数学选修1－1
章末小结与测评
考点一
圆锥曲线定义的应用
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略，如：
(1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．
(2)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离与到准线的距离进行转化，结合几何图形，利用几何意义去解决．总之，圆锥曲线的定义在解题中有重要作用，要注意灵活运用．
[典例1] (1)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
(2)若F1，F2是双曲线－＝1的左、右焦点，点M在双曲线上，且满足|MF1|＝5|MF2|，则△MF1F2的面积等于________．
解析：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图，则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4.
又离心率e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝8，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由已知，得a2＝16，b2＝9，c2＝25，所以a＝4，c＝5.
由于点M在双曲线上，且|MF1|＝5|MF2|，
则M在右支上，
根据双曲线定义有|MF1|－|MF2|＝2a＝8，
又|MF1|＝5|MF2|，所以|MF1|＝10，|MF2|＝2，
而|F1F2|＝2c＝10，
则△MF1F2为等腰三角形，取MF2中点为N，
则F1N⊥MF2，且|F1N|＝＝3，
从而S△MF1F2＝×2×3＝3.
答案：(1)＋＝1 (2)3
[对点训练]
1．抛物线y2＝2px(p＞0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则( )
A．x1，x2，x3成等差数列
B．y1，y2，y3成等差数列
C．x1，x3，x2成等差数列
D．y1，y3，y2成等差数列
解析：选A 如图，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义得，
|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.
∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，
∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.
又∵|AA′|＝x1＋，|BB′|＝x2＋，|CC′|＝x3＋，
∴2＝x1＋＋x3＋?2x2＝x1＋x3，
∴选A.
2．若点M(2,1)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆上的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．
解析：设点B为椭圆的左焦点，则B(－3,0)，点M(2,1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，
所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，
而a＝4，|BM|＝＝，
所以(|AM|＋|AC|)min＝8－.
答案：8－
考点二
圆锥曲线的性质
1.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等．
2．求离心率的值或取值范围的主要方法有：
(1)定义法：利用a，b，c之间的关系以及e＝，知道a，b，c中任意两个可求e.
(2)方程法：建立a与c的齐次关系式，可求离心率e.
(3)几何法：求与焦点三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系．通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
[典例2] 已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )
A．x＝±y B．y＝±x
C．x＝±y D．y＝±x
解析：选D 由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，
∴椭圆焦点(±，0)，
双曲线焦点(±，0)，
∴3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，即|m|＝2|n|.
又双曲线渐近线为y＝±·x，
将|m|＝2|n|代入上式，得y＝±x.
[典例3] 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝，求椭圆离心率e的范围．
解：△F1PF2中，∠F1PF2＝，由椭圆定义及余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，
即4c2＝4a2－3|PF1|·|PF2|.
故4a2－4c2＝3|PF1||PF2|≤32＝3a2，由此可得离心率e∈.
[对点训练]
3．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )
A．2 B. C. D.
解析：选C 双曲线－＝1的两条渐近线方程为y＝±x，依题意有·＝－1，故＝1，
所以＝1，即e2＝2，所以双曲线的离心率e＝.
4．椭圆＋＝1(a为定值，且a＞)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．
解析：设椭圆的另一个焦点为F′，则△FAB的周长|FA|＋|AB|＋|FB|≤|FA|＋|F′A|＋|FB|＋|F′B|＝4a.所以4a＝12，a＝3，e＝＝.
答案：
5．如图，已知椭圆C1的中心为原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.
(1)设e＝，求|BC|与|AD|的比值；
(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
解：(1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：＋＝1，C2：＋＝1，其中a＞b＞0.
设直线l：x＝t(|t|＜a)，分别与C1，C2的方程联立，求得A，B.
当e＝时，b＝a，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知|BC|∶|AD|＝＝＝.
(2)t＝0时的l不符合题意．t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，
即＝，
解得t＝－＝－·a.
因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以＜1，解得＜e＜1.
所以当0＜e≤时，不存在直线l，使得BO∥AN；当＜e＜1时，存在直线l，使得BO∥AN.
考点三
直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的热点，内容涉及直线与圆锥曲线的公共点的个数、弦长、焦点弦、中点弦、取值范围、最值等问题，题型主要以解答题的形式出现，这类问题综合性较强，注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识相综合，突出考查函数与方程、数形结合、化归、分类讨论等数学思想方法的应用，要求学生具有较强的分析问题、解决问题的能力及计算能力．
2．解题时要注意掌握一些基本的解题规律和技巧，如在研究直线与圆锥曲线的公共点个数问题时，不要仅由判别式Δ来进行判断，还要注意二次项系数是否为0；涉及弦长问题时，利用弦长公式及根与系数的关系求解，而对于焦点弦问题，则结合圆锥曲线的定义求解；解决有关中点弦问题时常常运用“点差法”使运算过程得以简化．
[典例4] 已知椭圆G：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为(2，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
解：(1)由已知得，c＝2，＝.解得a＝2.
又b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，
由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1＜x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0＝＝－，
y0＝x0＋m＝，
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.
所以PE的斜率k＝＝－1，
解得m＝2，此时方程①为4x2＋12x＝0.
解得x1＝－3，x2＝0.
所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝3.
此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，
所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.
[对点训练]
6．直线y＝kx与双曲线x2－y2＝1没有公共点，则k的取值范围是________．
解析：数形结合得k≥1或k≤－1.
答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)
7．已知直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax恰有一个公共点，求实数a的值．
解：联立方程
①当a＝0时，此方程组恰有一组解
②当a≠0时，消去x，得y2－y－1＝0.
(ⅰ)若＝0，即a＝－1，
方程变为一元一次方程－y－1＝0.
方程组恰有一组解
(ⅱ)若≠0，即a≠－1，
令Δ＝0，得1＋＝0，可解得a＝－，
这时直线与曲线相切，只有一个公共点．
综上所述，当a＝0，－1，－时，直线与曲线y2＝ax只有一个公共点.
考点四
圆锥曲线中的定点、定值和最值问题
1.圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，解决此类问题的主要方法是通过研究直线与曲线的位置关系，把所给问题进行化简，通过计算获得答案；或是从特殊位置出发，确定定值，然后给出一般情况的证明．
2．圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化、代换等途径来解决．
[典例5] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．
解：(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，
故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．
又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，
所以点P2在椭圆C上．
因此解得
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.
如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为，.
则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．
从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．
将y＝kx＋m代入＋y2＝1得
(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
而k1＋k2＝＋
＝＋
＝.
由题设k1＋k2＝－1，
故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.
解得k＝－.
当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以l过定点(2，－1)．
[典例6] 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，椭圆上两点A，B坐标分别为A(a,0)，B(0，b)，若△ABF2的面积为，∠BF2A＝120°.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于M，N两点，证明：点O到直线MN的距离为定值．
解：(1)由题意易知a＝2c，b＝c，
S△ABF2＝×(2c－c)×c＝c2＝，
所以c＝1，a＝2，b＝，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当直线MN的斜率不存在时，MN⊥x轴，△MNO为等腰直角三角形，
所以|y1|＝|x1|，
又＋＝1，
解得|x1|＝＝，
即O到直线MN的距离d＝.
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m，与椭圆＋＝1联立消去y得
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
所以x1＋x2＝－，
x1x2＝，
因为OM⊥ON，所以x1x2＋y1y2＝0，
所以x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，
即(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，
所以(k2＋1)－＋m2＝0，
整理得7m2＝12(k2＋1)．
所以O到直线MN的距离d＝
＝＝.
综上，点O到直线MN的距离为定值．
[对点训练]
8．已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2＝－4y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，)在该椭圆上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，当△ABC面积为最大值时，求直线l的方程．
解：(1)由已知抛物线的焦点为(0，－)，故设椭圆方程为＋＝1.
将点A(1，)代入方程，得＋＝1，
整理得a4－5a2＋4＝0，
解得a2＝4或a2＝1(舍去)，
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)设直线BC的方程为y＝x＋m，
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
代入椭圆方程并化简，得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)＞0，
可得m2＜8.(*)
又x1＋x2＝－m，x1x2＝，
故|BC|＝|x1－x2|＝.
又点A到BC的距离为d＝.
故S△ABC＝|BC|·d＝≤·＝，
当且仅当2m2＝16－2m2，
即m＝±2时取等号(满足(*)式)，S取得最大值，
此时直线l的方程为y＝x±2.
考点五
解析几何与平面向量的交汇问题
在解决平面向量与解析几何的综合问题时，应注意以下两点：
一是注意在题目中，用向量表达式表述的题目条件的转化与翻译，能准确地将一些向量表达式表示的关系，在几何图形中反映出来．
二是善于用向量的方法和向量的运算解决几何问题，例如：证明直线的平行与垂直问题时，可以通过向量的共线和数量积运算解决，研究角的大小、范围问题时，可以通过数量积的坐标运算来实现等．
[典例7] 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点M(－1,0)的直线l与椭圆交于P，Q两点．
(1)若直线l的斜率为1，且＝－，求椭圆的标准方程；
(2)若(1)中椭圆的右顶点为A，直线l的倾斜角为α，问α为何值时，·取得最大值，并求出这个最大值．
解：(1)由e＝，得＝，
即a2＝4b2，
故椭圆方程为x2＋4y2＝4b2，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由＝－，得y1＝－y2，
由消去x，得5y2－2y＋1－4b2＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝，
由此得b2＝1，a2＝4，故椭圆方程为＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程，得
x2＋4k2(x＋1)2＝4，
即(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0，
则
所以·＝(x1－2，y1)·(x2－2，y2)
＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋(k2－2)(x1＋x2)＋4＋k2
＝＝＜.
当直线l的斜率不存在，
即α＝90°时，·＝，
因此当α＝90°时，·取得最大值，最大值为.
[对点训练]
9．设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝ .
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．
由＝ ，得x0＝x，y0＝y.
因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)证明：由题意知F(－1,0)．
设Q(－3，t)，P(m，n)，
则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，
·＝3＋3m－tn，
＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．
由·＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，
故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，
即⊥.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，
所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 阶段质量检测（二）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知一动圆P与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，则动圆的圆心P的轨迹是( )
A．双曲线的一支 B．椭圆
C．抛物线 D．圆
解析：选A 由题意，知圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，则圆C与圆O相离，设动圆P的半径为R.∵圆P与圆O外切而与圆C内切，∴R>1, 且|PO|＝R＋1，|PC|＝R－1.又|OC|＝3，∴|PO|－|PC|＝2<|OC|，即点P在以O，C为焦点的双曲线的右支上．
2．若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1,2)
解析：选C 由题意得双曲线的离心率e＝.即e2＝＝1＋.∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜.
3．抛物线y2＝8x上一点P到焦点的距离为4，则P到坐标原点的距离为( )
A．5 B．2
C．4 D.
解析：选B 抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，由P到焦点的距离为4知，P到准线的距离为4，故P的横坐标xP＝2，y＝16，|PO|＝＝2.
4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：选B 由题可知抛物线的焦点坐标为， 于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y＝2，令x＝0，可得点A的坐标为，所以S△OAF＝··＝4，得a＝±8，故抛物线的方程为y2＝±8x.
5．设P是双曲线－＝1(a＞0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝( )
A．1或5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 双曲线－＝1的一条渐近线方程为3x－2y＝0，故a＝2.又P是双曲线上一点，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，则|PF2|＝7.
6．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于( )
A.或 B.或2
C.或2 D.或
解析：选A 设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k.若曲线C为椭圆，则2a＝6k,2c＝3k，∴e＝；若曲线C为双曲线，则2a＝2k,2c＝3k，∴e＝.
7．我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为( )
A.，1 B.，1
C．5,3 D．5,4
解析：选A ∵|OF2|＝＝，|OF0|＝c＝|OF2|＝，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋＝，得a＝.
8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
解析：选D 不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，)，所以＝，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2－＝1.故选 D.
9．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选D 因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b，y2＝b2，y＝±b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆方程为＋＝1.
10．已知||＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，＝＋，则动点P的轨迹方程是( )
A.＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
解析：选A 设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝(0，y0)＋(x0,0)，即x＝x0，y＝y0，所以x0＝x，y0＝3y.因为||＝3，所以x＋y＝9，即2＋(3y)2＝9，化简整理得动点P的轨迹方程是＋y2＝1.
11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是( )
A．y2＝x B．y2＝x
C．x2＝－y D．x2＝－y
解析：选C 如果设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p×40，即2p＝，所以所求抛物线方程为y2＝x.
虽然选项中没有y2＝x，但C中的2p＝符合题意．
12．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A. B．2
C．2 D．3
解析：选C 法一：由题意，得F(1,0)，
则直线FM的方程是y＝(x－1)．
由得x＝或x＝3.
由M在x轴的上方，得M(3,2)，
由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4.
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，
因此△MNF是边长为4的等边三角形，
所以点M到直线NF的距离为4×＝2.
法二：依题意，得直线FM的倾斜角为60°，
则|MN|＝|MF|＝＝4.
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，
因此△MNF是边长为4的等边三角形，
所以点M到直线NF的距离为4×＝2.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．
答案：＋＝1
14．设F1，F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为________．
解析：由题意知|F1F2|＝2＝4，设P点坐标为(x，y)．
由得
则S△PF1F2＝|F1F2|·|y|＝×4×＝.
答案：
15．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________.
解析：设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|AF1|＝|BF|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝.
答案：
16．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知
|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，
由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
联立消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
所以y1＋y2＝，
所以＝p，
即＝，故＝，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．
解：①焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，且c＝.
设双曲线为－＝1(m＞0，n＞0)，m＝a－4.
因为＝，所以＝，
解得a＝7，m＝3.
因为椭圆和双曲线的半焦距为，
所以b2＝36，n2＝4.
所以椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1.
②焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
18．(本小题12分)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
解：(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0
可简化为x2－5x＋4＝0.
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4,4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)
＝(4λ＋1,4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
19．(本小题12分)如图所示，F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，
已知椭圆C上的点到F1，F2两点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积．
解：(1)由题设知，2a＝4，即a＝2，
将点代入椭圆方程得＋＝1，解得b2＝3，
故椭圆方程为＋＝1.
(2)由(1)知A(－2,0)，B(0，)，
所以kPQ＝kAB＝，所以PQ所在直线方程为
y＝(x－1)，
由得8y2＋4y－9＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝－，
y1·y2＝－，
所以|y1－y2|＝＝＝，所以S△F1PQ＝|F1F2|·|y1－y2|＝×2×＝.
20．(本小题12分)已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝1，F是焦点，过点A(－2,0)的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，直线PF，QF分别交抛物线于点M，N.
(1)求抛物线的方程及y1y2的值；
(2)证明：若直线PQ，MN的斜率都存在，记直线PQ，MN的斜率分别为k1，k2，证明： 为定值．
解：(1)依题意，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
由准线x＝＝1，得p＝2，所以抛物线方程为y2＝－4x.
由题意，设直线PQ的方程为x＝my－2，代入y2＝－4x.
消去x，整理得y2＋4my－8＝0，从而y1y2＝－8.
(2)设M(x3，y3)，N(x4, y4)，
则＝·＝·＝.
设直线PM的方程为x＝ny－1，代入y2＝－4x，消去x，整理得y2＋4ny－4＝0，所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4.
故＝＝＝＝＝，为定值．
21．(本小题12分)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线y＝kx＋m(km≠0)与该双曲线C交于不同的两点C，D，且C，D两点都在以点A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．
解：(1)－y2＝1.
(2)消去y得，
(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，
由已知，1－3k2≠0且Δ＝12(m2＋1－3k2)＞0?m2＋1＞3k2.①
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点P(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，
因为AP⊥CD，
所以kAP＝＝＝－，
整理得3k2＝4m＋1.②
联立①②得m2－4m＞0，
所以m＜0或m＞4，又3k2＝4m＋1＞0，
所以m＞－，因此－＜m＜0或m＞4.
故m的取值范围为∪(4，＋∞)．
22．(本小题12分)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点．C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0,1)，
因为F 也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①
又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为：x2＝4y，
由此可知C1与C2的公共点的坐标为，
所以＋＝1.②
联立①②得a2＝9，b2＝8，
故C2的方程为＋＝1.
(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
因与同向，且|AC|＝|BD|，
所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，
即x3－x4＝x1－x2，
于是(x3＋x4)2－4x3x4＝(x1＋x2)2－4x1x2.③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1，
由得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0，
而x3，x4是这个方程的两根，
所以x3＋x4＝－，x3x4＝－，⑤
将④、⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋.
即16(k2＋1)＝，
所以(9＋8k2)2＝16×9，
解得k＝±，
即直线l的斜率为±.
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一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知一动圆P与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，则动圆的圆心P的轨迹是( )
A．双曲线的一支 B．椭圆
C．抛物线 D．圆
解析：选A 由题意，知圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，则圆C与圆O相离，设动圆P的半径为R.∵圆P与圆O外切而与圆C内切，∴R>1, 且|PO|＝R＋1，|PC|＝R－1.又|OC|＝3，∴|PO|－|PC|＝2<|OC|，即点P在以O，C为焦点的双曲线的右支上．
2．若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1,2)
解析：选C 由题意得双曲线的离心率e＝.即e2＝＝1＋.∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜.
3．抛物线y2＝8x上一点P到焦点的距离为4，则P到坐标原点的距离为( )
A．5 B．2
C．4 D.
解析：选B 抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，由P到焦点的距离为4知，P到准线的距离为4，故P的横坐标xP＝2，y＝16，|PO|＝＝2.
4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：选B 由题可知抛物线的焦点坐标为， 于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y＝2，令x＝0，可得点A的坐标为，所以S△OAF＝··＝4，得a＝±8，故抛物线的方程为y2＝±8x.
5．设P是双曲线－＝1(a＞0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝( )
A．1或5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 双曲线－＝1的一条渐近线方程为3x－2y＝0，故a＝2.又P是双曲线上一点，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，则|PF2|＝7.
6．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于( )
A.或 B.或2
C.或2 D.或
解析：选A 设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k.若曲线C为椭圆，则2a＝6k,2c＝3k，∴e＝；若曲线C为双曲线，则2a＝2k,2c＝3k，∴e＝.
7．我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为( )
A.，1 B.，1
C．5,3 D．5,4
解析：选A ∵|OF2|＝＝，|OF0|＝c＝|OF2|＝，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋＝，得a＝.
8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
解析：选D 不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，)，所以＝，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2－＝1.故选 D.
9．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选D 因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b，y2＝b2，y＝±b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆方程为＋＝1.
10．已知||＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，＝＋，则动点P的轨迹方程是( )
A.＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
解析：选A 设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝(0，y0)＋(x0,0)，即x＝x0，y＝y0，所以x0＝x，y0＝3y.因为||＝3，所以x＋y＝9，即2＋(3y)2＝9，化简整理得动点P的轨迹方程是＋y2＝1.
11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是( )
A．y2＝x B．y2＝x
C．x2＝－y D．x2＝－y
解析：选C 如果设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p×40，即2p＝，所以所求抛物线方程为y2＝x.
虽然选项中没有y2＝x，但C中的2p＝符合题意．
12．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A. B．2
C．2 D．3
解析：选C 法一：由题意，得F(1,0)，
则直线FM的方程是y＝(x－1)．
由得x＝或x＝3.
由M在x轴的上方，得M(3,2)，
由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4.
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，
因此△MNF是边长为4的等边三角形，
所以点M到直线NF的距离为4×＝2.
法二：依题意，得直线FM的倾斜角为60°，
则|MN|＝|MF|＝＝4.
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，
因此△MNF是边长为4的等边三角形，
所以点M到直线NF的距离为4×＝2.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．
答案：＋＝1
14．设F1，F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为________．
解析：由题意知|F1F2|＝2＝4，设P点坐标为(x，y)．
由得
则S△PF1F2＝|F1F2|·|y|＝×4×＝.
答案：
15．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________.
解析：设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|AF1|＝|BF|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝.
答案：
16．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知
|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，
由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
联立消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
所以y1＋y2＝，
所以＝p，
即＝，故＝，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．
解：①焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，且c＝.
设双曲线为－＝1(m＞0，n＞0)，m＝a－4.
因为＝，所以＝，
解得a＝7，m＝3.
因为椭圆和双曲线的半焦距为，
所以b2＝36，n2＝4.
所以椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1.
②焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
18．(本小题12分)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
解：(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0
可简化为x2－5x＋4＝0.
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4,4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)
＝(4λ＋1,4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
19．(本小题12分)如图所示，F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，
已知椭圆C上的点到F1，F2两点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积．
解：(1)由题设知，2a＝4，即a＝2，
将点代入椭圆方程得＋＝1，解得b2＝3，
故椭圆方程为＋＝1.
(2)由(1)知A(－2,0)，B(0，)，
所以kPQ＝kAB＝，所以PQ所在直线方程为
y＝(x－1)，
由得8y2＋4y－9＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝－，
y1·y2＝－，
所以|y1－y2|＝＝＝，所以S△F1PQ＝|F1F2|·|y1－y2|＝×2×＝.
20．(本小题12分)已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝1，F是焦点，过点A(－2,0)的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，直线PF，QF分别交抛物线于点M，N.
(1)求抛物线的方程及y1y2的值；
(2)证明：若直线PQ，MN的斜率都存在，记直线PQ，MN的斜率分别为k1，k2，证明： 为定值．
解：(1)依题意，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
由准线x＝＝1，得p＝2，所以抛物线方程为y2＝－4x.
由题意，设直线PQ的方程为x＝my－2，代入y2＝－4x.
消去x，整理得y2＋4my－8＝0，从而y1y2＝－8.
(2)设M(x3，y3)，N(x4, y4)，
则＝·＝·＝.
设直线PM的方程为x＝ny－1，代入y2＝－4x，消去x，整理得y2＋4ny－4＝0，所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4.
故＝＝＝＝＝，为定值．
21．(本小题12分)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线y＝kx＋m(km≠0)与该双曲线C交于不同的两点C，D，且C，D两点都在以点A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．
解：(1)－y2＝1.
(2)消去y得，
(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，
由已知，1－3k2≠0且Δ＝12(m2＋1－3k2)＞0?m2＋1＞3k2.①
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点P(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，
因为AP⊥CD，
所以kAP＝＝＝－，
整理得3k2＝4m＋1.②
联立①②得m2－4m＞0，
所以m＜0或m＞4，又3k2＝4m＋1＞0，
所以m＞－，因此－＜m＜0或m＞4.
故m的取值范围为∪(4，＋∞)．
22．(本小题12分)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点．C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0,1)，
因为F 也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①
又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为：x2＝4y，
由此可知C1与C2的公共点的坐标为，
所以＋＝1.②
联立①②得a2＝9，b2＝8，
故C2的方程为＋＝1.
(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
因与同向，且|AC|＝|BD|，
所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，
即x3－x4＝x1－x2，
于是(x3＋x4)2－4x3x4＝(x1＋x2)2－4x1x2.③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1，
由得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0，
而x3，x4是这个方程的两根，
所以x3＋x4＝－，x3x4＝－，⑤
将④、⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋.
即16(k2＋1)＝，
所以(9＋8k2)2＝16×9，
解得k＝±，
即直线l的斜率为±.
