1.4 三角函数的图象与性质
第1课时 正弦函数、余弦函数的图象
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P30～P33的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P31图1.4－3，你认为正弦曲线是如何画出来的？
提示：利用单位圆中的正弦线可以作出y＝sin_x，x∈[0,2π]的图象，将y＝sin_x在[0,2π]内的图象左右平移即可得到正弦曲线．
(2)在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？
提示：作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象时，起关键作用的点有以下五个：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(3)作余弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？
提示：作余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象时，起关键作用的点有以下五个：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．归纳总结，核心必记
(1)正弦曲线
正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．
(2)正弦函数图象的画法
①几何法：
(ⅰ)利用正弦线画出 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象；
(ⅱ)将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
②五点法：
(ⅰ)画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
(ⅱ)将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．
(3)余弦曲线
余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．
(4)余弦函数图象的画法
①要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cos x＝sin.
②用“五点法”：画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
[问题思考]
(1)正弦曲线和余弦曲线是向左右两边无限延伸的吗？
提示：是．
(2)余弦曲线与正弦曲线完全一样吗？
提示：余弦曲线与正弦曲线形状相同，但在同一坐标系下的位置不同．
[课前反思]
(1)正弦曲线的定义： ；
(2)正弦曲线的画法： ；
(3)余弦曲线的定义： ；
(4)余弦曲线的画法： .
知识点1
用“五点法”作简图
?讲一讲
1．用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]．
[尝试解答] (1)列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
sin x－1
－1
0
－1
－2
－1
描点、连线，如图．
(2)列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
2＋cos x
3
2
1
2
3
描点、连线，如图．
类题·通法
用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤：
(1)列表：
x
0
π
2π
sin x或cos x
0或1
1或0
0或－1
－1或0
0或1
y
y1
y2
y3
y4
y5
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．
?练一练
1．利用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝－sin x(0≤x≤2π)；
(2)y＝1＋cos x(0≤x≤2π)．
解：(1)列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
－sin x
0
－1
0
1
0
描点、连线，如图．
(2)列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
1＋cos x
2
1
0
1
2
描点、连线，如图．
知识点2
利用正、余弦函数的图象解不等式
?讲一讲
2．利用正弦曲线，求满足＜sin x≤的x的集合．
[尝试解答] 首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象．如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和；
作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.观察图象可知，在[0,2π]上，当＜x≤，或≤x＜时，不等式＜sin x≤成立．
所以＜sin x≤的解集为
或.
类题·通法
用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；
(3)根据公式一写出定义域内的解集．
?练一练
2．使不等式－2sin x≥0成立的x的取值集合是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 不等式可化为sin x≤.
法一：作图，正弦曲线及直线y＝如图(1)所示．由图(1)知，不等式的解集为.故选C.
法二：如图(2)所示不等式的解集为.故选C.
知识点3
正、余弦曲线与其他曲线的交点问题
?讲一讲
3．判断方程sin x＝lg x的解的个数．
[尝试解答] 建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移，得到y＝sin x的图象．在同一坐标系内描出，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图．
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．
类题·通法
(1)确定方程解的个数问题，常借助函数图象用数形结合的方法求解．
(2)三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．
?练一练
3．已知函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]，若直线y＝k与其仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
解：由题意知
f(x)＝sin x＋2|sin x|
＝
图象如图所示：
若函数f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则由图可知k的取值范围是(1,3)．
[课堂归纳·感悟提升]
1．本节课的重点是“五点法”作正弦函数和余弦函数的图象，难点是图象的应用．
2．本节课要重点掌握正、余弦函数图象的三个问题
(1)正、余弦函数图象的画法，见讲1；
(2)利用正、余弦函数的图象解不等式，见讲2；
(3)正、余弦曲线与其他曲线的交点问题，见讲3.
3．本节课要牢记正、余弦函数图象中五点的确定
y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象与x轴的交点；②图象上的最高点和最低点．其中，y＝sin x，x∈[0,2π]与x轴有三个交点：(0,0)，(π，0)，(2π，0)，图象上有一个最高点，一个最低点；y＝cos x，x∈[0,2π]与x轴有两个交点：，，图象上有两个最高点：(0,1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)．
课下能力提升(八)
[学业水平达标练]
题组1 用“五点法”作简图
1．用“五点法”作y＝sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
解析：选B 分别令2x＝0，，π，，2π，可得x＝0，，，，π.
2．以下对正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)时的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
解析：选C 由正弦函数y＝sin x在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)时的图象可知C项不正确．
3．函数y＝sin|x|的图象是( )
解析：选B y＝sin|x|＝
作出y＝sin|x|的简图知选B.
4．用“五点法”作出函数y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象．
解：列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1＋2sin x
1
3
1
－1
1
在直角坐标系中描出五点(0,1)，，(π，1)，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象．
题组2 利用正、余弦函数的图象解不等式
5．不等式cos x＜0，x∈[0,2π]的解集为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由y＝cos x的图象知，
在[0,2π]内使cos x＜0的x的范围是.
6．函数y＝的定义域是________．
解析：要使函数有意义，只需2cos x－≥0，
即cos x≥.由余弦函数图象知(如图)．
所求定义域为，k∈Z.
答案： ，k∈Z
7．求函数y＝＋的定义域．
解：由得
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，即函数y＝＋的定义域为(k∈Z)．
题组3 正、余弦曲线与其他曲线的交点问题
8．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝交点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C 画出y＝与y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象，由图象可得有2个交点．
9．方程x＋sin x＝0的根有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
解析：选B 设f(x)＝－x，g(x)＝sin x，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图所示．由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点，则方程x＋sin x＝0仅有一个根．
10．判断方程sin x＝的根的个数．
解：因为当x＝3π时，y＝＝＜1；当x＝4π时，y＝＝＞1.
所以直线y＝在y轴右侧与曲线y＝sin x有且只有3个交点(如图所示)，又由对称性可知，在y轴左侧也有3个交点，加上原点(0,0)，一共有7个交点．
所以方程sin x＝有7个根．
[能力提升综合练]
1．与图中曲线(部分)对应的函数解析式是( )
A．y＝|sin x| B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x| D．y＝－|sin x|
解析：选C 注意图象所对的函数值的正负，可排除选项A，D.当x∈(0，π)时sin |x|>0，而图中显然小于零，因此排除选项B.故选C.
2．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内 ( )
A．没有根 B．有且只有一个根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
解析：选C 在同一坐标系内画出函数y＝|x|与y＝cos x的图象，易得两个图象在第一、二象限各有一个交点，故原方程有两个根，选C.
3．函数y＝－xcos x的部分图象是( )
解析：选D ∵y＝－xcos x是奇函数，它的图象关于原点对称，∴排除A，C项；当x∈时，y＝－xcos x<0，∴排除B项，故选D.
4．在(0,2π)上使cos x＞sin x成立的x的取值范围是( )
A.∪ B.∪
C. D.
解析：选A 以第一、三象限角平分线为分界线，终边在下方的角满足cos x＞sin x.
∵x∈(0,2π)，∴cos x＞sin x的x的范围不能用一个区间表示，必须是两个区间的并集．
5．函数y＝cos x＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点坐标为____________．
解析：作出函数y＝cos x＋4，x∈[0,2π]的图象(图略)，容易发现它与直线y＝4的交点坐标为，4，.
答案：，
6．函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是____________________．
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝的图象，如图所示．
当f(x)>时，函数f(x)的图象位于函数y＝的图象的上方，此时－
答案：
7．方程sin x＝在x∈上有两个实数根，求a的取值范围．
解：首先作出y＝sin x，x∈的图象，然后再作出y＝的图象，如果y＝sin x，x∈与y＝的图象有两个交点，方程sin x＝，x∈就有两个实数根．
设y1＝sin x，x∈，y2＝.
y1＝sin x，x∈的图象如图．
由图象可知，当≤＜1，即－1＜a≤1－时，y＝sin x，x∈的图象与y＝的图象有两个交点，即方程sin x＝在x∈上有两个实根．
8．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y<1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．
解：列表如下：
x
－π
－
0
π
sin x
0
－1
0
1
0
1－2sin x
1
3
1
－1
1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图：
(1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y>1，在直线y＝1下方部分时y<1，
所以①当x∈(－π，0)时，y>1；
②当x∈(0，π)时，y<1.
(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1所以a的取值范围是(－1,1)∪(1,3)．
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[学业水平达标练]
题组1 用“五点法”作简图
1．用“五点法”作y＝sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
解析：选B 分别令2x＝0，，π，，2π，可得x＝0，，，，π.
2．以下对正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)时的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
解析：选C 由正弦函数y＝sin x在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)时的图象可知C项不正确．
3．函数y＝sin|x|的图象是( )
解析：选B y＝sin|x|＝
作出y＝sin|x|的简图知选B.
4．用“五点法”作出函数y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象．
解：列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1＋2sin x
1
3
1
－1
1
在直角坐标系中描出五点(0,1)，，(π，1)，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象．
题组2 利用正、余弦函数的图象解不等式
5．不等式cos x＜0，x∈[0,2π]的解集为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由y＝cos x的图象知，
在[0,2π]内使cos x＜0的x的范围是.
6．函数y＝的定义域是________．
解析：要使函数有意义，只需2cos x－≥0，
即cos x≥.由余弦函数图象知(如图)．
所求定义域为，k∈Z.
答案： ，k∈Z
7．求函数y＝＋的定义域．
解：由得
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，即函数y＝＋的定义域为(k∈Z)．
题组3 正、余弦曲线与其他曲线的交点问题
8．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝交点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C 画出y＝与y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象，由图象可得有2个交点．
9．方程x＋sin x＝0的根有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
解析：选B 设f(x)＝－x，g(x)＝sin x，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图所示．由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点，则方程x＋sin x＝0仅有一个根．
10．判断方程sin x＝的根的个数．
解：因为当x＝3π时，y＝＝＜1；当x＝4π时，y＝＝＞1.
所以直线y＝在y轴右侧与曲线y＝sin x有且只有3个交点(如图所示)，又由对称性可知，在y轴左侧也有3个交点，加上原点(0,0)，一共有7个交点．
所以方程sin x＝有7个根．
[能力提升综合练]
1．与图中曲线(部分)对应的函数解析式是( )
A．y＝|sin x| B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x| D．y＝－|sin x|
解析：选C 注意图象所对的函数值的正负，可排除选项A，D.当x∈(0，π)时sin |x|>0，而图中显然小于零，因此排除选项B.故选C.
2．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内 ( )
A．没有根 B．有且只有一个根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
解析：选C 在同一坐标系内画出函数y＝|x|与y＝cos x的图象，易得两个图象在第一、二象限各有一个交点，故原方程有两个根，选C.
3．函数y＝－xcos x的部分图象是( )
解析：选D ∵y＝－xcos x是奇函数，它的图象关于原点对称，∴排除A，C项；当x∈时，y＝－xcos x<0，∴排除B项，故选D.
4．在(0,2π)上使cos x＞sin x成立的x的取值范围是( )
A.∪ B.∪
C. D.
解析：选A 以第一、三象限角平分线为分界线，终边在下方的角满足cos x＞sin x.
∵x∈(0,2π)，∴cos x＞sin x的x的范围不能用一个区间表示，必须是两个区间的并集．
5．函数y＝cos x＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点坐标为____________．
解析：作出函数y＝cos x＋4，x∈[0,2π]的图象(图略)，容易发现它与直线y＝4的交点坐标为，4，.
答案：，
6．函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是____________________．
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝的图象，如图所示．
当f(x)>时，函数f(x)的图象位于函数y＝的图象的上方，此时－答案：
7．方程sin x＝在x∈上有两个实数根，求a的取值范围．
解：首先作出y＝sin x，x∈的图象，然后再作出y＝的图象，如果y＝sin x，x∈与y＝的图象有两个交点，方程sin x＝，x∈就有两个实数根．
设y1＝sin x，x∈，y2＝.
y1＝sin x，x∈的图象如图．
由图象可知，当≤＜1，即－1＜a≤1－时，y＝sin x，x∈的图象与y＝的图象有两个交点，即方程sin x＝在x∈上有两个实根．
8．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y<1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．
解：列表如下：
x
－π
－
0
π
sin x
0
－1
0
1
0
1－2sin x
1
3
1
－1
1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图：
(1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y>1，在直线y＝1下方部分时y<1，
所以①当x∈(－π，0)时，y>1；
②当x∈(0，π)时，y<1.
(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1所以a的取值范围是(－1,1)∪(1,3)．
