(π＋α)＝tan_α
公式三
sin(－α)＝－sin_α
cos(－α)＝cos_α
tan(－α)＝－tan_α
公式四
sin(π－α)＝sin_α
cos(π－α)＝－cos_α
tan(π－α)＝－tan_α
(3)公式一～四的应用
记忆口诀：负化正，大化小，化到锐角再求值．
[问题思考]
(1)诱导公式一、二、三、四中的角α有什么限制条件？
提示：sin(α＋2kπ)，sin(π±α)，sin(－α)，cos(α＋2kπ)，cos(π±α)，cos(－α)公式中的α∈R；而tan(α＋2kπ)，tan(π±α)，tan(－α)中的α≠＋kπ，k∈Z.
(2)在△ABC中，你认为sin A与sin(B＋C) ，cos A与cos(B＋C)之间有什么关系？
提示：∵A＋B＋C＝π，即B＋C＝π－A，
故sin_A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，
cos_A＝cos[π－(B＋C)]＝－cos(B＋C)．
[课前反思]
(1)π＋α，－α，π－α的终边与α终边的关系： ；
(2)诱导公式一、二、三、四的内容： ；
(3)公式一～四的应用： .
知识点1
给角求值问题
?讲一讲
1．求下列三角函数值：
(1)sin(－1 200°)；
(2)tan 945°；
(3)cos.
[尝试解答] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°
＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)
＝tan 225°＝tan(180°＋45°)
＝tan 45°＝1.
(3)cos＝cos＝cos＝cos＝.
类题·通法
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
?练一练
1．求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值．
解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°
＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210°)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°)
＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°
＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°·sin(180°＋30°)－tan 45°
＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45°
＝×－×－1＝.
知识点2
化简求值问题
?讲一讲
2．(1)化简：＝________；
(2)化简＝________.
[尝试解答] (1)
＝＝＝＝1.
(2)原式＝
＝＝＝－1.
答案：(1)1 (2)－1
类题·通法
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
?练一练
2．化简：
(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)＝________；
(2)＝________.
解析：(1)原式＝(－sin α)·cos(π＋α)·tan α＝－sin α·(－cos α)·＝sin2α.
(2)原式＝
＝＝1.
答案：(1)sin2α (2)1
知识点3
给值(式)求值问题
?讲一讲
3．(1)已知sin(π＋α)＝－，求cos(5π＋α)的值．
(2)已知sin＝－，求sin的值．
(3)已知cos＝，求cos的值．
[尝试解答] (1)∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α.
当α在第一象限时，cos α＝ ＝，
此时cos(5π＋α)＝－；
当α在第二象限时，cos α＝－＝－，
此时cos(5π＋α)＝.
(2)sin＝sin＝sin＝－.
(3)cos＝cos＝－cos＝－.
类题·通法
解决此类问题的方法是先根据所给等式和被求式的特点，发现它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，再选择恰当的三角公式化简求值．
?练一练
3．(1)已知cos＝，求cos－sin2α－的值；
(2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
解：(1)∵cos＝cos＝－cos＝－，
sin2＝sin2＝1－cos2＝1－2＝，
∴cos－sin2＝－－＝－.
(2)∵cos(α－75°)＝－<0，且α为第四象限角，
∴α－75°是第三象限角，
∴sin(α－75°)＝－＝－＝－，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝.
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是诱导公式二、三、四，难点是诱导公式的应用．
2．要掌握诱导公式的三个应用
(1)解决给角求值问题，见讲1；
(2)解决化简求值问题，见讲2；
(3)解决给值(式)求值问题，见讲3.
3．本节课要牢记诱导公式的内容
(1)诱导公式二、三、四可以概括成：f(π＋α)＝±f(α)，f(－α)＝±f(α)，f(π－α)＝±f(α)，其中等号右边的“±”号只取其一，规律口诀是“函数名不变，符号看象限”．例如sin(π＋α)＝－sin α，就是正弦函数名不改变，而α是锐角，则π＋α为第三象限角，第三象限角的正弦为负，故符号取“－”．
(2)上述诱导公式都是为了化任意角成锐角α的，如果α为其他范围的角也都成立，这就是说，使用这些诱导公式，不必限定α为锐角，但是用口诀“函数名不变，符号看象限”时，都把α看作锐角记忆，即便α不是锐角，上述公式也全部成立．
课下能力提升(六)
[学业水平达标练]
题组1 给角求值问题
1．cos 300°等于( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选C cos 300°＝cos(360°－60°)＝cos 60°＝.
2.的值等于________．
解析：原式＝＝＝＝－2.
答案：－2
题组2 化简求值问题
3．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( )
A．1 B．2sin2α C．0 D．2
解析：选D 原式＝(－sin α)2－(－cos α)cos α＋1＝sin2 α＋cos2α＋1＝2.
4.可化简为________．
解析：
＝
＝＝|1－sin θ|＝1－sin θ.
答案：1－sin θ
5．化简：.
解：原式＝＝＝tan θ.
题组3 给值(式)求值问题
6．已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝( )
A．－ B. C．± D．－k
解析：选A ∵cos α＝k，α∈，∴sin α＝＝，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－，故选A.
7．若＝2，则sin(α－5π)·cos(3π－α)＝( )
A. B. C．± D．－
解析：选B 由＝2，得tan α＝3，则sin(α－5π)·cos(3π－α)＝－sin α·(－cos α)＝sin α·cos α＝＝＝.
8．已知cos α＝，且－＜α＜0，求的值．
解：∵－＜α＜0，
∴sin α＝－＝－＝－.
原式＝＝＝－×3＝－2.
[能力提升综合练]
1．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos(π－θ)的值为( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选C ∵r＝1，∴cos θ＝－，
∴cos(π－θ)＝－cos θ＝.
2．若sin(π－θ)<0，tan(π＋θ)>0，则θ的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：选C 因为sin(π－θ)＝sin θ<0，且tan(π＋θ)＝tan θ>0，所以θ的终边在第三象限，故选C.
3．已知tan＝，则tan＝( )
A. B．－ C. D．－
解析：选B ∵tan＝tan
＝－tan，
∴tan＝－.
4．若α∈，且sin(π－α)＝log8 ，则tan(2π－α)等于( )
A．－ B. C．－ D.
解析：选D 依题意，得sin α＝log8＝＝－，
∵α∈，∴cos α＝＝＝，
∴tan(2π－α)＝－tan α＝－＝－＝.
5．设tan 1 234°＝a，则sin(－206°)＋cos(－206°)的值为____________．(用a表示)
解析：由已知得tan 26°＝－a，于是cos 26°＝，sin 26°＝，∴sin(－206°)＋cos(－206°)＝sin 26°－cos 26°＝－＝－.
答案：－
6．已知f(x)＝则f＋f的值为________．
解析：因为f＝sin＝sin＝sin＝；f＝f－1＝f－2
＝sin－2＝－－2＝－.所以f＋f＝－2.
答案：－2
7．化简：.
解：原式＝＝＝＝＝＝＝－1.
8．已知＝3＋2，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
解：由＝3＋2，得(4＋2)tan θ＝2＋2，所以tan θ＝＝，
故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·＝(cos2θ＋sin θcos θ＋2sin2θ)·＝1＋tan θ＋2tan2θ＝1＋＋2×2＝2＋.
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[学业水平达标练]
题组1 给角求值问题
1．cos 300°等于( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选C cos 300°＝cos(360°－60°)＝cos 60°＝.
2.的值等于________．
解析：原式＝＝＝＝－2.
答案：－2
题组2 化简求值问题
3．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( )
A．1 B．2sin2α C．0 D．2
解析：选D 原式＝(－sin α)2－(－cos α)cos α＋1＝sin2 α＋cos2α＋1＝2.
4.可化简为________．
解析：
＝
＝＝|1－sin θ|＝1－sin θ.
答案：1－sin θ
5．化简：.
解：原式＝＝＝tan θ.
题组3 给值(式)求值问题
6．已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝( )
A．－ B. C．± D．－k
解析：选A ∵cos α＝k，α∈，∴sin α＝＝，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－，故选A.
7．若＝2，则sin(α－5π)·cos(3π－α)＝( )
A. B. C．± D．－
解析：选B 由＝2，得tan α＝3，则sin(α－5π)·cos(3π－α)＝－sin α·(－cos α)＝sin α·cos α＝＝＝.
8．已知cos α＝，且－＜α＜0，求的值．
解：∵－＜α＜0，
∴sin α＝－＝－＝－.
原式＝＝＝－×3＝－2.
[能力提升综合练]
1．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos(π－θ)的值为( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选C ∵r＝1，∴cos θ＝－，
∴cos(π－θ)＝－cos θ＝.
2．若sin(π－θ)<0，tan(π＋θ)>0，则θ的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：选C 因为sin(π－θ)＝sin θ<0，且tan(π＋θ)＝tan θ>0，所以θ的终边在第三象限，故选C.
3．已知tan＝，则tan＝( )
A. B．－ C. D．－
解析：选B ∵tan＝tan
＝－tan，
∴tan＝－.
4．若α∈，且sin(π－α)＝log8 ，则tan(2π－α)等于( )
A．－ B. C．－ D.
解析：选D 依题意，得sin α＝log8＝＝－，
∵α∈，∴cos α＝＝＝，
∴tan(2π－α)＝－tan α＝－＝－＝.
5．设tan 1 234°＝a，则sin(－206°)＋cos(－206°)的值为____________．(用a表示)
解析：由已知得tan 26°＝－a，于是cos 26°＝，sin 26°＝，∴sin(－206°)＋cos(－206°)＝sin 26°－cos 26°＝－＝－.
答案：－
6．已知f(x)＝则f＋f的值为________．
解析：因为f＝sin＝sin＝sin＝；f＝f－1＝f－2
＝sin－2＝－－2＝－.所以f＋f＝－2.
答案：－2
7．化简：.
解：原式＝＝＝＝＝＝＝－1.
8．已知＝3＋2，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
解：由＝3＋2，得(4＋2)tan θ＝2＋2，所以tan θ＝＝，
故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·＝(cos2θ＋sin θcos θ＋2sin2θ)·＝1＋tan θ＋2tan2θ＝1＋＋2×2＝2＋.
