第2课时 诱导公式五、六
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P26～P27的内容，回答下列问题．
如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2.
(1)P2点的坐标是什么？
提示：P2(y，x)．
(2)－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？
提示：对称．sin＝cos α，cos＝sin α.
2．归纳总结，核心必记
(1)诱导公式五和公式六
(2)诱导公式的记忆
诱导公式一～六可归纳为k·±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：
①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．
②“奇”、“偶”是对诱导公式k·±α中的整数k来讲的．
③“象限”指k·±α中，将α看成锐角时，k·±α所在的象限，根据“一全正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．
[问题思考]
(1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？
提示：是．
(2)在△ABC中，角与角的三角函数值满足哪些等量关系？
提示：∵A＋B＋C＝π，∴＝－，
∴sin＝sin＝cos，
cos＝cos＝sin.
[课前反思]
(1)诱导公式五： ；
(2)诱导公式六： .
知识点1
化简求值
?讲一讲
1．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α为第三象限角，且cos＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
[尝试解答] (1)f(α)＝＝－cos α.
(2)∵cos＝－sin α＝，∴sin α＝－，
又∵α为第三象限角，∴cos α＝－＝－，
∴f(α)＝.
(3)f＝－cos＝－cos
＝－cos＝－cos＝－.
类题·通法
三角函数式化简的方法和技巧
(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．
(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦．
?练一练
1．已知f(x)＝.
(1)化简f(x)；
(2)当x＝时，求f(x)的值；
(3)若f(x)＝1，求的值．
解：(1)f(x)＝＝tan x.
(2)当x＝时，f(x)＝tan ＝.
(3)若f(x)＝1，则tan x＝1，所以＝＝－＝－1.
知识点2
条件求值问题
?讲一讲
2．(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A. B. C．－ D．－
(2)已知sin＝，则cos的值为________．
[尝试解答] (1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)
＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)
＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝＝.
(2)cos＝cos＝sin＝.
答案：(1)B (2)
类题·通法
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
?练一练
2．已知cos(π＋α)＝－，求cos的值．
解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，∴cos α＝，∴α为第一或第四象限角．
①若α为第一象限角，则cos＝－sin α＝－＝－＝－；
②若α为第四象限角，则cos＝－sin α＝＝＝.
知识点3
三角恒等式的证明
?讲一讲
3．求证：＝.
[尝试解答] 左边＝
＝＝
＝＝＝，
右边＝＝＝，
∴左边＝右边，原式得证．
类题·通法
三角恒等式的证明策略
对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
?练一练
3．求证：＝－tan θ.
证明：
＝
＝
＝－tan θ.
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题．
2．要掌握诱导公式的三个应用
(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1；
(2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2；
(3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3.
3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧
＋α＝－?＋＝，＋α＝－?＋＝，－＝等．
课下能力提升(七)
[学业水平达标练]
题组1 化简求值
1．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos C
B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos＝sin B
D．sin ＝cos
解析：选D ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C．∴A，B都不正确．同理，B＋C＝π－A，∴sin ＝sin＝cos .故选D.
2．化简：sin(－α－7π)·cos＝________.
解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos＝－sin(π＋α)·＝sin α·(－sin α)＝－sin2α.
答案：－sin2α
3．化简：＋.
解：∵tan(－α)＝－tan α，sin＝cos α，
cos＝cos＝－sin α，
tan(π＋α)＝tan α，
∴原式＝＋＝＋＝＝－＝－1.
题组2 条件求值问题
4．已知tan θ＝2，则等于( )
A．2 B．－2 C．0 D.
解析：选B 原式＝＝＝＝－2.
5．已知sin(π＋α)＝，则cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 由sin(π＋α)＝得sin α＝－，所以cos＝cos＝－sin α＝，故选A.
6．已知sin＝，则cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D ∵＋α－＝，∴cos＝sin＝sin＝－sin＝－.
7．已知α是第三象限角，且cos(85°＋α)＝，则sin(α－95°)＝________.
解析：由α是第三象限角，cos(85°＋α)＝＞0，
知85°＋α是第四象限角，
∴sin(85°＋α)＝－，
sin(α－95°)＝sin[(85°＋α)－180°]＝－sin[180°－(85°＋α)]＝－sin(85°＋α)＝.
答案：
8．已知sin α是方程3x2－10x－8＝0的根，且α为第三象限角，求的值．
解：∵方程3x2－10x－8＝0的两根为x1＝4或x2＝－，
又∵－1≤sin α≤1，∴sin α＝－.
又∵α为第三象限角，∴cos α＝－＝－，tan α＝.
∴原式＝＝tan α＝.
题组3 三角恒等式的证明
9．求证：＝1.
证明：左边＝
＝＝1＝右边．∴原式成立．
10．求证：＋＝.
证明：左边＝＋
＝＋＝
＝＝＝右边．∴原式成立．
[能力提升综合练]
1．如果cos(π＋A)＝－，那么sin等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B cos(π＋A)＝－cos A＝－，∴cos A＝，∴sin＝cos A＝.
2．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )
A．89 B．90
C. D．45
解析：选C ∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝.
3．已知sin(75°＋α)＝，则cos(15°－α)的值为( )
A．－ B. C．－ D.
解析：选B ∵(75°＋α)＋(15°－α)＝90°，
∴cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]
＝sin(75°＋α)＝.
4．在△ABC中，下列各表达式为常数的是( )
A．sin(A＋B)＋sin C
B．cos(B＋C)－cos A
C．sin2＋sin2
D．sinsin
解析：选C sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝cos2＋sin2＝1.
5．已知函数f(x)＝cos，若cos θ＝，θ∈，则f＝____________.
解析：f＝cos＝cosθ－＝cos＝sin θ.由已知可得θ为第四象限角，所以sin θ<0，故sin θ＝－＝－，f＝sin θ＝×＝－.
答案：－
6．已知tan＝2，则＝________.
解析：由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2，
则原式＝
＝
＝
＝＝＝2.
答案：2
7．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
解：原式＝·tan2α
＝·tan2α
＝·tan2α＝－tan2α.
方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，
又α是第三象限角，∴sin α＝－，cos α＝－，∴tan α＝，
故原式＝－tan2α＝－.
8．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在角α，β满足条件，
则
由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，∴sin α＝±.
∵α∈，∴α＝±.
当α＝时，cos β＝，∵0＜β＜π，∴β＝；
当α＝－时，cos β＝，∵0＜β＜π，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝，β＝满足条件．
课件25张PPT。谢谢！课下能力提升(七)
[学业水平达标练]
题组1 化简求值
1．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos C
B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos＝sin B
D．sin ＝cos
解析：选D ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C．∴A，B都不正确．同理，B＋C＝π－A，∴sin ＝sin＝cos .故选D.
2．化简：sin(－α－7π)·cos＝________.
解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos＝－sin(π＋α)·＝sin α·(－sin α)＝－sin2α.
答案：－sin2α
3．化简：＋.
解：∵tan(－α)＝－tan α，sin＝cos α，
cos＝cos＝－sin α，
tan(π＋α)＝tan α，
∴原式＝＋＝＋＝＝－＝－1.
题组2 条件求值问题
4．已知tan θ＝2，则等于( )
A．2 B．－2 C．0 D.
解析：选B 原式＝＝＝＝－2.
5．已知sin(π＋α)＝，则cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 由sin(π＋α)＝得sin α＝－，所以cos＝cos＝－sin α＝，故选A.
6．已知sin＝，则cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D ∵＋α－＝，∴cos＝sin＝sin＝－sin＝－.
7．已知α是第三象限角，且cos(85°＋α)＝，则sin(α－95°)＝________.
解析：由α是第三象限角，cos(85°＋α)＝＞0，
知85°＋α是第四象限角，
∴sin(85°＋α)＝－，
sin(α－95°)＝sin[(85°＋α)－180°]＝－sin[180°－(85°＋α)]＝－sin(85°＋α)＝.
答案：
8．已知sin α是方程3x2－10x－8＝0的根，且α为第三象限角，求的值．
解：∵方程3x2－10x－8＝0的两根为x1＝4或x2＝－，
又∵－1≤sin α≤1，∴sin α＝－.
又∵α为第三象限角，∴cos α＝－＝－，tan α＝.
∴原式＝＝tan α＝.
题组3 三角恒等式的证明
9．求证：＝1.
证明：左边＝
＝＝1＝右边．∴原式成立．
10．求证：＋＝.
证明：左边＝＋
＝＋＝
＝＝＝右边．∴原式成立．
[能力提升综合练]
1．如果cos(π＋A)＝－，那么sin等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B cos(π＋A)＝－cos A＝－，∴cos A＝，∴sin＝cos A＝.
2．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )
A．89 B．90
C. D．45
解析：选C ∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝.
3．已知sin(75°＋α)＝，则cos(15°－α)的值为( )
A．－ B. C．－ D.
解析：选B ∵(75°＋α)＋(15°－α)＝90°，
∴cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]
＝sin(75°＋α)＝.
4．在△ABC中，下列各表达式为常数的是( )
A．sin(A＋B)＋sin C
B．cos(B＋C)－cos A
C．sin2＋sin2
D．sinsin
解析：选C sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝cos2＋sin2＝1.
5．已知函数f(x)＝cos，若cos θ＝，θ∈，则f＝____________.
解析：f＝cos＝cosθ－＝cos＝sin θ.由已知可得θ为第四象限角，所以sin θ<0，故sin θ＝－＝－，f＝sin θ＝×＝－.
答案：－
6．已知tan＝2，则＝________.
解析：由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2，
则原式＝
＝
＝
＝＝＝2.
答案：2
7．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，
求·tan2(π－α)的值．
解：原式＝·tan2α
＝·tan2α
＝·tan2α＝－tan2α.
方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，
又α是第三象限角，∴sin α＝－，cos α＝－，∴tan α＝，
故原式＝－tan2α＝－.
8．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在角α，β满足条件，
则
由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，∴sin α＝±.
∵α∈，∴α＝±.
当α＝时，cos β＝，∵0＜β＜π，∴β＝；
当α＝－时，cos β＝，∵0＜β＜π，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝，β＝满足条件．
