考点一
命题真假的判断
命题真假的判断是高考命题的重要内容之一，是高考的热点题型．这类题一般涉及一般命题真假的判断、含有逻辑联结词的命题真假的判断、含有量词的命题真假的判断、命题的四种形式的真假的判断等．并且这些内容一般不会单独命题，往往与其他相关的数学知识结合起来进行考查，且主要以选择题、填空题的形式进行考查．
[典例1] (1)已知命题p：函数f(x)＝2sin的图象关于x＝对称，命题q：函数f(x)＝2sin向右平移个单位，所得函数图象关于原点对称，则下列选项中是假命题的是( )
A．┐p B．p∨q
C．(┐p)∧q D．(┐p)∧(┐q)
(2)下列命题中是假命题的是( )
A．?x∈，x>sin x
B．?x0∈R，sin x0＋cos x0＝2
C．?x∈R,3x>0
D．?x0∈R，lg x0＝0
解析：(1)∵f＝2sin ＝≠2，
∴f(x)的图象不关于x＝对称．故p为假命题．
∵平移后所得函数为y＝2sin
＝2sin 2x，易知此函数为奇函数，
∴函数图象关于原点对称，∴q为真命题．
∴(┐p)∧(┐q)为假命题．
(2)根据三角函数的定义和三角函数线，可以证明：当x∈时，x>sin x．故选项A为真命题；对x∈R，sin x＋cos x＝sin∈，因此不可能存在x0∈R，使sin x0＋cos x0＝2，故选项B为假命题；因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对?x∈R,3x>0，故选项C为真命题；当x0＝1时， lg x0＝lg 1＝0，故选项D为真命题．
答案：(1)D (2)B
[对点训练]
1．给出以下命题，其中为真命题的是________．
①函数y＝ax(a>0，a≠1)与函数y＝logaax(a>0，a≠1)的定义域相同；
②若函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ＝；
③函数y＝(x－1)2与y＝2x－1在区间[0，＋∞)上都是增函数；
④若不等式|x－4|
0.
解析：因为y＝logaax＝x，其定义域为R，与y＝ax的定义域相同，所以①为真命题；若函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于y轴对称，则应有φ＝＋kπ(k∈Z)，不一定总有φ＝，故②为假命题；函数y＝(x－1)2在区间[0，＋∞)上不是增函数，所以③为假命题；因为|x－4|的最小值等于0，所以当a≤0时，不等式|x－4|0，故④为真命题．
答案：①④
考点二
充分条件、必要条件的判断及应用
1.充分条件、必要条件的判断问题，在高考试题中几乎是每年都考，也是近几年高考的一个热点题型，一般以选择题、填空题的形式进行考查，并且与其他数学知识的考查融合在一起．因此必须准确地理解充分条件、必要条件、充要条件的含义，并能判断所给条件是结论的何种条件，还要能够利用充要条件解决问题，例如寻求某个结论的充要条件、求参数的取值范围等．
2．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：
(1)充分不必要条件，即p?q，而qp.
(2)必要不充分条件，即pq，而q?p.
(3)充要条件，既有p?q，又有q?p.
(4)既不充分也不必要条件，既有pq，又有qp.
3．充分条件与必要条件的判断
(1)直接利用定义判断：即“若p?q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．(条件与结论是相对的)
(2)利用等价命题的关系判断：“p?q”的等价命题是“┐q?┐p”即“若┐q?┐p”成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p?q，则p是q的充分条件；若p?q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件．
[典例2] (1)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(2)集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”是“A?B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)“关于x的不等式x2－2ax＋a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是( )
A．0C．0≤a≤1 D．a<0或a>
解析：(1)由正弦定理，知a≤b?2Rsin A≤2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)?sin A≤sin B．故选A.
(2)A＝{x||x|≤4，x∈R}?A＝{x|－4≤x≤4}，所以A?B?a>4，
而a>5?a>4，且a>4/?a>5，所以“a>5”是“A?B”的充分不必要条件．
(3)要使不等式x2－2ax＋a>0的解集为R，应有Δ＝(－2a)2－4a<0，即4a2－4a<0，
所以00的解集为R”的充要条件，
因此一个必要不充分条件是0≤a≤1.
答案：(1)A (2)A (3)C
[对点训练]
2．设a∈R，则“a＝1”是“函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1为偶函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 当a＝1时，f(x)＝1是偶函数；但当f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1为偶函数时，有a2－1＝0，故a＝±1.因此“a＝1”是“函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1为偶函数”的充分不必要条件．
3．给定两个命题p，q，若┐p是q的必要不充分条件，则p是┐q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 因为┐p是q的必要不充分条件，所以┐q是p的必要不充分条件，即p是┐q的充分不必要条件．
4．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是 ( )
A．x＝－ B．x＝－1
C．x＝5 D．x＝0
解析：选D 由a⊥b知a·b＝0，即2(x－1)＋2＝0，所以x＝0；而当x＝0时，a＝(－1,2), b＝(2,1)，必有a⊥b.所以a⊥b的充要条件是x＝0.
考点三
根据命题的真假性求参数的取值范围
1.设命题p为真，对应的参数取值范围的集合为A，则命题p为假的集合为?RA.
设命题q为真，对应的参数取值范围的集合为B，则命题q为假的集合为?RB.
2．已知命题中含有逻辑联结词时，应结合真值表，由复合命题的真假性推出其中的命题p，q的真假，再建立参数应满足的不等式(组)求得取值范围．
3．由全称命题或特称命题的真假求参数范围时，要对问题进行转化，借助恒成立问题、存在性问题的求解策略进行求解．
[典例3] 若命题p：?x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3]∪(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－2，＋∞) D．(－2,2)
解析：选B 由题意，得ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，
即(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，
所以
即解得a≥2.
[典例4] 已知a>0，a≠1，设命题p：函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减，命题q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．
解：对于命题p：
当 0当a>1时，函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递增．
∴若p为真命题，则01.
对于命题q：若函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点，则Δ＝(2a－3)2－4>0，
即4a2－12a＋5>0，解得a<或a>.
∵a>0，
∴若q为真命题，则0.
若q为假命题，则≤a<1或1∵p∨q为真，p∧q为假，∴p与q一真一假．
若p真q假，则
解得≤a<1.
若p假q真，则
解得a>.
综上所述，实数a的取值范围是∪.
[对点训练]
5．设集合A＝{x|－2－a0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．
解：若p为真命题，则－2－a<11.
若q为真命题，则－2－a<22.
依题意，得p假q真，或p真q假，
即或解得1∴a的取值范围是(1,2]．
6．已知命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0；命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若┐p是┐q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，
∵命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，
∴x2－4x＋3<0，∴1∵命题q：实数x满足
∴∴2∵p∧q为真，∴p为真，q为真，∴2故实数x的取值范围为(2,3)．
(2)∵┐p是┐q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，
∴q?p, p/? q.
∵命题q：x满足2命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，
则a∴实数a的取值范围为(1,2]．
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设x是实数，则“x>0”是“|x|>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由x>0?|x|>0，而|x|>0?x>0或x<0，故选A.
2．命题“?x>0，x2－x≤0”的否定是( )
A．?x0>0，x02－x0≤0
B．?x0>0，x02－x0>0
C．?x>0，x2－x>0
D．?x≤0，x2－x>0
解析：选B 由含有全称量词的命题的否定，易知选B.
3．“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析： 选D －14．下列结论中正确的是( )
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分条件，但不是必要条件；
②“p∧q”为假是“p∨q”为假的充分条件，但不是必要条件；
③“p∨q”为真是“┐p”为假的必要条件，但不是充分条件；
④“┐p”为真是“p∧q”为假的必要条件，但不是充分条件．
A．①② B．①③
C．②④ D．③④
解析：选B “p∧q”为真，则“p∨q”为真，反之不一定，故①正确；当p真q假时，“p∧q”为假，但“p∨q”为真，故②错误；当“┐p”为假时，p为真，所以“p∨q”为真，反之不一定，故③正确；若“┐p”为真，则p为假，所以“p∧q”为假，因此④错误，故选B.
5．给出下列四个命题：
①若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2；
②若－2≤x<3，则(x＋2)(x－3)≤0；
③若x＝y＝0，则x2＋y2＝0；
④若x，y∈N*，且x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．
则下列说法正确的是( )
A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真
C．③的逆否命题为假 D．④的逆命题为假
解析：选A ②的逆命题：若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x<3，为假命题，故②的否命题为假．③的原命题为真，故③的逆否命题为真．①和④的逆命题显然为真．故选A.
6．已知命题p：若实数x，y满足x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；命题q：若a>b>0，则<.下列命题p∧q，p∨q，┐p，┐q中，真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 易知命题p，q都是真命题，则p∧q，p∨q都是真命题，┐p，┐q是假命题．
7．“a<0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 方程ax2＋1＝0至少有一个负根等价于x2＝－有实根，故a<0，故选C.
8．下列说法错误的是( )
A．“sin θ＝”是“θ＝30°”的充分不必要条件
B．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”
C．△ABC中，“sin A>sin B”是“A>B”的充要条件
D．如果命题“┐p”与命题“p∨q”都是真命题，那么命题q一定是真命题
解析：选A ∵sin θ＝?θ＝k·360°＋30°(k∈Z)或θ＝k·360°＋150°(k∈Z)，反之当θ＝30°”时，sin θ＝，
∴“sin θ＝”是“θ＝30°”的必要不充分条件，故选A.
9．下列说法正确的是( )
A．若x≠0，则x＋≥2
B．命题“若x2＝1，则x＝1或x＝－1”的逆否命题为“若x≠1且x≠－1，则x2≠1”
C．“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件
D．若命题p：?x∈R，x2－x＋1<0，则┐p：?x∈R，x2－x＋1>0
解析：选B A中，当x为负数时，不等式不成立，故A说法错误；C中，由两直线垂直，可得1－a2＝0，得a＝±1，则“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充分不必要条件，故C说法错误；D中，┐p：?x∈R，x2－x＋1≥0，故D说法错误；B说法显然正确．
10．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 若f(x)，g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，所以h(x)为偶函数．若h(x)为偶函数，则f(x)，g(x)不一定均为偶函数．可举反例说明，如f(x)＝x，g(x)＝x2－x＋2，则h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2＋2为偶函数．
11．对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 对任意正整数n，an＋1>|an|≥0，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列；当取an＝n－4时，则{an}为递增数列，但an＋1>|an |不一定成立，故选B.
12．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①④
解析：选D ①的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；
②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假；
③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1”．
∵当m＝0时，解集不是R，
∴应有
即m>1.∴③是假命题；
④原命题为真，逆否命题也为真．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．给出下列三个命题：
①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；
②“α>β”是“cos α③“a＝0”是函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件.
其中真命题的序号为________．
解析：对于①，函数y＝3x是R上的增函数，∴“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①为假命题．对于②，2π>π，而cos 2π>cos π；cosβ”是“cos α答案：③
14．已知p：x2＋2x－3>0，q：x∈N.若“p∧q”“┐q”都是假命题，则x的值组成的集合为________．
解析：因为“p∧q”为假，“┐q”为假，
所以q为真，p为假．
故即
因此x的值可以是0,1.
答案：{0,1}
15．已知命题p：?m∈R，m＋1<0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题，则实数m的取值范围是________．
解析：因为p∧q为假命题，所以p，q中至少有一个为假命题．而命题p：?m∈R，m＋1<0为真命题；所以命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立必定为假命题，所以Δ＝m2－4×1≥0，解得m≤－2或m≥2.
又命题p：?m∈R，m＋1＜0为真命题，所以m<－1.
故综上可知m≤－2.
答案：(－∞，－2]
16．给出下列四个命题：①若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；③“任意x∈R，x2＋1≥0”的否定是“存在x∈R，x2＋1<0”；④在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件．其中正确的命题是________．(填序号)
解析：“p且q”为假命题，则p和q至少有一个是假命题，故①错；由否命题和全称命题的否定可知②③都正确；利用正弦定理可以证明在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件是正确的．
答案：②③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)π为圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.
(1)写出┐p并判断真假；
(2)写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假．
解：(1)┐p：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．
因为a，b，c，d∈Q，又aπ＋b＝cπ＋d，
所以π(a－c)＝d－b∈Q，则a＝c且b＝d.
故p是真命题，所以┐p是假命题．
(2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”．真命题．
否命题：“若aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d”．真命题．
逆否命题：“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”．真命题．
18．(本小题12分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．
(1)q：所有等边三角形都是等腰三角形；
(2)r：?x0∈R，x02＋2x0＋2≤0；
(3)s：至少有一个实数x0，使3x0－1＝0.
解：(1)┐q：至少存在一个等边三角形不是等腰三角形，假命题．这是由于原命题是真命题．
(2)┐r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．
这是由于?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0成立．
(3)┐s：?x∈R,3x－1≠0，假命题．
这是由于x＝0时，3x－1＝0.
19．(本小题12分)给定两个命题，P：对于任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；Q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
解：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立?a＝0或?0≤a<4.关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根?1－4a≥0?a≤.
如果P正确，Q不正确，有0≤a<4，且a>，
所以如果Q正确，P不正确，有a<0或a≥4，且a≤，
所以a<0.
所以实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
20．(本小题12分)已知f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若同时满足：
①命题“存在x∈R，f(x)≤0且g(x)≤0”的否定为真命题；
②命题“任意x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)≥0”的否定为真命题．
求实数m的取值范围．
解：当“存在x∈R，f(x)≤0且g(x)≤0”的否定为真命题时，“任意x∈R，f(x)>0或g(x)>0”为真命题．
当m≤0时，显然不合题意；
当m>0时，因为f(0)＝1>0，f(x)图象的对称轴为直线x＝，
若≥0，即0若<0，即m>4，只要方程2mx2－2(4－m)x＋1＝0的判别式Δ＝4(4－m)2－8m<0即可，
又m>4，可得4所以m∈(0,8)．
当“任意x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)≥0”的否定为真命题时，
即“存在x0∈(－∞，－4)，f(x0)g(x0)<0”为真命题．
又当m∈(0,8)，x∈(－∞，－4)时，g(x)<0恒成立，由条件①可知，必存在x0∈(－∞，－4)，使得f(x0)>0成立．综上，可得实数m的取值范围为(0,8)．
21．(本小题12分)已知c>0，设命题p：y＝cx为减函数，命题q：函数f(x)＝x＋>在x∈上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．
解：由p∨q真，p∧q假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可．
若p真，由y＝cx为减函数，得0当x∈时，由不等式x＋≥2(x＝1时取等号)知，f(x)＝x＋在上的最小值为2，若q真，则<2，即c>.
若p真q假，则0所以0若p假q真，则c≥1，c>，
所以c≥1.
综上可得，c∈∪[1，＋∞)．
22．(本小题12分)已知命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，
∴m>(x2－x)max，得m>2，即B＝{m|m>2}．
(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，
①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B，
∴2＋a≥2，此时a∈(1，＋∞)；
②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝?，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立；
③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a∴3a≥2，此时a∈.
综上①②③可得a∈.
课件23张PPT。谢谢！阶段质量检测（一）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设x是实数，则“x>0”是“|x|>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由x>0?|x|>0，而|x|>0?x>0或x<0，故选A.
2．命题“?x>0，x2－x≤0”的否定是( )
A．?x0>0，x02－x0≤0
B．?x0>0，x02－x0>0
C．?x>0，x2－x>0
D．?x≤0，x2－x>0
解析：选B 由含有全称量词的命题的否定，易知选B.
3．“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析： 选D －14．下列结论中正确的是( )
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分条件，但不是必要条件；
②“p∧q”为假是“p∨q”为假的充分条件，但不是必要条件；
③“p∨q”为真是“┐p”为假的必要条件，但不是充分条件；
④“┐p”为真是“p∧q”为假的必要条件，但不是充分条件．
A．①② B．①③
C．②④ D．③④
解析：选B “p∧q”为真，则“p∨q”为真，反之不一定，故①正确；当p真q假时，“p∧q”为假，但“p∨q”为真，故②错误；当“┐p”为假时，p为真，所以“p∨q”为真，反之不一定，故③正确；若“┐p”为真，则p为假，所以“p∧q”为假，因此④错误，故选B.
5．给出下列四个命题：
①若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2；
②若－2≤x<3，则(x＋2)(x－3)≤0；
③若x＝y＝0，则x2＋y2＝0；
④若x，y∈N*，且x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．
则下列说法正确的是( )
A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真
C．③的逆否命题为假 D．④的逆命题为假
解析：选A ②的逆命题：若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x<3，为假命题，故②的否命题为假．③的原命题为真，故③的逆否命题为真．①和④的逆命题显然为真．故选A.
6．已知命题p：若实数x，y满足x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；命题q：若a>b>0，则<.下列命题p∧q，p∨q，┐p，┐q中，真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 易知命题p，q都是真命题，则p∧q，p∨q都是真命题，┐p，┐q是假命题．
7．“a<0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 方程ax2＋1＝0至少有一个负根等价于x2＝－有实根，故a<0，故选C.
8．下列说法错误的是( )
A．“sin θ＝”是“θ＝30°”的充分不必要条件
B．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”
C．△ABC中，“sin A>sin B”是“A>B”的充要条件
D．如果命题“┐p”与命题“p∨q”都是真命题，那么命题q一定是真命题
解析：选A ∵sin θ＝?θ＝k·360°＋30°(k∈Z)或θ＝k·360°＋150°(k∈Z)，反之当θ＝30°”时，sin θ＝，
∴“sin θ＝”是“θ＝30°”的必要不充分条件，故选A.
9．下列说法正确的是( )
A．若x≠0，则x＋≥2
B．命题“若x2＝1，则x＝1或x＝－1”的逆否命题为“若x≠1且x≠－1，则x2≠1”
C．“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件
D．若命题p：?x∈R，x2－x＋1<0，则┐p：?x∈R，x2－x＋1>0
解析：选B A中，当x为负数时，不等式不成立，故A说法错误；C中，由两直线垂直，可得1－a2＝0，得a＝±1，则“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充分不必要条件，故C说法错误；D中，┐p：?x∈R，x2－x＋1≥0，故D说法错误；B说法显然正确．
10．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 若f(x)，g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，所以h(x)为偶函数．若h(x)为偶函数，则f(x)，g(x)不一定均为偶函数．可举反例说明，如f(x)＝x，g(x)＝x2－x＋2，则h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2＋2为偶函数．
11．对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 对任意正整数n，an＋1>|an|≥0，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列；当取an＝n－4时，则{an}为递增数列，但an＋1>|an |不一定成立，故选B.
12．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①④
解析：选D ①的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；
②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假；
③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1”．
∵当m＝0时，解集不是R，
∴应有
即m>1.∴③是假命题；
④原命题为真，逆否命题也为真．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．给出下列三个命题：
①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；
②“α>β”是“cos α③“a＝0”是函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件.
其中真命题的序号为________．
解析：对于①，函数y＝3x是R上的增函数，∴“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①为假命题．对于②，2π>π，而cos 2π>cos π；cosβ”是“cos α答案：③
14．已知p：x2＋2x－3>0，q：x∈N.若“p∧q”“┐q”都是假命题，则x的值组成的集合为________．
解析：因为“p∧q”为假，“┐q”为假，
所以q为真，p为假．
故即
因此x的值可以是0,1.
答案：{0,1}
15．已知命题p：?m∈R，m＋1<0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题，则实数m的取值范围是________．
解析：因为p∧q为假命题，所以p，q中至少有一个为假命题．而命题p：?m∈R，m＋1<0为真命题；所以命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立必定为假命题，所以Δ＝m2－4×1≥0，解得m≤－2或m≥2.
又命题p：?m∈R，m＋1＜0为真命题，所以m<－1.
故综上可知m≤－2.
答案：(－∞，－2]
16．给出下列四个命题：①若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；③“任意x∈R，x2＋1≥0”的否定是“存在x∈R，x2＋1<0”；④在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件．其中正确的命题是________．(填序号)
解析：“p且q”为假命题，则p和q至少有一个是假命题，故①错；由否命题和全称命题的否定可知②③都正确；利用正弦定理可以证明在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件是正确的．
答案：②③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)π为圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.
(1)写出┐p并判断真假；
(2)写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假．
解：(1)┐p：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．
因为a，b，c，d∈Q，又aπ＋b＝cπ＋d，
所以π(a－c)＝d－b∈Q，则a＝c且b＝d.
故p是真命题，所以┐p是假命题．
(2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”．真命题．
否命题：“若aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d”．真命题．
逆否命题：“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”．真命题．
18．(本小题12分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．
(1)q：所有等边三角形都是等腰三角形；
(2)r：?x0∈R，x02＋2x0＋2≤0；
(3)s：至少有一个实数x0，使3x0－1＝0.
解：(1)┐q：至少存在一个等边三角形不是等腰三角形，假命题．这是由于原命题是真命题．
(2)┐r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．
这是由于?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0成立．
(3)┐s：?x∈R,3x－1≠0，假命题．
这是由于x＝0时，3x－1＝0.
19．(本小题12分)给定两个命题，P：对于任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；Q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
解：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立?a＝0或?0≤a<4.关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根?1－4a≥0?a≤.
如果P正确，Q不正确，有0≤a<4，且a>，
所以如果Q正确，P不正确，有a<0或a≥4，且a≤，
所以a<0.
所以实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
20．(本小题12分)已知f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若同时满足：
①命题“存在x∈R，f(x)≤0且g(x)≤0”的否定为真命题；
②命题“任意x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)≥0”的否定为真命题．
求实数m的取值范围．
解：当“存在x∈R，f(x)≤0且g(x)≤0”的否定为真命题时，“任意x∈R，f(x)>0或g(x)>0”为真命题．
当m≤0时，显然不合题意；
当m>0时，因为f(0)＝1>0，f(x)图象的对称轴为直线x＝，
若≥0，即0若<0，即m>4，只要方程2mx2－2(4－m)x＋1＝0的判别式Δ＝4(4－m)2－8m<0即可，
又m>4，可得4所以m∈(0,8)．
当“任意x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)≥0”的否定为真命题时，
即“存在x0∈(－∞，－4)，f(x0)g(x0)<0”为真命题．
又当m∈(0,8)，x∈(－∞，－4)时，g(x)<0恒成立，由条件①可知，必存在x0∈(－∞，－4)，使得f(x0)>0成立．综上，可得实数m的取值范围为(0,8)．
21．(本小题12分)已知c>0，设命题p：y＝cx为减函数，命题q：函数f(x)＝x＋>在x∈上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．
解：由p∨q真，p∧q假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可．
若p真，由y＝cx为减函数，得0当x∈时，由不等式x＋≥2(x＝1时取等号)知，f(x)＝x＋在上的最小值为2，若q真，则<2，即c>.
若p真q假，则0所以0若p假q真，则c≥1，c>，
所以c≥1.
综上可得，c∈∪[1，＋∞)．
22．(本小题12分)已知命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，
∴m>(x2－x)max，得m>2，即B＝{m|m>2}．
(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，
①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B，
∴2＋a≥2，此时a∈(1，＋∞)；
②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝?，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立；
③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a∴3a≥2，此时a∈.
综上①②③可得a∈.
