高三数学苏教版二轮复习椭圆对称性与直角三角形微专题

专题：直线与椭圆习题课
一、椭圆上点的对称性的应用
1. 如图，在平面直角坐标系中，点为椭圆:的左顶点，在椭圆上，若四边形为平行四边形，且=30°,则椭圆的离心率的值等于_________.







2.已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是__________.


3.已知椭圆E：的右焦点为F，离心率为，过原点O且倾斜角为的直线与椭圆E相交于A、B两点，若△AFB的周长为，则椭圆方程为 ．








4.如图所示，椭圆C：，左右焦点分别记作、，过、分别作直线、交椭圆于、，且?．
（1）当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值；
（2）求四边形面积的最大值．













二、椭圆中的直角三角形
5. 在平面直角坐标系中，设A,B,P是椭圆上的三个动点，且．动点Q在线段AB上，且，则的取值范围为 ．








6.椭圆上任意两点，，若，则乘积的最小值为 ．






7.在平面直角坐标系xoy中，椭圆C ：的离心率为，右焦点F（1,0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：相切于点M.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求|PM|·|PF|的取值范围；
（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值.





































8.已知椭圆的离心率,一条准线方程为
⑴求椭圆的方程;
⑵设为椭圆上的两个动点,为坐标原点,且.
①当直线的倾斜角为时,求的面积;
②是否存在以原点为圆心的定圆,使得该定圆始终与直线相切?若存在,请求出该定圆方程;若不存在,请说明理由.



































答案与解析
1.解析：注意到B,C两点关于y轴对称。
答案：
2. 答案:

3. 解析：由已知，椭圆方程可化为：，将代入得，
由椭圆对称性，△AFB的周长=，可得．
答案：



4.证明：（1）设，，
根据对称性，有
因为，都在椭圆C上
所以，
二式相减，
所以为定值
（2）（Ⅰ）当的倾角为时，与重合，舍
（Ⅱ）当的倾角不为时，由对称性得四边形为平行四边形
设直线的方程为
代入，得
显然，，
所以
设，所以，，
所以
当且仅当即时等号成立。
所以，
所以平行四边形面积的最大值为

5.答案．本题学生可能从特殊情况入手处理；Q点的轨迹是重点，在处理完之后还涉及到两个二次曲线上的点的距离。有相当难度。

6.答案：
7.（1）…………2分
∴c=1，a=2，∴，∴椭圆方程为…………4分
（2）设，则
PM=，………………6分
PF=…………8分 ∴PM·PF=，
∵，∴|PM|·|PF|的取值范围是（0,1）.…………10分
（3）法一：①当PM⊥x轴时，P，Q或，
由解得……………………12分
②当PM不垂直于x轴时，设，PQ方程为，即
∵PQ与圆O相切，∴，∴
∴………………13分
又，所以由得……14分
∴
==12，∴……16分
法二：设，则直线OQ：，∴，
∵OP⊥OQ，∴OP·OQ=OM·PQ
∴………12分
∴
∴，∴………………14分
∵，∴，∴，∴……………16分
8 ( 1)因为,,,
解得,所以椭圆方程为
(2)①由,解得 ,
由 得 ,
所以,所以
②假设存在满足条件的定圆,设圆的半径为,则
因为,故,
当与的斜率均存在时,不妨设直线方程为:,
由,得,所以,
同理可得 (将中的换成可得)
,,
当与的斜率有一个不存在时,可得,
故满足条件的定圆方程为:



O

P

M

Q

F

x

y