【华师大版八年级下册进阶培优训练】第十三讲 菱形性质与判定培优辅导（含答案）
文档属性
| 名称 | 【华师大版八年级下册进阶培优训练】第十三讲 菱形性质与判定培优辅导（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-03 11:52:55 | ||
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文档简介
第十三讲 菱形性质与判定培优辅导
知识梳理
1、菱形的定义：__________________的平行四边形叫做菱形．
2、菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：
还具有自己独特的性质
①菱形既是_____图形（两条对称轴分别是 ），也是_______对称图形；
②菱形的四条边 ______ ；
③菱形的对角线 ，并且每一条对角线平分 ；
菱形的面积S菱形=底边长×高=_________________ 。
注意：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于____________。
3、菱形的判定：
①一组邻边相等的______ 是菱形；
②四条边______的 是菱形；
③对角线 的平行四边形是菱形．
二、经典例题《菱形的性质与应用》
【例1】如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．
求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．
【变式题组】
如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．
(1)求证：△BDE≌△BCF；
(2)判断△BEF的形状，并说明理由；
(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．
《菱形的 判定与应用》
【例2】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【例3】已知如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC，交AD于M，EF⊥BC于F．
求证：四边形AEFM是菱形．
【例4】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，
PB＋PE的最小值是，求AB的值．
三、【综合提升】
【例5】、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
②当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？并说明理由．
【变式题组】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
培优升级 检测
选择题
1、若菱形的周长为24cm，一个内角为60°，则菱形较短的一条对角线为（ ）
A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm
2、过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB＝，∠DCF＝30°，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．+1
二、填空题
4、菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的周长为 ，面积为 ．
5、菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8cm，则此菱形的高等于_ _.
6、已知□ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添 ，使□ABCD成为一个菱形．
7、如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC=10，BD=24，AE⊥BC于E，则AE的长是 ．
8、如图已知菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数 ．
9、如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是 ．
7题图 8题图 9题图 10题图 11题图
10、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为 ．
11、如图将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值 ，菱形周长的最大值是 ．
12、如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 ．
13、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是 ．．
14、已如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫，从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2022cm时停下，则它停的位置是 .
12题图 13题图 14题图 15题图
15、如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…，则四边形A2B2C2D2的周长是 20 ；四边形A2017B2017C2017D2017的周长是 ．
三、解答题16、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接 CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．
17、如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，点P在BC边上以每秒1个单位长度的速度由点C向点B运动．
（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（不必写过程）．
第十三讲 菱形性质与判定培优辅导答案
知识梳理
1、菱形的定义：__有一组邻边相等_的平行四边形叫做菱形．
2、菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它不仅具有四边形和平行四边形的_一切性质____，还具有自己独特的性质。
①菱形既是_轴对称_图形（两条对称轴分别是 对角线所在的直线 ），也是中心___对称图形；
②菱形的四条边 _相等___；
③菱形的对角线 互相垂直平分 ，并且每一条对角线平分 每一组对角 ；
菱形的面积S菱形=底边长×高=__对角线之积的一半_ 。
注意：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于_对角线之积的一半_。
3、菱形的判定：
①一组邻边相等的_平行四边形__ 是菱形；
②四条边_相等_的 四边形 是菱形；
③对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形．
二、经典例题《菱形的性质与应用》
【例1】如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．
求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．
解：（1）连接BD交AC于点O， 在菱形ABCD中
AD=AB
∵E是AB的中点，且DE⊥AB ∴AD=BD， ∴AD=BD=AB
∴△ABD为等边三角形， ∴∠BAD=60°， ∴∠ABC=120°． （2）在Rt△ABO中，∠BAO=30°，AB=4， 则BO=2故A0=2
∴菱形ABCD的面积
【变式题组】
如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．
(1)求证：△BDE≌△BCF；
(2)判断△BEF的形状，并说明理由；
(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．
解：（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，BD=2，
∴△ABD和△BCD都为正三角形， ∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC， ∵AE+DE=AD=2，而AE+CF=2， ∴DE=CF， ∴△BDE≌△BCF； （2）解：△BEF为正三角形．理由： ∵△BDE≌△BCF， ∴∠DBE=∠CBF，BE=BF， ∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°， ∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°， ∴△BEF为正三角形； （3）解：设BE=BF=EF=x， 当BE⊥AD时，x最小=， ∴S最小=×=， 当BE与AB重合时，x最大=2， ∴S最大=×2×2=， ∴．
《菱形的 判定与应用》
【例2】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（1）证明：∵AB∥CD，即AE∥CD， 又∵CE∥AD， ∴四边形AECD是平行四边形． ∵AC平分∠BAD，∴∠CAE=∠CAD， ∵AD∥CE，∴∠ACE=∠CAD， ∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE， ∴四边形AECD是菱形； （2）解：△ABC是直角三角形． 证法一：∵E是AB中点，∴AE=BE． 又∵AE=CE，∴BE=CE，∴∠B=∠BCE， ∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°， ∴2∠BCE+2∠ACE=180°， ∴∠BCE+∠ACE=90°．即∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形． 证法二：连DE，由四边形AECD是菱形，得到DE⊥AC，且平分AC， 设DE交AC于F，∵E是AB的中点，且F为AC中点， ∴EF∥BC．∠AFE=90°， ∴∠ACB=∠AFE=90°，∴BC⊥AC， ∴△ABC是直角三角形．
【变式题组】如图，在四边形ABCD中，ADBC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N． 若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证四边形ABCD是菱形．
证明：∵AD∥BC， ∴∠B+∠BAD=180°，∠D+∠C=180°， ∵∠BAD=∠BCD， ∴∠B=∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AM⊥BC，AN⊥DC， ∴∠AMB=∠AND=90°， 在△ABM和△ADN中，∠B＝∠D，∠AMB＝∠AND＝90°，AM＝AN，
∴△ABM≌△ADN（AAS）， ∴AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形．（也可用等积法证邻边等）
【例3】已知如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC，交AD于M，EF⊥BC于F．
求证：四边形AEFM是菱形．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC ∴AD∥EF，∴∠AME=∠MEF， ∵BE平分∠ABC,∠BAC＝90°,EF⊥BC， ∴EA=EF，∠AFB=∠FEM
∵AN平分∠DAC， ∴∠CAN=∠DAN，
∴∠AME=∠AEM， ∴AM=AE
∴AM=EF ∴四边形AMFE是平行四边形，且AM=AE
∴平行四边形AMNE是菱形．
【例4】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，
PB＋PE的最小值是，求AB的值．
解：由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB， ∴PE+PB=PE+PD=DE， 即DE就是PE+PB的最小值， ∵∠BAD=60°，AD=AB， ∴△ABD是等边三角形， ∵AE=BE， ∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质） 在Rt△ADE中，DE=，∠BAD=60°
∴AD=2．
三、【综合提升】
【例5】、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
②当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？并说明理由．
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝ED，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠ECD，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC，
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝DC．
（2）①当AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．
证明：∵AF＝BD，AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AFBD是矩形．
②当∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形．
证明：∵AF＝BD，AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，BD＝DC，
∴AD＝BD＝DC，
∴四边形AFBD是菱形．
【变式题组】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
解：（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t， ∴DF=t，又∵AE=t，∴AE=DF； （2）能；理由如下： ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF，又AE=DF， ∴四边形AEFD为平行四边形， ∵AB=5，∴AC=2，AB=10， ∴AD=AC-DC=10-2t， 若使为菱形，则需AE=AD，即t=10-2t，t=， 即当t=时，四边形AEFD为菱形； （3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形， 在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°， ∴AD=2AE，即10-2t=2t，t=； ②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD， ∴∠ADE=∠DEF=90°， ∵∠A=90°-∠C=60°， ∴AD=AE，即10-2t=t，t=4； ③∠EFD=90°时，此种情况不存在； 综上所述，当或4时，△DEF为直角三角形。
培优升级 检测
选择题
1、若菱形的周长为24cm，一个内角为60°，则菱形较短的一条对角线为（ D ）
A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm
2、过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB＝，∠DCF＝30°，则EF的长为（ A ）
A．2 B．3 C． D．
3、如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ B ）
A．1 B． C．2 D．+1
二、填空题
4、菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的周长为 20 ，面积为 24 ．
5、菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8cm，则此菱形的高等于___1__.
6、已知□ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添 答案不唯一如AB=BC，使□ABCD成为一个菱形．
7、如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC=10，BD=24，AE⊥BC于E，则AE的长是______．
8、如图已知菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数100° ．
9、如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是___3个___．
7题图 8题图 9题图 10题图 11题图
10、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为 4.8 ．
11、如图将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值___12_____，菱形周长的最大值是_________．
12、如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 12 ．
13、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是 5 ．．
14、已如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫，从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2022cm时停下，则它停的位置是__点F____.
12题图 13题图 14题图 15题图
15、如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…，则四边形A2B2C2D2的周长是 20 ；四边形A2017B2017C2017D2017的周长是 ．
【解答】解：∵菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，
∴△AA1D1是等边三角形，四边形A2B2C2D2是菱形，
∴A1D1＝5，C1D1＝AC＝5，A2B2＝C2D2＝C2B2＝A2D2＝5，
∴四边形A2B2C2D2的周长是：5×4＝20，
同理可得出：A3D3＝5×，C3D3＝C1D1＝×5，
A5D5＝5×（）2，C5D5＝C3D3＝（）2×5，
…
∴四边形A2015B2015C2015D2015的周长是：，故答案为：20；．
三、解答题
16、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接 CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，DE＝AC，
∴AC⊥BD，DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE＝CD．
（2）解：∵菱形ABCD的边长为6，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，BD⊥AC，AO＝CO＝AC．
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∵△AOD中BD⊥AC，AD＝6，AO＝3，
∴OD＝＝3，
∵四边形OCED是矩形，
∴CE＝OD＝3，
∵在Rt△ACE中，AC＝6，CE＝3，
∴AE＝＝＝3．
17、如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，点P在BC边上以每秒1个单位长度的速度由点C向点B运动．
（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（不必写过程）．
【解答】解：（1）∵A（20，0），C（0，8），
∴OA＝20，OC＝8，
∵点D是OA的中点，
∴OD＝OA＝10，
∵四边形OABC为矩形，
∴BC＝OA＝20，
∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB＝OD＝10，
∴PC＝BC﹣PB＝10，
∴t＝10；
（2）如图1，∵四边形ODQP为菱形，
∴OD＝OP＝PQ＝10，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC＝＝6，
∴t＝6，
∴CQ＝CP+PQ＝6+10＝16，
∴Q点的坐标为（16，8）；
（3）如图2，△OPD为等腰三角形时，分三种情况：
①如果O为顶点，那么OP＝OD＝10，
由勾股定理可以求得PC＝6，此时P1（6，8）；
②如果P为顶点，那么PO＝PD，
作PE⊥OA于E，则OE＝ED＝5，此时P2（5，8）；
③如果D为顶点，那么DP＝DO＝10，
作DF⊥BC于F，由勾股定理，得PF＝6，
∴P3C＝10﹣6＝4或P4C＝10+6＝16，此时P3（4，8），P4（16，8）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（6，8），P2（5，8），P3（4，8），P4（16，8）．
知识梳理
1、菱形的定义：__________________的平行四边形叫做菱形．
2、菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：
还具有自己独特的性质
①菱形既是_____图形（两条对称轴分别是 ），也是_______对称图形；
②菱形的四条边 ______ ；
③菱形的对角线 ，并且每一条对角线平分 ；
菱形的面积S菱形=底边长×高=_________________ 。
注意：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于____________。
3、菱形的判定：
①一组邻边相等的______ 是菱形；
②四条边______的 是菱形；
③对角线 的平行四边形是菱形．
二、经典例题《菱形的性质与应用》
【例1】如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．
求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．
【变式题组】
如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．
(1)求证：△BDE≌△BCF；
(2)判断△BEF的形状，并说明理由；
(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．
《菱形的 判定与应用》
【例2】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【例3】已知如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC，交AD于M，EF⊥BC于F．
求证：四边形AEFM是菱形．
【例4】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，
PB＋PE的最小值是，求AB的值．
三、【综合提升】
【例5】、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
②当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？并说明理由．
【变式题组】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
培优升级 检测
选择题
1、若菱形的周长为24cm，一个内角为60°，则菱形较短的一条对角线为（ ）
A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm
2、过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB＝，∠DCF＝30°，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．+1
二、填空题
4、菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的周长为 ，面积为 ．
5、菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8cm，则此菱形的高等于_ _.
6、已知□ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添 ，使□ABCD成为一个菱形．
7、如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC=10，BD=24，AE⊥BC于E，则AE的长是 ．
8、如图已知菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数 ．
9、如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是 ．
7题图 8题图 9题图 10题图 11题图
10、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为 ．
11、如图将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值 ，菱形周长的最大值是 ．
12、如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 ．
13、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是 ．．
14、已如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫，从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2022cm时停下，则它停的位置是 .
12题图 13题图 14题图 15题图
15、如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…，则四边形A2B2C2D2的周长是 20 ；四边形A2017B2017C2017D2017的周长是 ．
三、解答题16、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接 CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．
17、如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，点P在BC边上以每秒1个单位长度的速度由点C向点B运动．
（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（不必写过程）．
第十三讲 菱形性质与判定培优辅导答案
知识梳理
1、菱形的定义：__有一组邻边相等_的平行四边形叫做菱形．
2、菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它不仅具有四边形和平行四边形的_一切性质____，还具有自己独特的性质。
①菱形既是_轴对称_图形（两条对称轴分别是 对角线所在的直线 ），也是中心___对称图形；
②菱形的四条边 _相等___；
③菱形的对角线 互相垂直平分 ，并且每一条对角线平分 每一组对角 ；
菱形的面积S菱形=底边长×高=__对角线之积的一半_ 。
注意：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于_对角线之积的一半_。
3、菱形的判定：
①一组邻边相等的_平行四边形__ 是菱形；
②四条边_相等_的 四边形 是菱形；
③对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形．
二、经典例题《菱形的性质与应用》
【例1】如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．
求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．
解：（1）连接BD交AC于点O， 在菱形ABCD中
AD=AB
∵E是AB的中点，且DE⊥AB ∴AD=BD， ∴AD=BD=AB
∴△ABD为等边三角形， ∴∠BAD=60°， ∴∠ABC=120°． （2）在Rt△ABO中，∠BAO=30°，AB=4， 则BO=2故A0=2
∴菱形ABCD的面积
【变式题组】
如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．
(1)求证：△BDE≌△BCF；
(2)判断△BEF的形状，并说明理由；
(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．
解：（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，BD=2，
∴△ABD和△BCD都为正三角形， ∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC， ∵AE+DE=AD=2，而AE+CF=2， ∴DE=CF， ∴△BDE≌△BCF； （2）解：△BEF为正三角形．理由： ∵△BDE≌△BCF， ∴∠DBE=∠CBF，BE=BF， ∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°， ∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°， ∴△BEF为正三角形； （3）解：设BE=BF=EF=x， 当BE⊥AD时，x最小=， ∴S最小=×=， 当BE与AB重合时，x最大=2， ∴S最大=×2×2=， ∴．
《菱形的 判定与应用》
【例2】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（1）证明：∵AB∥CD，即AE∥CD， 又∵CE∥AD， ∴四边形AECD是平行四边形． ∵AC平分∠BAD，∴∠CAE=∠CAD， ∵AD∥CE，∴∠ACE=∠CAD， ∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE， ∴四边形AECD是菱形； （2）解：△ABC是直角三角形． 证法一：∵E是AB中点，∴AE=BE． 又∵AE=CE，∴BE=CE，∴∠B=∠BCE， ∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°， ∴2∠BCE+2∠ACE=180°， ∴∠BCE+∠ACE=90°．即∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形． 证法二：连DE，由四边形AECD是菱形，得到DE⊥AC，且平分AC， 设DE交AC于F，∵E是AB的中点，且F为AC中点， ∴EF∥BC．∠AFE=90°， ∴∠ACB=∠AFE=90°，∴BC⊥AC， ∴△ABC是直角三角形．
【变式题组】如图，在四边形ABCD中，ADBC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N． 若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证四边形ABCD是菱形．
证明：∵AD∥BC， ∴∠B+∠BAD=180°，∠D+∠C=180°， ∵∠BAD=∠BCD， ∴∠B=∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AM⊥BC，AN⊥DC， ∴∠AMB=∠AND=90°， 在△ABM和△ADN中，∠B＝∠D，∠AMB＝∠AND＝90°，AM＝AN，
∴△ABM≌△ADN（AAS）， ∴AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形．（也可用等积法证邻边等）
【例3】已知如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC，交AD于M，EF⊥BC于F．
求证：四边形AEFM是菱形．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC ∴AD∥EF，∴∠AME=∠MEF， ∵BE平分∠ABC,∠BAC＝90°,EF⊥BC， ∴EA=EF，∠AFB=∠FEM
∵AN平分∠DAC， ∴∠CAN=∠DAN，
∴∠AME=∠AEM， ∴AM=AE
∴AM=EF ∴四边形AMFE是平行四边形，且AM=AE
∴平行四边形AMNE是菱形．
【例4】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，
PB＋PE的最小值是，求AB的值．
解：由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB， ∴PE+PB=PE+PD=DE， 即DE就是PE+PB的最小值， ∵∠BAD=60°，AD=AB， ∴△ABD是等边三角形， ∵AE=BE， ∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质） 在Rt△ADE中，DE=，∠BAD=60°
∴AD=2．
三、【综合提升】
【例5】、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
②当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？并说明理由．
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝ED，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠ECD，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC，
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝DC．
（2）①当AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．
证明：∵AF＝BD，AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AFBD是矩形．
②当∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形．
证明：∵AF＝BD，AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，BD＝DC，
∴AD＝BD＝DC，
∴四边形AFBD是菱形．
【变式题组】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
解：（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t， ∴DF=t，又∵AE=t，∴AE=DF； （2）能；理由如下： ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF，又AE=DF， ∴四边形AEFD为平行四边形， ∵AB=5，∴AC=2，AB=10， ∴AD=AC-DC=10-2t， 若使为菱形，则需AE=AD，即t=10-2t，t=， 即当t=时，四边形AEFD为菱形； （3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形， 在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°， ∴AD=2AE，即10-2t=2t，t=； ②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD， ∴∠ADE=∠DEF=90°， ∵∠A=90°-∠C=60°， ∴AD=AE，即10-2t=t，t=4； ③∠EFD=90°时，此种情况不存在； 综上所述，当或4时，△DEF为直角三角形。
培优升级 检测
选择题
1、若菱形的周长为24cm，一个内角为60°，则菱形较短的一条对角线为（ D ）
A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm
2、过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB＝，∠DCF＝30°，则EF的长为（ A ）
A．2 B．3 C． D．
3、如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ B ）
A．1 B． C．2 D．+1
二、填空题
4、菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的周长为 20 ，面积为 24 ．
5、菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8cm，则此菱形的高等于___1__.
6、已知□ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添 答案不唯一如AB=BC，使□ABCD成为一个菱形．
7、如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC=10，BD=24，AE⊥BC于E，则AE的长是______．
8、如图已知菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数100° ．
9、如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是___3个___．
7题图 8题图 9题图 10题图 11题图
10、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为 4.8 ．
11、如图将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值___12_____，菱形周长的最大值是_________．
12、如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 12 ．
13、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是 5 ．．
14、已如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫，从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2022cm时停下，则它停的位置是__点F____.
12题图 13题图 14题图 15题图
15、如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…，则四边形A2B2C2D2的周长是 20 ；四边形A2017B2017C2017D2017的周长是 ．
【解答】解：∵菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，
∴△AA1D1是等边三角形，四边形A2B2C2D2是菱形，
∴A1D1＝5，C1D1＝AC＝5，A2B2＝C2D2＝C2B2＝A2D2＝5，
∴四边形A2B2C2D2的周长是：5×4＝20，
同理可得出：A3D3＝5×，C3D3＝C1D1＝×5，
A5D5＝5×（）2，C5D5＝C3D3＝（）2×5，
…
∴四边形A2015B2015C2015D2015的周长是：，故答案为：20；．
三、解答题
16、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接 CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，DE＝AC，
∴AC⊥BD，DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE＝CD．
（2）解：∵菱形ABCD的边长为6，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，BD⊥AC，AO＝CO＝AC．
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∵△AOD中BD⊥AC，AD＝6，AO＝3，
∴OD＝＝3，
∵四边形OCED是矩形，
∴CE＝OD＝3，
∵在Rt△ACE中，AC＝6，CE＝3，
∴AE＝＝＝3．
17、如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，点P在BC边上以每秒1个单位长度的速度由点C向点B运动．
（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（不必写过程）．
【解答】解：（1）∵A（20，0），C（0，8），
∴OA＝20，OC＝8，
∵点D是OA的中点，
∴OD＝OA＝10，
∵四边形OABC为矩形，
∴BC＝OA＝20，
∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB＝OD＝10，
∴PC＝BC﹣PB＝10，
∴t＝10；
（2）如图1，∵四边形ODQP为菱形，
∴OD＝OP＝PQ＝10，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC＝＝6，
∴t＝6，
∴CQ＝CP+PQ＝6+10＝16，
∴Q点的坐标为（16，8）；
（3）如图2，△OPD为等腰三角形时，分三种情况：
①如果O为顶点，那么OP＝OD＝10，
由勾股定理可以求得PC＝6，此时P1（6，8）；
②如果P为顶点，那么PO＝PD，
作PE⊥OA于E，则OE＝ED＝5，此时P2（5，8）；
③如果D为顶点，那么DP＝DO＝10，
作DF⊥BC于F，由勾股定理，得PF＝6，
∴P3C＝10﹣6＝4或P4C＝10+6＝16，此时P3（4，8），P4（16，8）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（6，8），P2（5，8），P3（4，8），P4（16，8）．