2.2 双 曲 线
第1课时 双曲线及其标准方程
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P45～P48的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P45－图2.2－1，思考下列问题：
①在点M移动的过程中，的值发生变化吗？
提示：不变.＝|FF2|.
②动点M的轨迹是什么？
提示：双曲线．
(2)利用教材P46－图2.2－2所建立的坐标系，类比椭圆标准方程的推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？
提示：设M(x，y)，F1(－c,0)，F2(c,0)，由＝2a，可得－＝1，令b2＝c2－a2，则双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
2．归纳总结，核心必记
(1)双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
(2)双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2
[问题思考]
(1)双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？
提示：双曲线的一支．
(2)在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？
提示：①如果定义中常数等于|F1F2|，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．
②如果定义中常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在．
③如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
(3)如何判断方程－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)所表示双曲线的焦点位置？
提示：若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
(4)方程＋＝1表示哪种曲线呢？
提示：当m＝n>0时表示圆；当m>n>0或n>m>0时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线．
(5)椭圆标准方程和双曲线标准方程中的a，b，c之间的关系有什么区别？
提示：在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.
[课前反思]
(1)双曲线的定义是： ；
(2)双曲线的标准方程是： ；
(3)如何由双曲线方程确定焦点的位置？ .
知识点1
求双曲线的标准方程
[思考] 要求双曲线的标准方程，应确定哪些条件？
名师指津：(1)确定焦点的位置；(2)确定a和b的值．
?讲一讲
1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点P，Q；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
[尝试解答] (1)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由于点P和Q在双曲线上，
所以解得(舍去)．
若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，将P、Q两点坐标代入可得
解得所以双曲线的标准方程为－＝1.
法二：设双曲线方程为＋＝1(mn<0)．
∵P、Q两点在双曲线上，∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一：依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．依题设有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
法二：∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
类题·通法
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法．
?练一练
1．求满足下列条件的双曲线方程：
(1)焦点在y轴上，且过点(3，－4)和；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．
解：(1)由已知可设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则
解得
∴双曲线的方程为－＝1.
(2)法一：设双曲线方程为－＝1.
由题意易求得c＝2.
又双曲线过点(3，2)，
∴－＝1.
又∵a2＋b2＝(2)2，
∴a2＝12，b2＝8.
故所求双曲线的方程为－＝1.
法二：设双曲线方程为－＝1(－4
将点(3，2)代入得k＝4，
∴所求双曲线方程为－＝1.
知识点2
双曲线定义的应用
讲一讲
2．如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
[尝试解答] 双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1)由双曲线的定义得＝2a＝6，
又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，
假设点M到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos ∠F1PF2＝
＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
类题·通法
(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)．
(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．
?练一练
2．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解：由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，则S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝×64×＝16.
知识点3
与双曲线有关的轨迹问题
?讲一讲
3．如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
[尝试解答] 以AB边所在的直线为x轴，
AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，
sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)．
因为2sin A＋sin C＝2sin B，
所以2a＋c＝2b，即b－a＝，
从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
因为a＝，c＝2，
所以b2＝c2－a2＝6，
即所求轨迹方程为－＝1(x>)．
类题·通法
(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．
(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
?练一练
3.如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1；圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
∴动圆圆心M的轨迹方程为－＝1.
——————————[课堂归纳·感悟提升]——————————
1．本节课的重点是双曲线的定义及标准方程的求法，难点是双曲线定义的应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)双曲线标准方程的求法，见讲1；
(2)利用双曲线的定义解决与焦点有关的三角形问题，见讲2；
(3)求与双曲线有关的轨迹问题，见讲3.
3．双曲线定义中＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．
在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.这是本节课的两个易错点．
课下能力提升(九)
[学业水平达标练]
题组1 双曲线的标准方程
1．设θ∈，则关于x，y的方程＋＝1所表示的曲线是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
解析：选B 由题意，知－＝1，因为θ∈，所以sin θ>0，－cos θ>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线，故选B.
2．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或 －＝1
D.－＝0或 －＝0
解析：选C 由于焦点所在轴不确定，
∴有两种情况．
又∵a＝5，c＝7，∴b2＝72－52＝24.
3．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：选B 依题意，应有m＋1>0，即m>－1.
4．已知双曲线过点P1和P2，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B 因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为P1，P2两点在双曲线上，所以解得于是所求双曲线的标准方程为－＝1.故选B.
题组2 双曲线定义的应用
5．已知F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a分别为3和5时，点P的轨迹分别为( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线
D．双曲线的一支和一条直线
解析：选C 依题意，得|F1F2|＝10.当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，可知点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝2a＝10＝|F1F2|，可知点P的轨迹为以F2为端点的一条射线．
6．双曲线 －＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到焦点F1的距离是12，则点P到焦点F2的距离是( )
A．17 B．7
C．7或17 D．2或22
解析：选D 依题意及双曲线定义知，＝10，即12－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝2或22，故选D.
7．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(s，t>0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( )
A．m－s B.(m－s)
C．m2－s2 D.－
解析：选A 不妨设点P是两曲线在第一象限内的交点，由题意得解得则|PF1|·|PF2|＝(＋)(－)＝m－s.
题组3 与双曲线有关的轨迹问题
8．已知动圆M过定点B(－4,0)，且和定圆(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1(x>0) B.－＝1(x<0)
C.－＝1 D.－＝1
解析：选C 设动圆M的半径为r，依题意有|MB|＝r，另设A(4,0)，则有|MA|＝r±4，即|MA|－|MB|＝±4，亦即动圆圆心M到两定点A、B的距离之差的绝对值等于常数4，又4<|AB|，因此动点M的轨迹为双曲线，且c＝4,2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，故轨迹方程是－＝1.
9．△ABC的一边的两个顶点B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．
解：设顶点A的坐标为(x，y)，则kAB＝，kAC＝.
由题意，得·＝m，即－＝1(y≠0)．
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(两顶点除外)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1[能力提升综合练]
1．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A. B．1或－2
C．1或 D．1
解析：选D 由于a>0,02．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )
A. B. C. D.
解析：选D 法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.
法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以＝(1,0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.
3．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( )
A. B.
C. D．5
解析：选C 如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.
4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B 由题意可设双曲线方程为－＝1，
又由中点坐标公式可得P(，4)，
∴－＝1，解得a2＝1.
5．已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断：
①当14或t<1时， 曲线C表示双曲线；③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则14.
其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．
解析：①错误，当t＝时，曲线C表示圆；②正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4; ③正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0.∴14.
答案：②③④
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的一支相交的弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为________．
解析：由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.
答案：4a＋2m
7．双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离．
解：设点P为(x0，y0)，而F1(－5,0)，F2(5,0)，
则＝(－5－x0，－y0)，＝(5－x0，－y0)．
∵PF1⊥PF2，∴·＝0.
即(－5－x0)(5－x0)＋(－y0)·(－y0)＝0，
整理，得x＋y＝25.①
∵P(x0，y0)在双曲线上，
∴－＝1.②
联立①②，得y＝，即|y0|＝.
因此点P到x轴的距离为.
8．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
解：(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，
故设双曲线方程为－＝1，
则有解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设点M在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2.
又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，边MF1最长，
因为cos ∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角，
故△MF1F2为钝角三角形．
课件29张PPT。谢谢！课下能力提升(九)
[学业水平达标练]
题组1 双曲线的标准方程
1．设θ∈，则关于x，y的方程＋＝1所表示的曲线是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
解析：选B 由题意，知－＝1，因为θ∈，所以sin θ>0，－cos θ>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线，故选B.
2．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或 －＝1
D.－＝0或 －＝0
解析：选C 由于焦点所在轴不确定，
∴有两种情况．
又∵a＝5，c＝7，∴b2＝72－52＝24.
3．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：选B 依题意，应有m＋1>0，即m>－1.
4．已知双曲线过点P1和P2，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B 因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为P1，P2两点在双曲线上，所以解得于是所求双曲线的标准方程为－＝1.故选B.
题组2 双曲线定义的应用
5．已知F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a分别为3和5时，点P的轨迹分别为( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线
D．双曲线的一支和一条直线
解析：选C 依题意，得|F1F2|＝10.当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，可知点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝2a＝10＝|F1F2|，可知点P的轨迹为以F2为端点的一条射线．
6．双曲线 －＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到焦点F1的距离是12，则点P到焦点F2的距离是( )
A．17 B．7
C．7或17 D．2或22
解析：选D 依题意及双曲线定义知，＝10，即12－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝2或22，故选D.
7．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(s，t>0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( )
A．m－s B.(m－s)
C．m2－s2 D.－
解析：选A 不妨设点P是两曲线在第一象限内的交点，由题意得解得则|PF1|·|PF2|＝(＋)(－)＝m－s.
题组3 与双曲线有关的轨迹问题
8．已知动圆M过定点B(－4,0)，且和定圆(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1(x>0) B.－＝1(x<0)
C.－＝1 D.－＝1
解析：选C 设动圆M的半径为r，依题意有|MB|＝r，另设A(4,0)，则有|MA|＝r±4，即|MA|－|MB|＝±4，亦即动圆圆心M到两定点A、B的距离之差的绝对值等于常数4，又4<|AB|，因此动点M的轨迹为双曲线，且c＝4,2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，故轨迹方程是－＝1.
9．△ABC的一边的两个顶点B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．
解：设顶点A的坐标为(x，y)，则kAB＝，kAC＝.
由题意，得·＝m，即－＝1(y≠0)．
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(两顶点除外)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1[能力提升综合练]
1．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A. B．1或－2
C．1或 D．1
解析：选D 由于a>0,02．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )
A. B. C. D.
解析：选D 法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.
法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以＝(1,0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.
3．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( )
A. B.
C. D．5
解析：选C 如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.
4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B 由题意可设双曲线方程为－＝1，
又由中点坐标公式可得P(，4)，
∴－＝1，解得a2＝1.
5．已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断：
①当14或t<1时， 曲线C表示双曲线；③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则14.
其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．
解析：①错误，当t＝时，曲线C表示圆；②正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4; ③正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0.∴14.
答案：②③④
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的一支相交的弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为________．
解析：由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.
答案：4a＋2m
7．双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离．
解：设点P为(x0，y0)，而F1(－5,0)，F2(5,0)，
则＝(－5－x0，－y0)，＝(5－x0，－y0)．
∵PF1⊥PF2，∴·＝0.
即(－5－x0)(5－x0)＋(－y0)·(－y0)＝0，
整理，得x＋y＝25.①
∵P(x0，y0)在双曲线上，
∴－＝1.②
联立①②，得y＝，即|y0|＝.
因此点P到x轴的距离为.
8．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
解：(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，
故设双曲线方程为－＝1，
则有解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设点M在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2.
又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，边MF1最长，
因为cos ∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角，
故△MF1F2为钝角三角形．
