第1课时 椭圆及其标准方程
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P32～P36的内容，回答下列问题．
(1)阅读教材P32“探究”的内容，思考下列问题：
①移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？
提示：椭圆．
②笔尖在移动的过程中，笔尖到两个定点F1和F2的距离之和是一个定值吗？
提示：是．其距离之和始终等于线段的长度．
(2)观察教材P33－图2.1－2.设M(x，y)，F1(－c,0)，F2(c，0)，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则M点的轨迹方程是什么？
提示：＋＝1.
(3)观察教材P34“思考”．设M(x，y)，F1(0，－c)，F2(0，c)，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则M点的轨迹方程是什么？
提示：＋＝1.
2．归纳总结，核心必记
(1)椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(2)椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c
的关系
a2＝b2＋c2
[问题思考]
(1)定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
提示：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2; 当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)如图，你能从中找出表示a，b，c的线段吗？
提示：a＝|PF2|，b＝|OP|，c＝|OF2|.
(3)确定椭圆的标准方程需要知道哪些量？
提示：a，b的值及焦点的位置．
[课前反思]
(1)椭圆的定义是： ；
(2)椭圆的标准方程是： ；
特点： ；
(3)在椭圆的标准方程中，a，b，c之间的关系是： .
知识点1
对椭圆定义的理解
?讲一讲
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点．过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点，求△ABF2的周长．
[尝试解答] ∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
又∵△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，
∴△ABF2的周长为4a.
由椭圆的定义可知，点的集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}(其中|F1F2|＝2c)表示的轨迹有三种情况：当a>c时，集合P为椭圆；当a＝c时，集合P为线段F1F2；当a
?练一练
1．下列说法中正确的是( )
A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
解析：选C A中，|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5,3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4>|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确，D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选C.
2．若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
解析：选B 依题意，得a＝5，|PF1|＝3，则|PF2|＝2a－|PF1|＝10－3＝7.
知识点2
求椭圆的标准方程
?讲一讲
2．(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点，求它的标准方程；
(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程．
[尝试解答] (1)法一：∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义知
2a＝ ＋
＝2，
∴a＝.又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意得解得
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，
∴则
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，
设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，
∴则与a>b矛盾，故舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，
∴∴
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
类题·通法
求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．
?练一练
3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；
(2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.
解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为2a＝＋＝10,2c＝6，
所以a＝5，c＝3，所以b2＝a2－c2＝52－32＝16.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为2a＝26,2c＝10，所以a＝13，c＝5.
所以b2＝a2－c2＝144.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
知识点3
与椭圆有关的轨迹问题
?讲一讲
3．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．
[尝试解答] 由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P 的圆心为P(x，y)，半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆 N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
类题·通法
解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法
(1)定义法：
用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
(2)相关点法：
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．
?练一练
4．如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．
解：由垂直平分线性质可知|MQ|＝|MA|，∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|.
∴|CM|＋|MA|＝4.又|AC|＝2，
∴M点的轨迹为椭圆．
由椭圆的定义知，a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
∴所求轨迹方程为＋＝1.
知识点4
与焦点有关的三角形问题
?讲一讲
4．如图所示，P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
[思路点拨] 由余弦定理结合椭圆的定义求出|PF1|，再代入三角形的面积公式求解．
[尝试解答] 由已知a＝2，b＝，
得c＝＝＝1，|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.②
②代入①解得|PF1|＝.∴S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝××2×＝.即△PF1F2的面积是.
类题·通法
对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2，求其三角形的面积时注意整体思想的应用，如已知∠F1PF2，可利用S＝absin C把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量．
?练一练
5．将本讲中“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝60°”，求△PF1F2的面积．
解：由已知a＝2，b＝，得c＝＝＝1.∴|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 60°.∴4＝16－3|PF1||PF2|.∴|PF1||PF2|＝4.∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin 60°＝×4×＝.
——————————[课堂归纳·感悟提升]——————————
1．本节课的重点是椭圆的定义、标准方程的求法，以及与椭圆焦点有关的三角形问题．
2．对椭圆定义的理解易忽视“2a>2c”这一条件，是本节课的易错点．
平面内到两定点F1，F2 的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，
当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；
当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
3．本节课要重点掌握的规律方法
(1)椭圆标准方程的求法，见讲2.
(2)与椭圆有关的轨迹问题的求法，见讲3.
(3)与椭圆焦点有关的三角形问题，见讲4.
课下能力提升(六)
[学业水平达标练]
题组1 椭圆的标准方程
1．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－6，－2)∪(3，＋∞)
解析：选D 依题意，得
解得a>3或－62．过点(－3,2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选B 依题意，焦点坐标为(±，0)，设所求方程为＋＝1(a2>5)，将点(－3,2)代入，得a2＝15，则所求椭圆的方程为＋＝1.故选B.
3．椭圆9x2＋16y2＝144的焦点坐标为________．
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，∴a2＝16，b2＝9，c2＝7，且焦点在x轴上，∴焦点坐标为(－，0)，(，0)．
答案：(－，0)，(，0)
4．焦点在坐标轴上，且经过A(1,2)和B(，－2)两点的椭圆的标准方程为________．
解析：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)，将点A(1,2)，B(，－2)代入，得解得则所求椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
题组2 与椭圆有关的轨迹问题
5．已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线，垂足为P′，则PP′的中点M的轨迹方程是( )
A．4x2＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
解析：选A 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝，y＝y0.
∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1. ①
将x0＝2x，y0＝y代入方程①，得4x2＋y2＝1.
6．已知线段AB的两端点A，B分别在x，y轴上滑动，|AB|＝5.点M是线段AB上的一点，且|AM|＝2，点M随线段AB的运动而变化，试求点M的轨迹方程．
解：依题意可得＝，设M(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则(x－a，y)＝(－x，b－y)，即解得 ①
又|AB|＝5，所以a2＋b2＝25. ②
将①代入②，得＋＝1.
于是点M的轨迹方程为＋＝1.
题组3 椭圆的定义及焦点三角形问题
7．若椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为( )
A．9 B．12
C．15 D．18
解析：选A 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由∠F1PF2＝90° 且|F1F2|＝8，知r＋r＝64.又r1＋r2＝10，可得r1r2＝18，所以S△PF1F2＝r1r2＝9.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上．则＝________.
解析：由椭圆方程＋＝1知，a＝5，b＝3，∴c＝4，即点A(－4,0)和C(4,0)是椭圆的焦点．
又点B在椭圆上，∴|BA|＋|BC|＝2a＝10，且|AC|＝8.
于是，在△ABC中，由正弦定理，得＝＝.
答案：
9．已知椭圆的焦点在x轴上，且焦距为4，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若△PF1F2的面积为2，求点P坐标．
解：(1)由题意知，2c＝4，c＝2，
|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8，
即2a＝8，∴a＝4.
∴b2＝a2－c2＝16－4＝12.
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点P坐标为(x0，y0)，
依题意知，|F1F2||y0|＝2，
∴|y0|＝，y0＝±.
代入椭圆方程＋＝1，得x0＝±2，
∴点P坐标为(2，)或(2，－)或(－2，)或(－2，－)．
[能力提升综合练]
1．点P在椭圆＋＝1上一点，若以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积为1，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由椭圆方程知c＝1，设点P的坐标为(x，y)，则S△PF1F2＝×2c×|y|＝|y|＝1，所以y＝±1，将y＝±1代入椭圆方程，得＋＝1，解得x＝±，所以点P的坐标为.故选D.
2．已知椭圆＋＝1的一个焦点为F, 点P在椭圆上，如果线段PF的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是( )
A．± B．±
C．± D．±
解析：选D 由题意知F(±3,0)，设点P的坐标为(x，y)，因为线段PF的中点M在y轴上，则M且x＝±3.又点P在椭圆上，则＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以点M的纵坐标为±.故选D.
3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1或 ＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或 ＋＝1
解析：选B 由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
4．设F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，在曲线C上满足·＝0的点P的个数为( )
A．0 B．2
C．3 D．4
解析：选B ∵·＝0，∴PF1⊥PF2.∴点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且此圆的半径为c＝＝2.∵b＝2，∴点P为该椭圆y轴的两个端点．
5．F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为 的正三角形，则b2的值是________．
解析：∵|OF2|＝c，∴由已知得＝，
∴c2＝4，c＝2.
设点P的坐标为(x0，y0)，由△POF2为正三角形，
∴|x0|＝1，|y0|＝，代入椭圆方程得＋＝1.
∵a2＝b2＋4，∴b2＋3(b2＋4)＝b2(b2＋4)，
即b4＝12，∴b2＝2.
答案：2
6．椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于________．
解析：如图，设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|＋|MF2|＝10，知|MF2|＝10－2＝8.又因为点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，
所以|ON|＝|MF2|＝4.
答案：4
7.如图所示，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程．
解：由椭圆的定义知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，得2c＝|F1F2|＝＝＝2，即c＝，从而b＝＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
8．已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点．
(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；
(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．
解：(1)由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4且F1(－，0)，F2(，0)．①
在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝.
(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，
得·<0，即(－－x，－y)·(－x，－y)<0.
又y2＝1－，
所以x2<2，
解得－所以点P横坐标的范围是.
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[学业水平达标练]
题组1 椭圆的标准方程
1．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－6，－2)∪(3，＋∞)
解析：选D 依题意，得
解得a>3或－62．过点(－3,2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选B 依题意，焦点坐标为(±，0)，设所求方程为＋＝1(a2>5)，将点(－3,2)代入，得a2＝15，则所求椭圆的方程为＋＝1.故选B.
3．椭圆9x2＋16y2＝144的焦点坐标为________．
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，∴a2＝16，b2＝9，c2＝7，且焦点在x轴上，∴焦点坐标为(－，0)，(，0)．
答案：(－，0)，(，0)
4．焦点在坐标轴上，且经过A(1,2)和B(，－2)两点的椭圆的标准方程为________．
解析：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)，将点A(1,2)，B(，－2)代入，得解得则所求椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
题组2 与椭圆有关的轨迹问题
5．已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线，垂足为P′，则PP′的中点M的轨迹方程是( )
A．4x2＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
解析：选A 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝，y＝y0.
∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1. ①
将x0＝2x，y0＝y代入方程①，得4x2＋y2＝1.
6．已知线段AB的两端点A，B分别在x，y轴上滑动，|AB|＝5.点M是线段AB上的一点，且|AM|＝2，点M随线段AB的运动而变化，试求点M的轨迹方程．
解：依题意可得＝，设M(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则(x－a，y)＝(－x，b－y)，即解得 ①
又|AB|＝5，所以a2＋b2＝25. ②
将①代入②，得＋＝1.
于是点M的轨迹方程为＋＝1.
题组3 椭圆的定义及焦点三角形问题
7．若椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为( )
A．9 B．12
C．15 D．18
解析：选A 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由∠F1PF2＝90° 且|F1F2|＝8，知r＋r＝64.又r1＋r2＝10，可得r1r2＝18，所以S△PF1F2＝r1r2＝9.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上．则＝________.
解析：由椭圆方程＋＝1知，a＝5，b＝3，∴c＝4，即点A(－4,0)和C(4,0)是椭圆的焦点．
又点B在椭圆上，∴|BA|＋|BC|＝2a＝10，且|AC|＝8.
于是，在△ABC中，由正弦定理，得＝＝.
答案：
9．已知椭圆的焦点在x轴上，且焦距为4，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若△PF1F2的面积为2，求点P坐标．
解：(1)由题意知，2c＝4，c＝2，
|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8，
即2a＝8，∴a＝4.
∴b2＝a2－c2＝16－4＝12.
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点P坐标为(x0，y0)，
依题意知，|F1F2||y0|＝2，
∴|y0|＝，y0＝±.
代入椭圆方程＋＝1，得x0＝±2，
∴点P坐标为(2，)或(2，－)或(－2，)或(－2，－)．
[能力提升综合练]
1．点P在椭圆＋＝1上一点，若以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积为1，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由椭圆方程知c＝1，设点P的坐标为(x，y)，则S△PF1F2＝×2c×|y|＝|y|＝1，所以y＝±1，将y＝±1代入椭圆方程，得＋＝1，解得x＝±，所以点P的坐标为.故选D.
2．已知椭圆＋＝1的一个焦点为F, 点P在椭圆上，如果线段PF的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是( )
A．± B．±
C．± D．±
解析：选D 由题意知F(±3,0)，设点P的坐标为(x，y)，因为线段PF的中点M在y轴上，则M且x＝±3.又点P在椭圆上，则＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以点M的纵坐标为±.故选D.
3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1或 ＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或 ＋＝1
解析：选B 由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
4．设F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，在曲线C上满足·＝0的点P的个数为( )
A．0 B．2
C．3 D．4
解析：选B ∵·＝0，∴PF1⊥PF2.∴点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且此圆的半径为c＝＝2.∵b＝2，∴点P为该椭圆y轴的两个端点．
5．F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为 的正三角形，则b2的值是________．
解析：∵|OF2|＝c，∴由已知得＝，
∴c2＝4，c＝2.
设点P的坐标为(x0，y0)，由△POF2为正三角形，
∴|x0|＝1，|y0|＝，代入椭圆方程得＋＝1.
∵a2＝b2＋4，∴b2＋3(b2＋4)＝b2(b2＋4)，
即b4＝12，∴b2＝2.
答案：2
6．椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于________．
解析：如图，设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|＋|MF2|＝10，知|MF2|＝10－2＝8.又因为点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，
所以|ON|＝|MF2|＝4.
答案：4
7.如图所示，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程．
解：由椭圆的定义知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，得2c＝|F1F2|＝＝＝2，即c＝，从而b＝＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
8．已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点．
(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；
(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．
解：(1)由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4且F1(－，0)，F2(，0)．①
在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝.
(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，
得·<0，即(－－x，－y)·(－x，－y)<0.
又y2＝1－，
所以x2<2，
解得－所以点P横坐标的范围是
