第3课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)
知识点1
直线与椭圆的位置关系
[思考1] 判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？
名师指津：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径的大小关系判断，d＝r?相切；d>r?相离；d(2)代数法：联立直线与圆的方程，利用方程组解的个数判断．
[思考2] 能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系？
名师指津：不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系．
[思考3] 已知直线l和椭圆C的方程，如何判断直线与椭圆的位置关系？
名师指津：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0?直线与椭圆相交；
Δ＝0?直线与椭圆相切；
Δ<0?直线与椭圆相离．
?讲一讲
1．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[尝试解答] 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.①
方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点．
类题·通法
判断直线与椭圆的位置关系的方法
?练一练
1．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆 ＋＝1总有公共点，求m的取值范围．
解：由消去y，整理得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，所以Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)＝20m(5k2＋m－1)，因为直线与椭圆总有公共点，所以Δ≥0对任意k∈R都成立，因为m>0，所以5k2≥1－m恒成立，所以1－m≤0，即m≥1.又因为椭圆的焦点在x轴上，所以0知识点2
直线与椭圆的相交弦问题
[思考1] 若直线l与圆C相交于点A，B，如何求弦长|AB|?
名师指津：(1)利用r2＝d2＋2求解；(2)利用两点间的距离公式求解；(3)利用弦长公式|AB|＝|x1－x2|求解．
[思考2] 若直线l：y＝kx＋m与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如何求|AB|的值？
名师指津：|AB|＝|x1－x2|.
?讲一讲
2．已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
[尝试解答] (1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，即y＝x.
由可得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝
＝
＝×6＝3.
所以线段AB的长度为3.
(2)法一：设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．
联立
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4,2)，
所以＝＝4，
解得k＝－，且满足Δ>0.
这时直线的方程为y－2＝－(x－4)，
即y＝－x＋4.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有
两式相减得＋＝0，
整理得kAB＝＝－，
由于P(4,2)是AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是kAB＝－＝－，
于是直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，
即y＝－x＋4.
类题·通法
(1)弦长公式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝，
所以|AB|＝
＝·
＝·，
或|AB|＝
＝·
＝·.
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到．
(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.
?练一练
2．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得线段的中点的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 联立方程组
消去y得3x2＋4x－2＝0.
设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，
∴x1＋x2＝－，x0＝＝－，y0＝x0＋1＝.
∴所求中点的坐标为.
3．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝，求椭圆方程．
解：∵e＝，∴b2＝a2.∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2.
与x＋2y＋8＝0联立消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0，
由Δ>0得a2>32，由弦长公式得10＝×[64－2(64－a2)]．∴a2＝36，b2＝9.∴椭圆方程为＋＝1.
知识点3
与椭圆有关的最值问题
?讲一讲
3．已知椭圆＋＝1的离心率e＝.
(1)若＝3，求椭圆方程；
(2)直线l过点C(－1,0)交椭圆于A、B两点，且满足：＝3 ，试求△OAB面积的最大值．
[尝试解答] (1)由题意知
解得a＝，c＝.
所以a2＝3，b2＝1，
所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由e＝＝，及a2＝b2＋c2，得a2＝3b2，可设椭圆的方程为＋＝1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2),
由题意知直线l的斜率存在，
则设l的方程为y＝k(x＋1)，由
得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－3b2＝0，
且Δ＝12(3b2－1)k2＋12b2，
因为直线l交椭圆于A、B两点，且＝3，
所以点C在椭圆内部，所以a>1，
所以3b2>1，所以Δ>0.所以x1＋x2＝.
因为＝3，所以(x1＋1，y1)＝3(－1－x2，－y2)，
所以x1＝－4－3x2，
所以x2＋1＝－，所以|x1－x2|＝.
又O到直线l的距离为d＝，
所以S△ABO＝|AB|d＝ |x1－x2|·d
＝＝≤，
所以当且仅当3|k|＝，即k＝±时，
S△ABO取得最大值.
类题·通法
解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
?练一练
4．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 B．7
C．13 D．15
解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
5．在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．
解：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，
代入＋＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
Δ＝9m2－16(m2－7)＝0
?m2＝16?m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，显然y＝x－4距l最近，d＝＝，
切点为P.
——————————[课堂归纳·感悟提升]——————————
1．本节课的重点是直线与椭圆位置关系的判断、直线与圆的相交弦问题，难点是与椭圆有关的最值问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)直线与椭圆位置关系的判定方法，见讲1.
(2)弦长问题及中点弦问题的求解方法，见讲2.
(3)与椭圆有关的最值问题，见讲3.
课下能力提升(八)
[学业水平达标练]
题组1 直线与椭圆的位置关系
1．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
解析：选A 因为直线y＝kx＋1过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆＋＝1的内部，故直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1相交．
2．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．
解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
又∵直线与椭圆有两个公共点，
∴Δ＝(4m)2－4m(m＋3)＝16 m2－4m2－12m
＝12m2－12m>0，
解得m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.
答案：(1,3)∪(3，＋∞)
题组2 直线与椭圆的相交弦问题
3．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为( )
A．10 B．12
C．16 D．18
解析：选B ∵|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，∴|AF1|＋|BF1|＝4×5－8＝12.
4．已知斜率为2的直线l经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析： 因为直线l经过椭圆的右焦点F1(1,0)，且斜率为2，则直线l的方程为y＝2(x－1), 即2x－y－2＝0.由得3x2－5x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，
所以|AB|＝
＝
＝ ＝.
答案：
5．已知中心在原点，一个焦点为F(0，)的椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程．
解：设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
弦两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
由＋＝1及y＝3x－2得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋b2(4－a2)＝0，
x1＋x2＝，由已知＝，
即＝1，
所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，
所以得a2＝75，b2＝25，
所以椭圆的方程为＋＝1.
6．已知F1，F2分別是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB(O为坐标原点)为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．
解： 显然直线x＝0不满足题设条件，故设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立消去y并整理，
得x2＋4kx＋3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
由Δ＝(4k2)－12＝4k2－3>0，
得k>或k<－.①
又0°<∠AOB<90°?cos∠AOB>0?·>0，
所以·＝x1x2＋y1y2>0.
又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝，
所以＋>0，
即k2<4，所以－2综合①②，得直线l的斜率k的取值范围为－2，－∪，2.
题组3 与椭圆有关的最值问题
7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．
∵·＝0，
∴⊥.
∴||2＝| |2－||2＝| |2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，
故| |min＝2，
∴||min＝.
答案：
8．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线l：y＝x＋m.
(1)当直线l和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)当直线l被椭圆截得的弦最长时，求直线l的方程．
解：(1)由得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为直线l与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，
解得－≤m≤，
即实数m的取值范围是.
(2)设直线l与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)．
于是|AB|＝
＝
＝
＝
＝ .
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线l的方程为y＝x.
9.如图，点A是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，·＝9.
(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围．
解：∵直线AB的斜率为1，
∴∠BAP＝45°，
即△BAP是等腰直角三角形，||＝| |.
∵·＝9，
∴||| |cos 45°＝| |2cos 45°＝9，
∴| |＝3.
(1)∵P(0,1)，∴||＝1，||＝2，
即b＝2，且B(3,1)．
∵B在椭圆上，
∴＋＝1，得a2＝12，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t－3)，
∴t－3＝－b，即b＝3－t.
显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得，
＋＝1，解得a2＝.
∵a2>b2>0，
∴>(3－t)2>0.
∴>1，即－1＝>0，
∴所求t的取值范围是.
[能力提升综合练]
1．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是( )
A．[4－2，4＋2 ] B．[4－，4＋ ]
C．[4－2，4＋2 ] D．[4－，4＋ ]
解析：选A 方程可化为＋＝1，故椭圆焦点在y轴上，又a＝2，b＝，所以－≤m≤，
故4－2≤2m＋4≤2＋4.
2．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝( )
A. B．2 C. D．3
解析：选A 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)．
由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得×2＋2＝1.
解得n2＝1，
∴||＝＝＝.
3．设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞)
解析：选A 当0＜m＜3时，焦点在x轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，
解得0＜m≤1.
当m＞3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
4．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析：直线y＝(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.
在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.
答案：－1
5.如图，点A，B分别是椭圆＋＝1的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴的上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是线段AB上一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
解：(1)由题意，得A(－6,0)，B(6,0)，F(4,0)，
设点P的坐标是(x0，y0)，则＝(x0＋6，y0)，＝(x0－4，y0)．
由题意，得
即2x＋9x0－18＝0，
解得x0＝或x0＝－6.
由于y0>0，所以x0＝，得y0＝，
所以点P的坐标为.
(2)直线AP的方程为x－y＋6＝0，
设点M的坐标为(m,0)，
则M到直线AP的距离为，
依题意，知＝|m－6|，且－6≤m≤6，
解得m＝2，即M(2,0)．
于是椭圆上的点(x，y)到点M的距离d满足d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝2＋15.
因为－6≤x≤6，
所以当x＝时，d取得最小值，且最小值为.
6．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y＝x＋m相交于不同的两点M，N，问是否存在实数m使|AM|＝|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．
解：(1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1，
则右焦点F(，0)．
由题设＝3，
解得a2＝3，
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设P为弦MN的中点，
由
得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.
由于直线与椭圆有两个交点，
所以Δ>0，即－2所以xP＝＝－，从而yP＝xP＋m＝，
所以kAP＝＝，
又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，
所以＝－1，解得m＝2，
所以不存在实数m使|AM|＝|AN|.
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[学业水平达标练]
题组1 直线与椭圆的位置关系
1．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
解析：选A 因为直线y＝kx＋1过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆＋＝1的内部，故直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1相交．
2．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．
解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
又∵直线与椭圆有两个公共点，
∴Δ＝(4m)2－4m(m＋3)＝16 m2－4m2－12m
＝12m2－12m>0，
解得m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.
答案：(1,3)∪(3，＋∞)
题组2 直线与椭圆的相交弦问题
3．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为( )
A．10 B．12
C．16 D．18
解析：选B ∵|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，∴|AF1|＋|BF1|＝4×5－8＝12.
4．已知斜率为2的直线l经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析： 因为直线l经过椭圆的右焦点F1(1,0)，且斜率为2，则直线l的方程为y＝2(x－1), 即2x－y－2＝0.由得3x2－5x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，
所以|AB|＝
＝
＝ ＝.
答案：
5．已知中心在原点，一个焦点为F(0，)的椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程．
解：设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
弦两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
由＋＝1及y＝3x－2得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋b2(4－a2)＝0，
x1＋x2＝，由已知＝，
即＝1，
所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，
所以得a2＝75，b2＝25，
所以椭圆的方程为＋＝1.
6．已知F1，F2分別是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB(O为坐标原点)为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．
解： 显然直线x＝0不满足题设条件，故设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立消去y并整理，
得x2＋4kx＋3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
由Δ＝(4k2)－12＝4k2－3>0，
得k>或k<－.①
又0°<∠AOB<90°?cos∠AOB>0?·>0，
所以·＝x1x2＋y1y2>0.
又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝，
所以＋>0，
即k2<4，所以－2综合①②，得直线l的斜率k的取值范围为－2，－∪，2.
题组3 与椭圆有关的最值问题
7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．
∵·＝0，
∴⊥.
∴||2＝| |2－||2＝| |2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，
故| |min＝2，
∴||min＝.
答案：
8．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线l：y＝x＋m.
(1)当直线l和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)当直线l被椭圆截得的弦最长时，求直线l的方程．
解：(1)由得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为直线l与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，
解得－≤m≤，
即实数m的取值范围是.
(2)设直线l与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)．
于是|AB|＝
＝
＝
＝
＝ .
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线l的方程为y＝x.
9.如图，点A是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，·＝9.
(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围．
解：∵直线AB的斜率为1，
∴∠BAP＝45°，
即△BAP是等腰直角三角形，||＝| |.
∵·＝9，
∴||| |cos 45°＝| |2cos 45°＝9，
∴| |＝3.
(1)∵P(0,1)，∴||＝1，||＝2，
即b＝2，且B(3,1)．
∵B在椭圆上，
∴＋＝1，得a2＝12，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t－3)，
∴t－3＝－b，即b＝3－t.
显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得，
＋＝1，解得a2＝.
∵a2>b2>0，
∴>(3－t)2>0.
∴>1，即－1＝>0，
∴所求t的取值范围是.
[能力提升综合练]
1．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是( )
A．[4－2，4＋2 ] B．[4－，4＋ ]
C．[4－2，4＋2 ] D．[4－，4＋ ]
解析：选A 方程可化为＋＝1，故椭圆焦点在y轴上，又a＝2，b＝，所以－≤m≤，
故4－2≤2m＋4≤2＋4.
2．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝( )
A. B．2 C. D．3
解析：选A 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)．
由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得×2＋2＝1.
解得n2＝1，
∴||＝＝＝.
3．设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞)
解析：选A 当0＜m＜3时，焦点在x轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，
解得0＜m≤1.
当m＞3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
4．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析：直线y＝(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.
在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.
答案：－1
5.如图，点A，B分别是椭圆＋＝1的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴的上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是线段AB上一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
解：(1)由题意，得A(－6,0)，B(6,0)，F(4,0)，
设点P的坐标是(x0，y0)，则＝(x0＋6，y0)，＝(x0－4，y0)．
由题意，得
即2x＋9x0－18＝0，
解得x0＝或x0＝－6.
由于y0>0，所以x0＝，得y0＝，
所以点P的坐标为.
(2)直线AP的方程为x－y＋6＝0，
设点M的坐标为(m,0)，
则M到直线AP的距离为，
依题意，知＝|m－6|，且－6≤m≤6，
解得m＝2，即M(2,0)．
于是椭圆上的点(x，y)到点M的距离d满足d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝2＋15.
因为－6≤x≤6，
所以当x＝时，d取得最小值，且最小值为.
6．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y＝x＋m相交于不同的两点M，N，问是否存在实数m使|AM|＝|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．
解：(1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1，
则右焦点F(，0)．
由题设＝3，
解得a2＝3，
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设P为弦MN的中点，
由
得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.
由于直线与椭圆有两个交点，
所以Δ>0，即－2所以xP＝＝－，从而yP＝xP＋m＝，
所以kAP＝＝，
又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，
所以＝－1，解得m＝2，
所以不存在实数m使|AM|＝|AN|.
