第1课时 变化率问题、导数的概念
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P72～P76的内容，回答下列问题．
(1)气球膨胀率
气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3，如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)＝.
①当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是多少？
提示：≈0.62(dm/L)．
②当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球的平均膨胀率是多少？
提示：≈0.16(dm/L)．
③当空气容量从V1 增加到V2时，气球的平均膨胀率又是多少？
提示：.
(2)高台跳水
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
①在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度是多少？
提示：＝＝4.05(m/s)．
②在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度是多少？
提示：＝＝－8.2(m/s)．
③在t1≤t≤t2这段时间里， 运动员的平均速度 又是多少？
提示：＝.
2．归纳总结，核心必记
(1)函数的平均变化率
对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．
习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为.
(2)瞬时速度
①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
②若物体运动的路程与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．
(3)导数的定义
一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：
＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .
[问题思考]
(1)设A(x1，f(x1))，B (x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，则函数y＝f(x)的平均变化率＝＝表示什么？
提示：表示割线AB的斜率．
(2)Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？
提示：Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为0，平均变化率可正、可负、可为零．
(3)在高台跳水中，如何求在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度？当Δt趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？
提示：＝.当Δt趋近于0时，平均速度即为t＝1时的瞬时速度．
(4)平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？
提示：①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；
②联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．
[课前反思]
(1)平均变化率的定义是：
；
(2)什么是函数的瞬时变化率？它与平均变化率有什么区别和联系？
；
(3)导数的定义是什么？如何表示？
；
(4)平均速度与瞬时速度的定义是什么？它们有什么区别和联系？
.
知识点1
求函数的平均变化率
[思考1] 平均变化率可用式子表示，其中Δy、Δx的意义是什么？
提示：Δy、Δx分别表示函数值和自变量的变化量．
[思考2] 如何求函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率？
提示：平均变化率为.
?讲一讲
1．已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
[尝试解答] (1)因为f(x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为
＝0.9.
(2)f(x0＋Δx)－f(x0)
＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)
＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5
＝6x0Δx＋3(Δx)2.
函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝6x0＋3Δx.
—————————————————————
(1)求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．
第三步，求平均变化率＝.
(2)求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用的形式．
?练一练
1．已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝.
因为<，
所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快.
知识点2
求瞬时速度
某物体按s＝f(t)的规律运动．
[思考1] 该物体在[t0，t0＋Δt]内的平均速度是什么？在t0的瞬时速度是多少？
提示：＝＝.v0＝ .
[思考2] 如何求(当Δx无限趋近于0时)的极限？
名师指津：(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．
(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．
?讲一讲
2．若一物体的运动方程为s＝(路程单位：m，时间单位：s)．求：
(1)物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度；
(2)物体在t＝1 s时的瞬时速度．
[尝试解答] (1)因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)因为Δs＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－12Δt，所以＝＝3Δt－12，则物体在t＝1 s时的瞬时速度为s′(1)＝ ＝li (3Δt－12)＝－12(m/s)．
—————————————————————————
求瞬时速度的步骤
(1)求物体运动路程与时间的关系s＝s(t)；
(2)求时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(3)求平均速度；
(4)求瞬时速度，v＝ .
?练一练
2．一质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
解：因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝4a＋aΔt，故在t＝2s时，瞬时速度为s′(2)＝ ＝4a(m/s)．
由题意知，4a＝8，所以a＝2.
知识点3
利用定义求函数在某一点处的导数
[思考] 任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f(x)＝|x|在x＝0处是否存在导数？
名师指津：不一定，f(x)＝|x|在x＝0处不存在导数．
因为＝＝＝所以当Δx→0时，的极限不存在，从而在x＝0处的导数不存在．
?讲一讲
3．利用导数的定义求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．
[尝试解答] Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，
∵＝＝3Δx＋4，
∴y′|x＝1＝ ＝ (3Δx＋4)＝4.
—————————————————————————
求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称：一差、二比、三极限．
?练一练
3．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
解：由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝ ，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，
于是f′(2)＝ ＝ (－Δx－1)＝－1.
——————[课堂归纳·感悟提升]———————————————————
1．本节课的重点是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的定义，也是本节课的难点．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)平均变化率的求法，见讲1；
(2)瞬时速度的求法，见讲2;
(3)利用定义求函数在某一点处的导数的方法，见讲3.
3．本节课的易错点是对导数的概念理解不清而导致出错，见讲3.
注意：在导数的定义中，增量Δx的形式是多样的，但不论Δx是哪种形式，Δy必须选择相对应的形式．
课下能力提升(十三)
[学业水平达标练]
题组1 求函数的平均变化率
1．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．－2
解析：选C 根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3.
2．若函数f(x)＝－x2＋10的图象上一点及邻近一点，则＝( )
A．3 B．－3
C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3
解析：选D ∵Δy＝f－f
＝－3Δx－(Δx)2，
∴＝＝－3－Δx.
3．求函数y＝f(x)＝在区间[1,1＋Δx]内的平均变化率．
解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1
＝＝
＝，
∴＝－ .
题组2 求瞬时速度
4．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t3－2表示，则此物体在t＝1 s时的瞬时速度(单位：m/s)为( )
A．1 B．3 C．－1 D．0
答案：B
5．求第4题中的物体在t0时的瞬时速度．
解：物体在t0时的平均速度为＝
＝＝
＝3t＋3t0Δt＋(Δt)2.
因为li[3t＋3t0Δt＋(Δt)2]＝3t，故此物体在t＝t0时的瞬时速度为3t m/s.
6．若第4题中的物体在t0时刻的瞬时速度为27 m/s，求t0的值．
解：由＝＝
＝＝3t＋3t0Δt＋(Δt)2，
因为li[3t＋3t0Δt＋(Δt)2]＝3t.
所以由3t＝27，解得t0＝±3，
因为t0>0，故t0＝3，
所以物体在3 s时的瞬时速度为27 m/s.
题组3 利用定义求函数在某一点处的导数
7．设函数f(x)可导，则 等于( )
A．f′(1) B．3f′(1)
C.f′(1) D．f′(3)
解析：选A ＝f′(1)．
8．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
解析：选C ∵f′(1)＝
＝ ＝a，∴a＝3.
9．求函数f(x)＝在x＝1处的导数f′(1)．
解：由导数的定义知，函数在x＝1处的导数f′(1)＝li ，而＝＝，又 ＝，所以f′(1)＝.
[能力提升综合练]
1．若f(x)在x＝x0处存在导数，则 ( )
A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．以上答案都不对
解析：选B 由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关．
2．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A．k1>k2 B．k2C．k1＝k2 D．不确定
解析：选D k1＝
＝＝2x0＋Δx；
k2＝＝＝2x0－Δx.
因为Δx可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定．
3．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )
A．两机关节能效果一样好
B．A机关比B机关节能效果好
C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
解析：选B 由题图可知，A机关所对应的图象比较陡峭，B机关所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关比B机关节能效果好．
4．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是( )
A．7 m/s B．6 m/s
C．5 m/s D．8 m/s
解析：选C ∵＝
＝5＋Δt，
∴ ＝ (5＋Δt)＝5 (m/s)．
5.
如图是函数y＝f(x)的图象，则
(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
解析：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝.
(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝
所以，函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.
答案：(1) (2)
6．函数y＝－在点x＝4处的导数是________．
解析：∵Δy＝－＋
＝－＝
＝.
∴＝.
∴ ＝
＝＝.
∴y′|x＝4＝.
答案：
7．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时平均速度．
解：(1)初速度v0＝
＝ ＝ (3－Δt)＝3(m/s)．
即物体的初速度为3 m/s.
(2)v＝
＝
＝ ＝ (－Δt－1)＝－1(m/s)．
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．
(3)＝＝＝1(m/s)．
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.
8．若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围．
解：因为函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为：
＝
＝
＝＝－3－Δx，
所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又因为Δx>0，
即Δx的取值范围是(0，＋∞)．
课件31张PPT。谢谢！课下能力提升(十三)
[学业水平达标练]
题组1 求函数的平均变化率
1．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．－2
解析：选C 根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3.
2．若函数f(x)＝－x2＋10的图象上一点及邻近一点，则＝( )
A．3 B．－3
C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3
解析：选D ∵Δy＝f－f
＝－3Δx－(Δx)2，
∴＝＝－3－Δx.
3．求函数y＝f(x)＝在区间[1,1＋Δx]内的平均变化率．
解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1
＝＝
＝，
∴＝－ .
题组2 求瞬时速度
4．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t3－2表示，则此物体在t＝1 s时的瞬时速度(单位：m/s)为( )
A．1 B．3 C．－1 D．0
答案：B
5．求第4题中的物体在t0时的瞬时速度．
解：物体在t0时的平均速度为＝
＝＝
＝3t＋3t0Δt＋(Δt)2.
因为li[3t＋3t0Δt＋(Δt)2]＝3t，故此物体在t＝t0时的瞬时速度为3t m/s.
6．若第4题中的物体在t0时刻的瞬时速度为27 m/s，求t0的值．
解：由＝＝
＝＝3t＋3t0Δt＋(Δt)2，
因为li[3t＋3t0Δt＋(Δt)2]＝3t.
所以由3t＝27，解得t0＝±3，
因为t0>0，故t0＝3，
所以物体在3 s时的瞬时速度为27 m/s.
题组3 利用定义求函数在某一点处的导数
7．设函数f(x)可导，则 等于( )
A．f′(1) B．3f′(1)
C.f′(1) D．f′(3)
解析：选A ＝f′(1)．
8．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
解析：选C ∵f′(1)＝
＝ ＝a，∴a＝3.
9．求函数f(x)＝在x＝1处的导数f′(1)．
解：由导数的定义知，函数在x＝1处的导数f′(1)＝li ，而＝＝，又 ＝，所以f′(1)＝.
[能力提升综合练]
1．若f(x)在x＝x0处存在导数，则 ( )
A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．以上答案都不对
解析：选B 由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关．
2．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A．k1>k2 B．k2C．k1＝k2 D．不确定
解析：选D k1＝
＝＝2x0＋Δx；
k2＝＝＝2x0－Δx.
因为Δx可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定．
3．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )
A．两机关节能效果一样好
B．A机关比B机关节能效果好
C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
解析：选B 由题图可知，A机关所对应的图象比较陡峭，B机关所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关比B机关节能效果好．
4．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是( )
A．7 m/s B．6 m/s
C．5 m/s D．8 m/s
解析：选C ∵＝
＝5＋Δt，
∴ ＝ (5＋Δt)＝5 (m/s)．
5.
如图是函数y＝f(x)的图象，则
(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
解析：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝.
(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝
所以，函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.
答案：(1) (2)
6．函数y＝－在点x＝4处的导数是________．
解析：∵Δy＝－＋
＝－＝
＝.
∴＝.
∴ ＝
＝＝.
∴y′|x＝4＝.
答案：
7．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时平均速度．
解：(1)初速度v0＝
＝ ＝ (3－Δt)＝3(m/s)．
即物体的初速度为3 m/s.
(2)v＝
＝
＝ ＝ (－Δt－1)＝－1(m/s)．
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．
(3)＝＝＝1(m/s)．
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.
8．若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围．
解：因为函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为：
＝
＝
＝＝－3－Δx，
所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又因为Δx>0，
即Δx的取值范围是(0，＋∞)．
