2.3 抛 物 线
第1课时 抛物线及其标准方程
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P56～P59的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P56－图2.3－1，点F是定点，l是不经过点F的定直线，H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹．
①M的轨迹是什么形状？
提示：抛物线．
②|MH|与|MF|之间有什么关系？
提示：相等．
③抛物线上任意一点M到点F和直线l的距离都相等吗？
提示：都相等．
(2)观察教材P57－图2.3－2，直线l的方程为x＝－，定点F的坐标为，设M(x，y)，根据抛物线的定义可知|MF|＝|MH|，则M点的轨迹方程是什么？
提示：y2＝2px(p>0)．
2．归纳总结，核心必记
(1)抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
(2)抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
x＝
x2＝2py(p>0)
y＝－
x2＝－2py(p>0)
y＝
[问题思考]
(1)在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？
提示：不一定是抛物线，当直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于定直线的一条直线，l不过定点F时，点的轨迹是抛物线．
(2)到定点A(3,0)和定直线l：x＝－3距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？
提示：轨迹是抛物线，轨迹方程为：y2＝12x.
(3)若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则它的标准方程是什么？
提示：由焦点在x轴正半轴上，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，其焦点坐标为，则＝2，故p＝4.所以抛物线的标准方程是y2＝8x.
[课前反思]
(1)抛物线的定义是
(2)抛物线的焦点和准线的定义是：
(3)抛物线的标准方程是什么？其对应的抛物线的开口方向有什么特点？焦点坐标和准线方程又是什么？ .
知识点1
求抛物线的焦点坐标及准线方程
[思考1] 抛物线的标准方程有哪几种类型？
名师指津：y2＝2px(p>0)；y2＝－2px(p>0)；x2＝2py(p>0)；x2＝－2py(p>0)．
[思考2] 抛物线方程中p的几何意义是什么？
名师指津：p的几何意义是：焦点到准线的距离．
[思考3] 如何根据抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程？
名师指津：先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后求p，利用焦点坐标及准线的定义求解．
?讲一讲
1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0; (3)y2＝ax(a>0)．
[尝试解答] (1)因为p＝7，所以焦点坐标是，准线方程是x＝.
(2)抛物线方程化为标准形式为x2＝y，因为p＝，所以焦点坐标是，准线方程是y＝－.
(3)由a>0知p＝，所以焦点坐标是，准线方程是x＝－.
类题·通法
根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式；然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p的几何意义，求出焦点坐标和准线方程．
?练一练
1．求抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标和准线方程．
解：把抛物线方程y＝ax2化成标准方程x2＝y.
当a>0时，焦点坐标是，准线方程是y＝－；
当a<0时，焦点坐标是，准线方程是y＝－.
综上知，所求抛物线的焦点坐标为，准线方程为y＝－.
知识点2
求抛物线的标准方程
[思考1] 抛物线标准方程有什么特点？
名师指津：等号一边是某个变量的完全平方，等号的另一边是另一个变量的一次项．
[思考2] 如何求抛物线的标准方程？
名师指津：(1)确定抛物线的对称轴和开口方向；(2)求p的值．
?讲一讲
2．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6,6);
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
[尝试解答] (1)∵点M(－6,6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p>0)，
将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，
将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，
∴抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，
∴抛物线的焦点是F(2,0)，
∴＝2，
∴p＝4，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x.
②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
∴＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.
综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.
类题·通法
求抛物线标准方程的两种方法
(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．
(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx或x2＝ny，利用已知条件求出m，n的值．
?练一练
2．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝－1;
(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.
解：(1)由准线方程为y＝－1知抛物线焦点在y轴正半轴上，且＝1，则p＝2.故抛物线的标准方程为x2＝4y.
(2)设焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
则焦点坐标为，准线为x＝－，
则焦点到准线的距离是＝p＝3，
因此所求的抛物线的标准方程是y2＝6x.
知识点3
抛物线定义的应用
?讲一讲
3．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．
[尝试解答] 如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，
当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．
∴min＝|AB|＝3＋＝.
此时yP＝2，代入抛物线得xP＝2，∴P点坐标为(2,2)．
类题·通法
(1)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．
(2)解决与抛物线焦点、准线距离有关的最值、定值问题时，首先要注意应用抛物线的定义进行转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短；三角形中三边间的不等关系；点与直线上点的连线中，垂线段最短等．
?练一练
3．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，且点M到焦点的距离为10，求点M的坐标．
解：由拋物线方程y2＝－2px(p>0)，得焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.设点M的纵坐标为y0，由点M(－9，y0)在抛物线上，得y0＝±6，故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
4．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知， 当点P，A(0,2)，和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小．所以最小距离d＝＝.
知识点4
抛物线方程的实际应用
?讲一讲
4．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过截面为抛物线型的隧道，已知拱口宽AB恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
[尝试解答] 以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则点B的坐标为，
由点B在抛物线上，
得2＝－2p，
所以p＝，
所以抛物线方程为x2＝－ay.
将点(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－.
欲使卡车通过隧道，应有－|y|＝－>3.
解得a>12.21，或a<－0.21(舍去)．
∵a取整数，∴a的最小值为13.
类题·通法
在建立抛物线的方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得方程不含常数项，形式更为简单，便于计算．
?练一练
5.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，向上至最高点后落下．若最高点距离水面2 m，P距离抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到1 m)
解： 建立如图所示的平面直角坐标系，过点P作y轴的垂线交抛物线与点P′，过O′作y轴的垂线，交y轴于点A，交抛物线于点B.设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0).
依题意有P(－1，－1)在此抛物线上，代入得p＝.
所以抛物线方程为x2＝－y.
又点B在抛物线上，设B(x0，－2)(x0>0)代入抛物线方程，
得x0＝，即|AB|＝.
则|O′B|＝|O′A|＋|AB|＝＋1.
因此水池的直径为2(1＋)m，约为5 m，
所以水池的直径至少应设计为5 m.
——————————[课堂归纳·感悟提升]——————————
1．本节课的重点是抛物线标准方程的求法和焦点坐标、准线的求法．难点是抛物线定义的应用和抛物线方程的实际应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)由抛物线方程求焦点坐标和准线方程，如讲1；
(2)求抛物线的标准方程，如讲2；
(3)利用抛物线的定义解决最值问题，如讲3.
3．由抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，如果不是标准方程应先转化为标准方程，这是本节课的易错点．
课下能力提升(十一)
[学业水平达标练]
题组1 由抛物线方程求焦点坐标和准线方程
1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0,1)
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，焦点为
解析：选B 由y＝4x2，得x2＝y，故抛物线开口向上，且焦点坐标为.
2．抛物线y＝－的准线方程是( )
A．x＝ B．y＝2 C．x＝ D．y＝4
解析：选B 由y＝－，得x2＝－8y，故抛物线开口向下，其准线方程为y＝2.
3．已知圆x2＋y2－4x－12＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________.
解析： 由题意，抛物线的准线方程为x＝－，
圆的方程化为标准形式为(x－2)2＋y2＝42，
则圆心(2,0)到准线的距离d＝2＋＝4，
解得p＝4.
答案：4
题组2 求抛物线的标准方程
4．焦点是F(0,5)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝20x B．x2＝20y
C．y2＝x D．x2＝y
解析：选B 由5＝得p＝10，且焦点在y轴正半轴上，故方程形式为x2＝2py，所以x2＝20y.
5．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－4x B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝－4y
解析：选C 设抛物线方程为y2＝－2p1x或x2＝2p2y，把(－4,4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.
故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.
题组3 抛物线定义的应用
6．有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按图中所示的方法进行折叠，使折叠后的点B落在边AD上，此时将B记为B′(注：图中EF为折痕，点F也可能落在边CD上)．过点B′ 作B′T∥CD交EF于点T，则点T的轨迹是以下哪种曲线的一部分( )
A．圆 B．抛物线
C．椭圆 D．双曲线
解析：选B 由于B′T∥CD，故B′T⊥AD，连接TB(图略)，由折叠关系，知|B′T|＝|TB|，即动点T到直线AD 的距离等于到定点B的距离．由抛物线的定义，知动点T的轨迹是以B为焦点，以AD为准线的抛物线在矩形ABCD内的部分．故选B.
7．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则( )
A．|P1F|＋|P2F|＝|P3F|
B．|P1F|2＋|P2F|2＝|P3F|2
C．2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|
D．|P2F|2＝|P1F|·|P3F|
解析：选C 因为点P1，P2，P3都在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，两边同时加上p，得2＝＋，由抛物线的定义，知2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|.故选C.
8．若点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
解：如图．|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|≥|AF|min.
AF的最小值为F到直线3x－4y＋＝0的距离．
d＝＝1.
题组4 抛物线方程的实际应用
9．某抛物线拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．
解：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，所以100＝－2p×(－4)，2p＝25.即抛物线方程为x2＝－25y.
因为每4米需用一根支柱支撑，
所以支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.
由图知，AB是最长的支柱之一，
设点B的坐标为(2，yB)，
代入x2＝－25y，得yB＝－.
所以|AB|＝4－＝3.84(米)，
即最长支柱的长为3.84米．
10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少有0.5米．
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?
解：如图所示，
(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高h，则|DB|＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．
[能力提升综合练]
1．若直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝－x或x2＝y
B．y2＝x或x2＝y
C．y2＝x或x2＝－y
D．y2＝－x或x2＝－y
解析：选A 将直线方程变形得(x＋2)a＋(－x－y＋1)＝0，由直线恒过定点P，知解得即P(－2,3)．又抛物线过点P，所以当焦点在x轴上时，方程为y2＝－x；当焦点在y轴上时，方程为x2＝y.故选A.
2．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为( )
A．3 B．6 C. D.
解析：选C 将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝.故到焦点的距离最小值为.
3．动点到点(3,0)的距离比它到直线 x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
解析：选D 已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.
4．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1 C. D.
解析：选C ∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，∴xA＋xB＝.∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
5．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.
解析：如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2,4)．
设P(x0,4)，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，
∴|PF|＝x0＋2＝8.
答案：8
6．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
解析：法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2，所以N(0,4)，|FN|＝＝6.
法二：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，
故|FN|＝2|MF|＝6.
答案：6
7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋＝5，即p＝4.
所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2.
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F.
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故
解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
8．已知圆C的方程x2＋y2－10x＝0，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．
解：设P点坐标为(x，y)，动圆的半径为R，
∵动圆P与y轴相切，∴R＝|x|.
∵动圆与定圆C：(x－5)2＋y2＝25外切，
∴|PC|＝R＋5.
即|PC|＝|x|＋5.
当点P在y轴右侧时，即x>0，
则|PC|＝x＋5，
故点P的轨迹是以(5,0)为焦点的抛物线，
则圆心P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)；
当点P在y轴左侧时，即x<0，
则|PC|＝－x＋5，
此时点P的轨迹是x轴的负半轴，即方程y＝0(x<0)．
故点P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)或y＝0(x<0)．
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[学业水平达标练]
题组1 由抛物线方程求焦点坐标和准线方程
1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0,1)
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，焦点为
解析：选B 由y＝4x2，得x2＝y，故抛物线开口向上，且焦点坐标为.
2．抛物线y＝－的准线方程是( )
A．x＝ B．y＝2 C．x＝ D．y＝4
解析：选B 由y＝－，得x2＝－8y，故抛物线开口向下，其准线方程为y＝2.
3．已知圆x2＋y2－4x－12＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________.
解析： 由题意，抛物线的准线方程为x＝－，
圆的方程化为标准形式为(x－2)2＋y2＝42，
则圆心(2,0)到准线的距离d＝2＋＝4，
解得p＝4.
答案：4
题组2 求抛物线的标准方程
4．焦点是F(0,5)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝20x B．x2＝20y
C．y2＝x D．x2＝y
解析：选B 由5＝得p＝10，且焦点在y轴正半轴上，故方程形式为x2＝2py，所以x2＝20y.
5．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－4x B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝－4y
解析：选C 设抛物线方程为y2＝－2p1x或x2＝2p2y，把(－4,4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.
故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.
题组3 抛物线定义的应用
6．有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按图中所示的方法进行折叠，使折叠后的点B落在边AD上，此时将B记为B′(注：图中EF为折痕，点F也可能落在边CD上)．过点B′ 作B′T∥CD交EF于点T，则点T的轨迹是以下哪种曲线的一部分( )
A．圆 B．抛物线
C．椭圆 D．双曲线
解析：选B 由于B′T∥CD，故B′T⊥AD，连接TB(图略)，由折叠关系，知|B′T|＝|TB|，即动点T到直线AD 的距离等于到定点B的距离．由抛物线的定义，知动点T的轨迹是以B为焦点，以AD为准线的抛物线在矩形ABCD内的部分．故选B.
7．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则( )
A．|P1F|＋|P2F|＝|P3F|
B．|P1F|2＋|P2F|2＝|P3F|2
C．2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|
D．|P2F|2＝|P1F|·|P3F|
解析：选C 因为点P1，P2，P3都在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，两边同时加上p，得2＝＋，由抛物线的定义，知2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|.故选C.
8．若点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
解：如图．|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|≥|AF|min.
AF的最小值为F到直线3x－4y＋＝0的距离．
d＝＝1.
题组4 抛物线方程的实际应用
9．某抛物线拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．
解：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，所以100＝－2p×(－4)，2p＝25.即抛物线方程为x2＝－25y.
因为每4米需用一根支柱支撑，
所以支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.
由图知，AB是最长的支柱之一，
设点B的坐标为(2，yB)，
代入x2＝－25y，得yB＝－.
所以|AB|＝4－＝3.84(米)，
即最长支柱的长为3.84米．
10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少有0.5米．
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?
解：如图所示，
(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高h，则|DB|＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．
[能力提升综合练]
1．若直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝－x或x2＝y
B．y2＝x或x2＝y
C．y2＝x或x2＝－y
D．y2＝－x或x2＝－y
解析：选A 将直线方程变形得(x＋2)a＋(－x－y＋1)＝0，由直线恒过定点P，知解得即P(－2,3)．又抛物线过点P，所以当焦点在x轴上时，方程为y2＝－x；当焦点在y轴上时，方程为x2＝y.故选A.
2．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为( )
A．3 B．6 C. D.
解析：选C 将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝.故到焦点的距离最小值为.
3．动点到点(3,0)的距离比它到直线 x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
解析：选D 已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.
4．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1 C. D.
解析：选C ∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，∴xA＋xB＝.∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
5．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.
解析：如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2,4)．
设P(x0,4)，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，
∴|PF|＝x0＋2＝8.
答案：8
6．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
解析：法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2，所以N(0,4)，|FN|＝＝6.
法二：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，
故|FN|＝2|MF|＝6.
答案：6
7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋＝5，即p＝4.
所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2.
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F.
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故
解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
8．已知圆C的方程x2＋y2－10x＝0，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．
解：设P点坐标为(x，y)，动圆的半径为R，
∵动圆P与y轴相切，∴R＝|x|.
∵动圆与定圆C：(x－5)2＋y2＝25外切，
∴|PC|＝R＋5.
即|PC|＝|x|＋5.
当点P在y轴右侧时，即x>0，
则|PC|＝x＋5，
故点P的轨迹是以(5,0)为焦点的抛物线，
则圆心P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)；
当点P在y轴左侧时，即x<0，
则|PC|＝－x＋5，
此时点P的轨迹是x轴的负半轴，即方程y＝0(x<0)．
故点P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)或y＝0(x<0)．
