第2课时 抛物线的简单几何性质
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P60～P63的内容，回答下列问题．
类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px(p>0)的下列性质：
(1)抛物线y2＝2px(p>0)的范围是什么？
提示：x≥0，y∈R.
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的对称轴是什么？是否存在对称中心？
提示：对称轴为x轴，不存在对称中心．
(3)抛物线的顶点坐标有几个？顶点坐标是什么？
提示：只有一个顶点坐标(0,0)．
(4)抛物线的离心率是多少？
提示：e＝1.
2．归纳总结，核心必记
抛物线的几何性质
类型
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
图象
性
质
焦点
F
F
F
F
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口
方向
向右
向左
向上
向下
[问题思考]
在同一坐标系下画出抛物线y2＝x，y2＝2x和y2＝3x的图象，试分析影响抛物线开口大小的量是什么？
提示：影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．
课前反思]
(1)抛物线的范围是： ；
(2)抛物线具有怎样的对称性？其对称轴是什么？ ；
(3)抛物线的顶点坐标和离心率分别是： .
知识点1
抛物线的几何性质
?讲一讲
1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．
[尝试解答] 椭圆的方程可化为＋＝1，
其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，
∴p＝6.
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
类题·通法
(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．
(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．
?练一练
1．已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．
解：因为双曲线－＝1的右顶点坐标为(2，0)，所以＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.
知识点2
抛物线的焦点弦问题
[思考] 抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦，若P(x0，y0)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据上述定义，你能完成以下表格吗？
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
焦半径
|PF|
|PF|＝____
|PF|＝____
|PF|＝____
|PF|＝____
焦点弦
|AB|
|AB|＝____
|AB|＝____
|AB|＝____
|AB|＝____
名师指津：x0＋ －x0 y0＋ －y0 x1＋x2＋p p－x1－x2 y1＋y2＋p p－y1－y2.
?讲一讲
2．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
[尝试解答] 设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2.
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．
∵y1＋y2＝2，∴k＝＝＝3，
∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.
由得y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.
∴|P1P2|＝ ·＝.
类题·通法
(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．
?练一练
2．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
解：(1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F.
所以直线l的方程为y＝.
联立消去y，得x2－5x＋＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝x1＋x2＋p.∴|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，
又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
知识点3
直线与抛物线的位置关系
[思考1] 若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线相切吗？
名师指津：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是只有一个公共点时，直线与抛物线可能相切也可能平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
[思考2] 如何判断点P(x0，y0)与抛物线y2＝2px(p>0)的位置关系？
名师指津：(1)P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)内部?y<2px0；
(2)P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上_?y＝2px0；
(3)P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)外部?y>2px0.
?讲一讲
3．设直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C相切、相交、相离．
[尝试解答] 联立方程组消去y，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
若k≠0，方程k2x2＋(2k－4)x＋1＝0为一元二次方程．
∴Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
(1)当Δ＝0，即k＝1时，l与C相切，
(2)当Δ>0，即k<1时，l与C相交，
(3)当Δ<0，即k>1时，l与C相离．
若k＝0，直线l方程为y＝1，显然与抛物线C交于.
综上所述，当k＝1时，l与C相切；当k<1时，l与C相交；当k>1时，l与C相离．
类题·通法
研究直线和抛物线的位置关系时，由于消元后所得的方程中含参数，因此要注意分二次项系数为0和不为0两种情况讨论．
练一练
3．已知抛物线y2＝6x的弦AB经过点P(4,2)，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求弦AB的长．
解：由A，B两点在抛物线y2＝6x上，
可设A，B.
因为OA⊥OB，所以·＝0.
由＝，＝，得＋y1y2＝0.
因为y1y2≠0，所以y1y2＝－36.①
又点A，B与点P(4,2)在一条直线上，
所以(y1－2)－＝(y1－y2)，
化简得y1y2－2(y1＋y2)＝－24.
将①代入，得y1＋y2＝－6.②
由①②，得y1＝－3－3，y2＝－3＋3或y1＝－3＋3，y2＝－3－3.
不妨取A(9＋3，－3－3)，B(9－3，－3＋3)，
所以|AB|＝6.
——————————[课堂归纳·感悟提升]——————————
1．本节课的重点是抛物线的几何性质和焦点弦问题，难点是直线与抛物线的位置关系．
2．在研究直线与抛物线的位置关系时，直线与抛物线只有一个公共点，包括相交和相切两种情况，这是本节课的一个易错点．
3．本节课要重点掌握的规律方法
(1)抛物线的焦点弦问题，见讲2；
(2)直线与抛物线的位置关系，见讲3.
4．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．
课下能力提升(十二)
[学业水平达标练]
题组1 抛物线的几何性质
1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：选D ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴＝3，即p＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．
2．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
解析：选C 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0). 又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C.
题组2 抛物线的焦点弦问题
3．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条
B．有两条
C．有无穷多条
D．不存在
解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7.又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB|min＝2p＝4，所以这样的直线有两条．故选B.
4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则kOA·kOB的值为( )
A．4 B．－4
C．p2 D．－p2
解析：选B kOA·kOB＝＝·＝，
根据焦点弦的性质x1x2＝，y1y2＝－p2，
故kOA·kOB＝＝－4.
5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________.
解析：|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案：8
6．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋＝0的距离为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，
∴x1＋x2＝4－＝，
∴中点C(x0，y0)到直线x＋＝0的距离为x0＋＝＋＝＋＝.
答案：
题组3 直线与抛物线的位置关系
7．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则( )
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
解析：选C ∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，
∴直线过点(1,0)．
又点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部．
∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．
8．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A. B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
解析：选C 准线x＝－2，Q(－2,0)，
设l：y＝k(x＋2)，
由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，即交点为(0,0)，
当k≠0时，Δ≥0，－1≤k<0或0综上，k的取值范围是[－1,1]．
9．在抛物线y2＝2x上求一点P.使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
解：法一：设P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则点P到直线l的距离d＝＝＝，
当y0＝1时，dmin＝，∴P.
法二：设与抛物线相切且与直线x－y＋3＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，
由得y2－2y＋2m＝0，
∵Δ＝(－2)2－4×2m＝0，∴m＝.
∴平行直线的方程为x－y＋＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则dmin＝＝，此时点P的坐标为.
10．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求此抛物线的方程．
解：过A、B分别作准线的垂线AA′、BD，垂足分别为A′、D，则|BF|＝|BD|，
又2|BF|＝|BC|，
∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°.
又|AF|＝3，
∴|AA′|＝3，|AC|＝6，|FC|＝3.
∴F到准线距离p＝|FC|＝.
∴y2＝3x.
[能力提升综合练]
1．设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为( )
A. B．p
C．2p D．无法确定
解析：选C 当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB即为抛物线的通径，长度等于2p.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
解析：选B 抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1等于( )
A．45° B．90°
C．60° D．120°
解析：选B 如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，
所以∠AA1F＝∠AFA1.
又∠AA1F＝∠A1FO，
所以∠AFA1＝∠A1FO，
同理∠BFB1＝∠B1FO.
于是∠AFA1＋∠BFB1
＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1，
故∠A1FB1＝90°.
4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 由得x2－5x＋4＝0，
∴x＝1或x＝4.
不妨设A(4,4)，B (1，－2)，则||＝5，||＝2，·＝(3,4)·(0，－2)＝－8.cos ∠AFB＝＝＝－.
5．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝________.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4，①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②
由①②得x2＝1，
∴B(1,2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.
答案：
6．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
解析：抛物线的焦点坐标F，准线方程为y＝－.代入－＝1得|x|＝ .要使△ABF为等边三角形，则tan ＝＝＝，解得p2＝36，p＝6.
答案：6
7．已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点，点A，B都在抛物线上，且∠AOB＝90°，证明：直线AB必过一定点．
证明：设OA所在直线的方程为y＝kx，则直线OB的方程为y＝－x，
由题意知k≠0.
由解得或
即点A的坐标为，
同样由解得点B的坐标为(2k2，－2k)．
故AB所在直线的方程为y＋2k＝(x－2k2)，
化简并整理，得y＝x－2.
不论实数k取任何不等于0的实数，
当x＝2时，恒有y＝0.
故直线过定点P(2,0)．
8．如图，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1>0)和E2：y2＝2p2x(p2>0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．
(1)证明：A1B1∥A2B2；
(2)过原点O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．
解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，
则由?A1，
由?A2，
同理可得B1，B2，
所以＝
＝2p1，
＝
＝2p2，
故＝，
所以A1B1∥A2B2.
(2)由(1)知A1B1∥A2B2，
同理可得B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2，
所以△A1B1C1∽△A2B2C2，
因此＝2，
又由(1)中的＝知＝，
故＝.
课件25张PPT。谢谢！课下能力提升(十二)
[学业水平达标练]
题组1 抛物线的几何性质
1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：选D ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴＝3，即p＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．
2．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
解析：选C 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0). 又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C.
题组2 抛物线的焦点弦问题
3．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条
B．有两条
C．有无穷多条
D．不存在
解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7.又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB|min＝2p＝4，所以这样的直线有两条．故选B.
4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则kOA·kOB的值为( )
A．4 B．－4
C．p2 D．－p2
解析：选B kOA·kOB＝＝·＝，
根据焦点弦的性质x1x2＝，y1y2＝－p2，
故kOA·kOB＝＝－4.
5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________.
解析：|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案：8
6．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋＝0的距离为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，
∴x1＋x2＝4－＝，
∴中点C(x0，y0)到直线x＋＝0的距离为x0＋＝＋＝＋＝.
答案：
题组3 直线与抛物线的位置关系
7．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则( )
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
解析：选C ∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，
∴直线过点(1,0)．
又点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部．
∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．
8．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A. B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
解析：选C 准线x＝－2，Q(－2,0)，
设l：y＝k(x＋2)，
由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，即交点为(0,0)，
当k≠0时，Δ≥0，－1≤k<0或0综上，k的取值范围是[－1,1]．
9．在抛物线y2＝2x上求一点P.使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
解：法一：设P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则点P到直线l的距离d＝＝＝，
当y0＝1时，dmin＝，∴P.
法二：设与抛物线相切且与直线x－y＋3＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，
由得y2－2y＋2m＝0，
∵Δ＝(－2)2－4×2m＝0，∴m＝.
∴平行直线的方程为x－y＋＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则dmin＝＝，此时点P的坐标为.
10．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求此抛物线的方程．
解：过A、B分别作准线的垂线AA′、BD，垂足分别为A′、D，则|BF|＝|BD|，
又2|BF|＝|BC|，
∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°.
又|AF|＝3，
∴|AA′|＝3，|AC|＝6，|FC|＝3.
∴F到准线距离p＝|FC|＝.
∴y2＝3x.
[能力提升综合练]
1．设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为( )
A. B．p
C．2p D．无法确定
解析：选C 当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB即为抛物线的通径，长度等于2p.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
解析：选B 抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1等于( )
A．45° B．90°
C．60° D．120°
解析：选B 如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，
所以∠AA1F＝∠AFA1.
又∠AA1F＝∠A1FO，
所以∠AFA1＝∠A1FO，
同理∠BFB1＝∠B1FO.
于是∠AFA1＋∠BFB1
＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1，
故∠A1FB1＝90°.
4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 由得x2－5x＋4＝0，
∴x＝1或x＝4.
不妨设A(4,4)，B (1，－2)，则||＝5，||＝2，·＝(3,4)·(0，－2)＝－8.cos ∠AFB＝＝＝－.
5．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝________.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4，①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②
由①②得x2＝1，
∴B(1,2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.
答案：
6．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
解析：抛物线的焦点坐标F，准线方程为y＝－.代入－＝1得|x|＝ .要使△ABF为等边三角形，则tan ＝＝＝，解得p2＝36，p＝6.
答案：6
7．已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点，点A，B都在抛物线上，且∠AOB＝90°，证明：直线AB必过一定点．
证明：设OA所在直线的方程为y＝kx，则直线OB的方程为y＝－x，
由题意知k≠0.
由解得或
即点A的坐标为，
同样由解得点B的坐标为(2k2，－2k)．
故AB所在直线的方程为y＋2k＝(x－2k2)，
化简并整理，得y＝x－2.
不论实数k取任何不等于0的实数，
当x＝2时，恒有y＝0.
故直线过定点P(2,0)．
8．如图，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1>0)和E2：y2＝2p2x(p2>0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．
(1)证明：A1B1∥A2B2；
(2)过原点O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．
解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，
则由?A1，
由?A2，
同理可得B1，B2，
所以＝＝2p1，
＝＝2p2，
故＝，
所以A1B1∥A2B2.
(2)由(1)知A1B1∥A2B2，
同理可得B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2，
所以△A1B1C1∽△A2B2C2，
因此＝2，
又由(1)中的＝知＝，
故＝.
