2018-2019学年江苏省宿迁市沭阳县高一（下）期中数学试卷解析版

2018-2019学年江苏省宿迁市沭阳县高一（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）计算sin13°cos17°+cos13°sin17°的值为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
2．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，C＝120°，则其面积等于（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A：B：C＝1：1：4，则a：b：c＝（　　）
A．1：1： B．2：2： C．1：1：2 D．1：1：4
4．（5分）下列命题正确的是（　　）
A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
B．四边形确定一个平面
C．经过一条直线和一个点确定一个平面
D．经过三点确定一个平面
5．（5分）函数y＝2cos2（x+）﹣1是（　　）
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
6．（5分）在△ABC中，a2＝b2+c2﹣bc，则角A为（　　）
A．30° B．150° C．120° D．60°
7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，E，F分别是BC，DC中点，则异面直线AD1与EF所成角大小为（　　）
A．450 B．300 C．600 D．900
8．（5分）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为的扇形，则圆锥的高为（　　）
A． B． C． D．5
9．（5分）记△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若．则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
10．（5分）已知△ABC内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB＝asinA，则△ABC的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
11．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，分别为BD1，B1C1上的点．若，则三棱锥M﹣HBC的体积为（　　）
A． B．2 C．1 D．
12．（5分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若，则b+c的取值范围是（　　）
A． B．[，2] C． D．（3，2]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知sinα﹣2cosα＝0，则tan2α＝　 　．
14．（5分）△ABC中，，则BC边上中线AD的长为　 　．
15．（5分）已知关于x的方程cos2x﹣2cosx＝m﹣1有实数解，则实数m的取值范围是　 　．
16．（5分）已知OA，OB，OC三条线段两两垂直，长分别是2，x，5，且O，A，B，C4个点都在同一个球面上，这个球的表面积为38π，则x的值　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．
17．（10分）已知三棱锥P﹣ABC中，AB⊥AC，AB⊥AP．若平面α分别与棱PA、PB、BC、AC相交于点E、F、G、H，且PC∥平面α，求证：
（1）AB⊥EH；
（2）FG∥面PAC．
18．（12分）在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，BC＝．
（1）求角A的大小；
（2）求cos（B﹣C）的值．
19．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，PA垂直于⊙O所在的平面ABC．
（1）证明：平面PAC⊥平面PBC；
（2）设PA＝3，，求点A到平面PBC的距离．
20．（12分）已知，若，，求sin（α﹣β）的值．
21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA＝，tan（B﹣A）＝．
（1）求tanB的值；
（2）若c＝13，求△ABC的面积．
22．（12分）某小区内有一块以O为圆心半径为20米的圆形区域．广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝120°，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．设．
（1）求AB的长（用α表示）；
（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？

2018-2019学年江苏省宿迁市沭阳县高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解答】解：sin17°cos13°+cos17°sin13°
＝sin（17°+13°）
＝sin30°
＝．
故选：B．
2．【解答】解：△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，
若a＝2，b＝3，C＝120°，
则S△ABC＝ab×sin120°＝×2×3×＝，
故选：C．
3．【解答】解：△ABC中，A：B：C＝1：1：4，
所以三个内角分别为30°，30°，120°；
则a：b：c＝sinA：sinB：sinC
＝：：
＝1：1：．
故选：A．
4．【解答】解：对于A，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，
如三角形所在的三边确定一个平面，∴A正确；
对于B，经过一条直线和一个点不一定能确定一个平面，
如点在直线上时，∴B错误；
对于C，经过不在同一条直线上的三点确定一个平面，∴C错误；
对于D，空间四边形不能确定一个平面，∴D错误．
故选：A．
5．【解答】解：由题意得，y＝2cos2（x+）﹣1＝cos2（x+）＝cos（2x+）＝﹣sin2x，
∴函数的最小正周期是π，且是奇函数，
故选：C．
6．【解答】解：∵在△ABC中，a2＝b2+c2﹣bc，即b2+c2﹣a2＝bc，
∴cosA＝＝，
则A＝60°，
故选：D．
7．【解答】解：取CC1的中点G，连EG，BC1，
易得EF∥BC1∥AD1，
所以异面直线AD1与EF所成角是∠FEG或其补角，
在三角形EFG中，EF＝EG＝FG，∴∠FEG＝60°．
故选：C．
8．【解答】解：扇形的弧长等于6×＝2π，
所以圆锥的底面周长为2π，底面半径为1，
∴圆锥的高为＝．
故选：A．
9．【解答】解：∵△ABC中，，
∴根据正弦定理得：sinA＝sinB＝2sinBcosB，
∵sinB＞0，
∴cosB＝．
故选：D．
10．【解答】解：△ABC中，∵bcosC+ccosB＝asinA，
∴由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB＝sin2A，
即sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sinA＝sin2A，又sinA＞0，
∴sinA＝1，A∈（0，π），
∴A＝．
∴△ABC的形状是直角三角形，
故选：C．
11．【解答】解：∵，D1C⊥平面BCC1B1，
∴H到平面BCC1B1的距离h＝D1C＝2，
又S△BCM＝＝3，
∴VM﹣BCH＝VH﹣BCM＝＝2．
故选：B．
12．【解答】解：∵由正弦定理可得：＝＝2，
∴b+c
＝2sinB+2sinC
＝2sinB+2sin（﹣B）
＝2sinB+2（cosB+sinB）
＝3sinB+cosB
＝2sin（B+），
∵B，C为锐角，B+C＝，
∴B∈（，），可得：B+∈（，），
∴sin（B+）∈（，1]，
∴b+c＝2sin（B+）∈（3，2]，
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【解答】解：∵sinα﹣2cosα＝0，可得：sina＝2cosa，即tanα＝2，
∴tan2α＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
14．【解答】解：∵，
∴由余弦定理可得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA＝16+4﹣2×＝16，解得：BC＝4，
∴BD＝2，
∴在△ABC中，可得：cosB＝＝＝，
∴在△ABD中，由余弦定理可得：AD2＝AB2+BD2﹣2AB?BD?cosB＝16+4﹣2×4×2×＝6，
∴解得：AD＝．
故答案为：．
15．【解答】解：设f（x）＝cos2x﹣2cosx＝2cos2x﹣2cosx﹣1＝2（cosx﹣）2﹣，
又cosx∈[﹣1，1]，
所以﹣≤f（x）≤3，
又关于x的方程cos2x﹣2cosx＝m﹣1有实数解，
所以﹣≤m﹣1≤3，
即≤m≤4，
故答案为：[﹣]．
16．【解答】解：把三棱锥O﹣ABC补形为长方体，则长方体的对角线长为．
∴三棱锥O﹣ABC的外接球的半径为R＝．
由题意，，即x＝3．
故答案为：3．
三、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．
17．【解答】证明：（1）∵AB⊥AC，AB⊥AP．
又AC?平面PAC，AP?平面PAC，AC∩AP＝A，
∴AB⊥平面PAC，…3分
又EH?面PAC，∴AB⊥EH．…4分
（2）∵PC∥平面α，平面PAC∩平面α＝FG，
PC?平面PAC，∴PC∥FG，…7分
又PC?面PAC，FG?面PAC
∴FG∥面PAC．…10分
18．【解答】解：（1）∵AB＝2，AC＝3，BC＝．
∴由余弦定理可得：cosA＝＝＝，…2分
∵A∈（0，π），
∴A＝…5分
（2）由正弦定理：，可得sinC＝＝＝．
∵AB＜BC，
∴C＜A，即0，可得：cosC＝＝＝，…8分
∴sin2C＝2sinCcosC＝2×＝，cos2C＝2cos2C﹣1＝2×﹣1＝，…11分
∵A+B+C＝π，A＝，可得：B＝﹣C，
∴cos（B﹣C）＝cos（﹣2C）＝coscos2C+sinsin2C＝（﹣）×+×＝…14分
19．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC．………………………2分
又∵PA垂直于⊙O所在的平面ABC，BC?平面⊙O，
∴PA⊥BC………………………………………………4分
又PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC．
又BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．………………………6分
（2）解：由（1）知平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，
过A点作PC的垂线，垂足为D，显然AD⊥平面PBC，
即AD为三棱锥A﹣PBC的高…10分
在Rt△PAC中，，所以，
由AD×PC＝PA×AC，得
即点A到平面PCB的距离为，
三棱锥点A到平面PBC的距离：…12分
20．【解答】解：由，得，…2分
由，得；…4分
，得…6分
所以…9分
＝＝…12分
21．【解答】解：（1）在△ABC中，由cosA＝，得A为锐角，所以sinA＝，
所以tanA＝＝，
所以tanB＝tan[（B﹣A）+A]＝＝＝3；
（2）在三角形ABC中，由tanB＝3，
所以sinB＝，cosB＝，
由sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝，
由正弦定理＝，得b＝＝＝15，
所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×15×13×＝78．
22．【解答】解：（1）过点O作OH垂直于AB，垂足为H．
在直角三角形OHA中，OA＝20，∠OAH＝α，
所以AH＝20cosα，因此AB＝2AH＝40cosα…3分
（2）由图可知，点P处的观众离点O最远…5分
在三角形OAP中，由余弦定理可知
＝
＝
＝…9分
因为，所以当，即时，
（OP2）max＝800+1600，
又（OP2）max＝800+1600＜3600
所以（OP）max＜60…11分
所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．
故对于任意α，上述设计方案均能符合要求…12分