第2课时 双曲线的简单几何性质
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P49～P53的内容，回答下列问题．
类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线－＝1(a>0，b>0)的哪些几何性质？
提示：双曲线的范围、对称性、顶点坐标和离心率．
2．归纳总结，核心必记
(1)双曲线的简单几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
性
质
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
2c
2c
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
对称性
对称轴：x轴和y轴，中心：(0,0)
顶点
(±a,0)
(0，±a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
(2)等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.
[问题思考]
(1)如何用a，b表示双曲线的离心率？
提示：e＝＝＝.
(2)椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度．那么，双曲线的离心率与开口大小有关系吗？怎样反映这种关系？
提示：e＝＝，当e越大时，双曲线开口越大；当e越小，接近于1时，双曲线开口越小．
(3)双曲线－＝1与－＝1的渐近线有什么关系？
提示：双曲线－＝1与－＝1的渐近线相同．
(4)等轴双曲线的离心率为何值？
提示：e＝＝＝，即等轴双曲线的离心率为.
[课前反思]
(1)双曲线的几何性质有哪些？ ；
(2)等轴双曲线的定义： .
知识点1
根据双曲线的标准方程研究几何性质
?讲一讲
1．求双曲线9x2－16y2＋144＝0的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图．
[尝试解答] 把方程9x2－16y2＋144＝0化为标准方程为－＝1.
由此可知，半实轴长a＝3，半虚轴长b＝4，c＝＝＝5，焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x＝±x.双曲线的草图如图所示．
类题·通法
已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．
?练一练
1．求双曲线4y2－9x2＝－4的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图．
解：将双曲线方程化成标准方程－＝1，
可知半实轴长a＝＝，
半虚轴长b＝＝1.
于是有c＝＝＝，
所以焦点坐标为，离心率为e＝＝，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
双曲线的草图如图所示．
知识点2
由双曲线的性质求标准方程
?讲一讲
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；
(3)焦点在x轴上，离心率为，且过点(5,4)．
[尝试解答] (1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由两顶点间的距离是6得2a＝6，即a＝3.
由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(3)法一：∵e＝＝，∴c＝a，b2＝c2－a2＝a2.
又焦点在x轴上，故可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0)．把点(5,4)的坐标代入方程得－＝1，解得a2＝9.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：由离心率为知所求双曲线为等轴双曲线，
设双曲线的方程为x2－y2＝k(k≠0)，把点(5,4)的坐标代入方程得k＝9，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
类题·通法
(1)根据双曲线几何性质求标准方程时，常用方法是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a2，b2的值)．要特别注意a2＋b2＝c2的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆．
(2)如果已知双曲线的方程为标准形式，但不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程设为mx2－ny2＝1(m，n同号)，然后由条件求m，n.
(3)与双曲线－＝1具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为－＝λ(λ≠0)，然后再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程．
?练一练
2．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，且过点(1,2)；
(2)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；
(3)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等；
(4)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为.
解：(1)法一：由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.
因此所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：由题意可设所求双曲线方程为－＝1(mn>0)．
由题意，得解得
因此所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
由点M(3，－2)在双曲线上得－＝λ，得λ＝－2.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
(4)法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，
即c＝3且焦点在x轴上．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为e＝＝，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：因为椭圆焦点在x轴上，
所以可设双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25)．
因为e＝，所以＝－1，解得λ＝21.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
知识点3
求双曲线的离心率
?讲一讲
3．(1)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. B．2 C. D.
(2)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
[尝试解答] (1)不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M点的坐标为.
∵M点在双曲线上，
∴－＝1，a＝b，
∴c＝a，e＝＝.故选D.
(2)如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－b)，代入直线方程得－b＝(2a－c)，化简可得离心率e＝＝2＋.
[答案] (1)D (2)2＋
类题·通法
求双曲线离心率的常用方法
(1)依据条件求出a，c.计算e＝；
(2)依据条件建立a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e＝求解．
?练一练
3．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A. B. C. D.
解析：选D 由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为y＝－x，∴－2＝－·4，∴a＝2b.则e2＝＋1＝＋1＝，故e＝.
4．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
解：设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，
则y＝±.
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，
知|PF1|＝|F1F2|，∴＝2c，∴b2＝2ac.
∴c2－2ac－a2＝0，∴2－2×－1＝0.
即e2－2e－1＝0.
∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．
∴所求双曲线的离心率为1＋.
知识点4
直线与双曲线的位置关系
讲一讲
4．已知直线l：x＋y＝1与双曲线C：－y2＝1(a>0)．(链接教材P60－例6)
(1)若a＝，求l与C相交所得的弦长；
(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围．
[尝试解答] (1)当a＝时，双曲线C的方程为4x2－y2＝1，联立消去y，得3x2＋2x－2＝0.
设两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
则|AB|＝
＝
＝·＝×＝.
(2)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1，
得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，
∴
解得0
∵双曲线的离心率e＝＝，
∴e>且e≠.
即离心率e的取值范围是∪(，＋∞)．
类题·通法
(1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解．
(2)直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长d＝·|x1－x2|＝ |y1－y2|.
练一练
5．若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4只有一个公共点，则k的值等于________．
解析：由得(1－k2)x2＋2kx－5＝0.①
直线与双曲线只有一个公共点，
则①式只有一个解．
当1－k2＝0，即k＝±1时，①式只有一个解；
当1－k2≠0时，应满足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0，
解得k＝±，故k的值为±1或±.
答案：±1或±
——————————[课堂归纳·感悟提升]——————————
1．本节课的重点是双曲线几何性质的求法，难点是直线与双曲线的位置关系．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)由双曲线的标准方程研究几何性质，见讲1；
(2)由双曲线的几何性质求标准方程，见讲2；
(3)双曲线离心率的求法，见讲3.
3．直线与双曲线有一个公共点有两种情况：(1)直线与双曲线相切；(2)直线与双曲线的渐近线平行．这也是本节课的易错点．
4．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．
课下能力提升(十)
[学业水平达标练]
题组1 根据双曲线的标准方程研究几何性质
1．若0A．相等的实轴长 B．相等的虚轴长
C．相同的焦点 D．相同的渐近线
解析：选C 因为00.又b2＋k2>0，于是c2＝(a2－k2)＋(b2＋k2)＝a2＋b2.故选C.
2．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2 B．2 C. D．1
解析：选A 不妨取焦点(4,0) 和渐近线y＝x，则所求距离d＝＝2.故选A.
3．已知双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解析：选B 由题意可知， 此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a＝b，c＝＝a，
于是e＝＝.
题组2 由双曲线的几何性质求标准方程
4．若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
解析：选D 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24.故选D.
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0), 且离心率为e＝，则双曲线的标准方程为________．
解析：由焦点坐标，知c＝2，由e＝＝，可得a＝4，所以b＝＝2，则双曲线的标准方程为－＝1.
答案： －＝1
6．分别求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和一个顶点；
(2)焦点在x轴上，渐近线方程为y＝±x, 且顶点到渐近线的距离为1.
解：(1)对圆C的方程，令y＝0，得x2－6x＋8＝0，
解得x1＝2，x2＝4，即圆C与x轴的两个交点分别为(2,0)，(4,0)．令x＝0，得y2－4y＋8＝0，此方程无解，即圆C与y轴没有交点．
因此点(2,0)为双曲线的右顶点，点(4,0)为双曲线的右焦点．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a＝2，c＝4，所以b2＝c2－a2＝12，
从而双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
渐近线方程为y＝±x＝±x，则a＝b.
由顶点(a,0)到渐近线y＝x的距离为1，得＝1，
得a＝2，b＝a＝.
从而双曲线的标准方程为－＝1.
题组3 求双曲线的离心率
7．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作等边三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e＝________.
解析：依题意知，F1(－c,0)，F2(c,0)，
不妨设M在x轴上方，则M(0，c)，
所以MF1的中点为，代入双曲线方程可得
－＝1，又c2＝a2＋b2，所以－＝1，
整理得e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4＋2(e2＝4－2<1舍去)，所以e＝＋1.
答案：＋1
8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．
解析：由题意，知≥ ，则≥3，所以c2－a2≥3a2，即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2.
答案：[2，＋∞)
题组4 直线与双曲线的位置关系
9．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：选B ∵双曲线方程为x2－＝1，故P(1,0)为双曲线右顶点，∴过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共3条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．
10．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是________．
解析：由得x2－(kx＋2)2＝6.
则(1－k2)x2－4kx－10＝0有两个不同的正根．
则得－答案：
[能力提升综合练]
1．如图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是( )
解析：选C 直线方程可化为y＝ax＋b，曲线方程可化为＋＝1，若a>0，b>0，则曲线表示椭圆，可排除A、B、D，若a>0，b<0，C符合．
2．焦点为(0,6)，且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B 设所求双曲线的方程为－＝1(λ≠0)因为双曲线的一个焦点为(0,6)，可知λ<0，且－λ－2λ＝36，得λ＝－12，则双曲线方程为－＝1.故选B.
3．若中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选D 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．因为＝，所以＝，所以＝.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，即双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选D.
4．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
解析：选C 双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设直线AB：y＝2x与椭圆C1的一个交点为C(第一象限的交点)，则|OC|＝，
∵tan ∠COx＝2，
∴sin ∠COx＝，cos ∠COx＝，
则C的坐标为，
代入椭圆方程得＋＝1，∴a2＝11b2.
∵5＝a2－b2，∴b2＝.
5．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________．
解析：由消去y得x2－2mx－m2－2＝0.则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为(m,2m)．又点(m,2m)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1.
答案：±1
6．如果双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
解析： 到双曲线的中心O与右焦点F距离相等的点在线段OF的中垂线l：x＝上，则l应与双曲线的右支交于不同的两点，所以>a，即e＝>2.
答案： (2，＋∞)
7．双曲线－＝1(0解：由l过两点(a,0)，(0，b)，
设l的方程为bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c.
将b＝代入，平方后整理，得
162－16×＋3＝0.令＝x，
则16x2－16x＋3＝0，解得x＝或x＝.
因为e＝，有e＝.故e＝或e＝2.
因为0，所以离心率e为2.
8．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积是，求实数k的值．
解： (1)由消去y，
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
由直线l与双曲线C有两个不同的交点，
得解得－即k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程①，得x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线l：y＝kx－1恒过定点D(0，－1)，
则当x1x2<0时，S△AOB＝S△OAD＋S△OBD＝|x1－x2|＝；
当x1x2>0时，S△AOB＝|S△OAD－S△OBD|＝|x1－x2|＝.
综上可知，|x1－x2|＝2，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，
即2＋＝8，解得k＝0或k＝±.
由(1)，可知－课件31张PPT。谢谢！课下能力提升(十)
[学业水平达标练]
题组1 根据双曲线的标准方程研究几何性质
1．若0A．相等的实轴长 B．相等的虚轴长
C．相同的焦点 D．相同的渐近线
解析：选C 因为00.又b2＋k2>0，于是c2＝(a2－k2)＋(b2＋k2)＝a2＋b2.故选C.
2．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2 B．2 C. D．1
解析：选A 不妨取焦点(4,0) 和渐近线y＝x，则所求距离d＝＝2.故选A.
3．已知双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解析：选B 由题意可知， 此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a＝b，c＝＝a，
于是e＝＝.
题组2 由双曲线的几何性质求标准方程
4．若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
解析：选D 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24.故选D.
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0), 且离心率为e＝，则双曲线的标准方程为________．
解析：由焦点坐标，知c＝2，由e＝＝，可得a＝4，所以b＝＝2，则双曲线的标准方程为－＝1.
答案： －＝1
6．分别求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和一个顶点；
(2)焦点在x轴上，渐近线方程为y＝±x, 且顶点到渐近线的距离为1.
解：(1)对圆C的方程，令y＝0，得x2－6x＋8＝0，
解得x1＝2，x2＝4，即圆C与x轴的两个交点分别为(2,0)，(4,0)．令x＝0，得y2－4y＋8＝0，此方程无解，即圆C与y轴没有交点．
因此点(2,0)为双曲线的右顶点，点(4,0)为双曲线的右焦点．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a＝2，c＝4，所以b2＝c2－a2＝12，
从而双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
渐近线方程为y＝±x＝±x，则a＝b.
由顶点(a,0)到渐近线y＝x的距离为1，得＝1，
得a＝2，b＝a＝.
从而双曲线的标准方程为－＝1.
题组3 求双曲线的离心率
7．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作等边三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e＝________.
解析：依题意知，F1(－c,0)，F2(c,0)，
不妨设M在x轴上方，则M(0，c)，
所以MF1的中点为，代入双曲线方程可得
－＝1，又c2＝a2＋b2，所以－＝1，
整理得e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4＋2(e2＝4－2<1舍去)，所以e＝＋1.
答案：＋1
8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．
解析：由题意，知≥ ，则≥3，所以c2－a2≥3a2，即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2.
答案：[2，＋∞)
题组4 直线与双曲线的位置关系
9．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：选B ∵双曲线方程为x2－＝1，故P(1,0)为双曲线右顶点，∴过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共3条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．
10．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是________．
解析：由得x2－(kx＋2)2＝6.
则(1－k2)x2－4kx－10＝0有两个不同的正根．
则得－答案：
[能力提升综合练]
1．如图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是( )
解析：选C 直线方程可化为y＝ax＋b，曲线方程可化为＋＝1，若a>0，b>0，则曲线表示椭圆，可排除A、B、D，若a>0，b<0，C符合．
2．焦点为(0,6)，且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B 设所求双曲线的方程为－＝1(λ≠0)因为双曲线的一个焦点为(0,6)，可知λ<0，且－λ－2λ＝36，得λ＝－12，则双曲线方程为－＝1.故选B.
3．若中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选D 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．因为＝，所以＝，所以＝.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，即双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选D.
4．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
解析：选C 双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设直线AB：y＝2x与椭圆C1的一个交点为C(第一象限的交点)，则|OC|＝，
∵tan ∠COx＝2，
∴sin ∠COx＝，cos ∠COx＝，
则C的坐标为，
代入椭圆方程得＋＝1，∴a2＝11b2.
∵5＝a2－b2，∴b2＝.
5．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________．
解析：由消去y得x2－2mx－m2－2＝0.则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为(m,2m)．又点(m,2m)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1.
答案：±1
6．如果双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
解析： 到双曲线的中心O与右焦点F距离相等的点在线段OF的中垂线l：x＝上，则l应与双曲线的右支交于不同的两点，所以>a，即e＝>2.
答案： (2，＋∞)
7．双曲线－＝1(0解：由l过两点(a,0)，(0，b)，
设l的方程为bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c.
将b＝代入，平方后整理，得
162－16×＋3＝0.令＝x，
则16x2－16x＋3＝0，解得x＝或x＝.
因为e＝，有e＝.故e＝或e＝2.
因为0，所以离心率e为2.
8．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积是，求实数k的值．
解： (1)由消去y，
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
由直线l与双曲线C有两个不同的交点，
得解得－即k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程①，得x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线l：y＝kx－1恒过定点D(0，－1)，
则当x1x2<0时，S△AOB＝S△OAD＋S△OBD＝|x1－x2|＝；
当x1x2>0时，S△AOB＝|S△OAD－S△OBD|＝|x1－x2|＝.
综上可知，|x1－x2|＝2，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，
即2＋＝8，解得k＝0或k＝±.
