(共29张PPT)
第2节
解一元二次方程
第2课时
配方法解方程
第二十一章
一元二次方程
人教版
九年级上
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
D
B
A
－1或7
A
B
A
B
A
D
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12
A
B
13
14
15
1或－3
m1＝8，m2＝3
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16
3或4
17
x1＝5，x2＝0
18
x1＝1＋
，x2＝1－
－1
1．【中考 安顺】若x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式，则m＝________.
－1或7
夯实基础·逐点练
x2＋2×4x＋16或x2－2×4x＋16
m－3＝4或m－3＝－4
2．将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( )
A．(a＋2)2－1
B．(a＋2)2－5
C．(a＋2)2＋4
D．(a＋2)2－9
D
夯实基础·逐点练
配方：加上一次项系数一般的平方，再减去一次项系数的平方
a2＋4a＋22
－5－
22
(a＋2)2－9
3．将代数式x2－10x＋5配方后，发现它的最小值为( )
A．－30
B．－20
C．－5
D．0
B
夯实基础·逐点练
x2－10x＋25＋5－25
(x－5)2－20
(x－5)2≥0
4．不论x，y为何实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值( )
A．总不小于2
B．总不小于7
C．可为任何实数
D．可能为负数
A
夯实基础·逐点练
x2＋2x＋1＋y2－4y＋4＋7－1－4
(x＋1)2＋(y－2)2＋2
5．【中考 扬州】已知M＝
a－1，N＝a2－
a(a为任意实数)，则M，N的大小关系为( )
A．MB．M＝N
C．M>N
D．不能确定
A
夯实基础·逐点练
N－M＝
a2
－
－
＋1
N－M＝
(a－
)
2＋
＞0
6．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，则△ABC的形状为( )
A．钝角三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
B
两边同时乘以2，得2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc
夯实基础·逐点练
2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc＝0
(a－b)2
＋
(b－c)2
＋
(a－c)2
＝0
7．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是( )
A．x2＋4x＝5
B．2x2－4x＝5
C．x2－2x＝5
D．x2＋2x＝5
A
夯实基础·逐点练
配方：加上一次项系数一般的平方，再减去一次项系数的平方
x2＋4x＋4＝5＋4
x2－2x＋1＝
＋1
x2－2x
＋1＝5＋1
x2＋2x
＋1＝5＋1
8．【中考 临沂】一元二次方程y2－y－
＝0配方后可化为( )
A.
B.
C.
D.
B
夯实基础·逐点练
y2－y＋
＝
＋
9．【中考 台湾】一元二次方程x2－8x＝48可表示成(x－a)2＝48＋b的形式，其中a，b为整数，求a＋b之值为何？
( )
A．20
B．12
C．－12
D．－20
A
夯实基础·逐点练
(x－4)2＝48＋16
10．用配方法解方程x2－8x＋15＝0的过程中，配方正确的是( )
A．x2－8x＋(－4)2＝1
B．x2－8x＋(－4)2＝31
C．(x＋4)2＝1
D．(x－4)2＝－11
A
夯实基础·逐点练
x2－8x＋
(－4)2
＝－15＋16
11．用配方法解下列方程时，配方正确的是( )
A．方程x2－6x－5＝0，可化为
(x－3)2＝4
B．方程y2－2y－2
020＝0，可化为
(y－1)2＝2
020
C．方程a2＋8a＋9＝0，可化为
(a＋4)2＝25
D．方程2x2－6x－7＝0，可化为
D
夯实基础·逐点练
(x－3)2＝14
(y－1)2
＝2021
(a＋4)2
＝7
12．【中考 舟山】欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax＝b2的方程的图解法是：如图，画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝
，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝
，则该方程的一个正根是( )
A．AC的长
B．AD的长
C．BC的长
D．CD的长
B
夯实基础·逐点练
根据勾股定理列出关于a、b、x的方程
x
解方程
13．【中考 益阳】规定：a
b＝(a＋b)b，如：2
3＝
(2＋3)×3＝15，若2
x＝3，则x＝________．
1或－3
(2＋x)×x＝3
(x＋1)2＝4
x＋1＝±2
夯实基础·逐点练
14．用配方法解方程：2x2－4x－8＝0.
解：移项，得2x2－4x＝8.
两边同时除以2，得x2－2x＝4.
配方，得x2－2x＋1＝4＋1，
即(x－1)2＝5.
∴x－1＝±
，
∴x1＝1＋
，x2＝1－
夯实基础·逐点练
15．先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0.
∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0.
∴m＋n＝0，n－3＝0.
∴m＝－3，n＝3.
整合方法·提升练
问题：已知a，b，c为正整数且是△ABC的三边长，c是△ABC的最短边长，a，b满足a2＋b2＝12a＋8b－52，求c的值．
整合方法·提升练
须知a、b的值
整理得a2－12a＋b2－8b＋52＝0
配方得a2－12a＋36＋b2－8b＋16＝0
(a－6)2＋
(b－4)2
＝0
a＝6，
b＝4
根据三角形的三边关系求c值
解：∵a2＋b2＝12a＋8b－52，
∴a2－12a＋b2－8b＋52＝0.
∴(a－6)2＋(b－4)2＝0.∴a－6＝0且b－4＝0.
∴a＝6，b＝4.
又∵a，b，c为正整数且是△ABC的三边长，c是△ABC的最短边长，
∴6－4即c的值是3或4.
整合方法·提升练
16．我们可以利用配方法解决一些多项式的最值，如：x2＋2x＋3＝(x2＋2x＋1)＋2＝(x＋1)2＋2，当x＝－1时，x2＋2x＋3有最小值为2；再如：－x2＋2x－2＝－(x2－2x＋1)－1＝－(x－1)2－1，当x＝1时，
－x2＋2x－2有最大值为－1.
整合方法·提升练
(1)代数式x2＋6x＋m有最小值为1，则m＝______；
(2)代数式－x2＋4x＋m有最大值为2，则m＝________；
10
整合方法·提升练
－2
配方得(x＋3)2＋m－9
m－9＝1
配方得－(x－2)2＋m＋4
m＋4＝2
(3)代数式x2＋(m＋2)x＋4m－7有最小值为0，求m的值．
整合方法·提升练
解：x2＋(m＋2)x＋4m－7＝
＋4m－7－
，
∵原代数式有最小值为0，
∴4m－7－
＝0，
即m2－12m＋32＝0.配方得(m－6)2＝4，
∴m－6＝±2，∴m1＝8，m2＝4.
17．已知实数x满足x2＋
＋2
＝0，求x＋
的值．
探究培优·拓展练
本题在解答过程中应用了换元法和整体思想，即用y来代替x＋
，将已知等式经过配方转化成一元二次方程求解．
探究培优·拓展练
解：将已知等式两边同时加上2，
得x2＋
＋2＋2
＝2，
即
＋2
＝2.
设x＋
＝y，则
＋2
＝2可化为y2＋2y＝2.
配方，得y2＋2y＋1＝2＋1，
∴(y＋1)2＝3.
探究培优·拓展练
直接开平方，得y＋1＝±
.
解得y1＝
－1，y2＝－
－1.
即x＋
＝
－1或x＋
＝－
－1.
经检验，不存在实数x使x＋
＝
－1，故舍去．
∴x＋
＝－
－1.
18．若关于x的方程m(x＋h)2＋k＝0(m，h，k均为常数，m≠0)的解是x1＝－3，x2＝2，求方程m(x＋h－3)2＋k＝0的解．
探究培优·拓展练
利用直接开平方法求m(x＋h)2＋k＝0的解，再利用直接开平方法求m(x＋h－3)2＋k＝0的解，根据x1＝－3，x2＝2求出m(x＋h－3)2＋k＝0的解的
值
解：由m(x＋h)2＋k＝0，得m(x＋h)2＝－k，
∴(x＋h)2＝－
，∴x＋h＝±
，
∴x＝
－h或x＝－
－h.
∵
－h＞－
－h，
∴
－h＝2，－
－h＝－3.
探究培优·拓展练
解方程m(x＋h－3)2＋k＝0，得
x3＝
－h＋3＝2＋3＝5，
x4＝－
＋3＝－3＋3＝0.
探究培优·拓展练(共12张PPT)
第2节
解一元二次方程
第1课时
直接开平方法解方程
第二十一章
一元二次方程
人教版
九年级上
1
2
3
4
5
6
7
8
9
C
C
B
x1＝3，x2＝－3
D
B
－1
4
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A
1．【中考 柳州】一元二次方程x2－9＝0的解是_________________．
x1＝3，x2＝－3
夯实基础·逐点练
x2＝9
2．一元二次方程4x2－9＝0的解为( )
A．x＝
B．x＝
C．x1＝
，x2＝－
D．x1＝
，x2＝－
C
夯实基础·逐点练
x2
＝
3．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数解的方程为( )
A．x2－1＝0
B．x2＝0
C．x2＋4＝0
D．－x2＋3＝0
C
夯实基础·逐点练
x2＝1
x2＝－4
x2＝3
4．若代数式3x2－6的值为21，则x的值一定为( )
A．3
B．±3
C．－3
D．±
B
夯实基础·逐点练
3x2－6
＝21
x2
＝9
5．【中考
丽水】一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A．x－6＝4
B．x－6＝－4
C．x＋6＝4
D．x＋6＝－4
D
夯实基础·逐点练
x＋6＝±4
6．若关于x的方程(x－4)2＝a有解，则a的取值范围是( )
A．a≤0
B．a≥0
C．a＞0
D．无法确定
B
夯实基础·逐点练
x－4＝±
根据二次根式的定义，a≥0
7．已知一元二次方程(x－3)2＝1的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为( )
A．10
B．10或8
C．9
D．8
A
夯实基础·逐点练
x－3＝±1，
x1＝4，x2＝2
根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，确定哪个为腰，再求周长
8．已知关于x的方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是3，求k的值及另一个根．
整合方法·提升练
解：把x＝3代入原方程，得k2＝2，
∴k＝±
，
由(x－1)2＝4，得x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1，
故另一个根为－1.
将x＝3代入
(x－1)2＝k2＋2，
得k2＝2
将k2＝2代入原方程，并解方程
9．若关于x的一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是m＋1与2m－4，求
的值．
整合方法·提升练
x2＝
，
x＝±
m＋1＋
2m－4＝0
m＝1
x1＝m＋1
＝2,
x2＝2m－4＝－2
解：∵m＋1与2m－4是关于x的一元二次方程ax2＝b
(ab＞0)的两个根，
∴(m＋1)＋(2m－4)＝0，
∴m＝1，即方程的两根分别为2和－2.
把x＝2或x＝－2代入ax2＝b中，
得4a＝b，∴
＝4.
整合方法·提升练(共26张PPT)
第2节
解一元二次方程
第3课时
一元二次方程根的判别式
第二十一章
一元二次方程
人教版
九年级上
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
C
C
2，－7，－4,81
A
B
A
A
D
C
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12
A
D
13
14
15
k＞－3；答案不唯一
方程总有两个不相等的实数根；5
0
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16
无论k取何值，这个方程总有实数根；10
1．方程7x＝2x2－4化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，a＝______，b＝______，c＝______，b2－4ac＝______．
2
夯实基础·逐点练
－7
－4
81
化为一般形式：
2x2
＋(－7)x＋(－4)＝0
2．方程6x－8＝5x2化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，a，b，c的值为( )
A．a＝5，b＝6，c＝－8
B．a＝5，b＝－6，c＝－8
C．a＝5，b＝－6，c＝8
D．a＝6，b＝5，c＝8
C
夯实基础·逐点练
化为一般形式：
5x2
＋(－6)x＋8＝0
3．在方程2x2＋3x＝1中，b2－4ac的值为( )
A．1
B．－1
C．17
D．－17
C
夯实基础·逐点练
化为一般形式：
2x2＋3x－1＝0
b2－4ac＝9＋8＝17
4．已知方程2x2＋mx＋1＝0的根的判别式的值为16，则m的值为( )
A．2
B．－2
C．±2
D．±3
C
夯实基础·逐点练
Δ＝m2－8＝16
m2＝24
5．【中考 上海】下列对一元二次方程x2＋x－3＝0的根的情况的判断，正确的是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根
D．没有实数根
A
夯实基础·逐点练
Δ＝1＋12＝13＞0
6．【中考 河南】下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是( )
A．x2＋6x＋9＝0
B．x2＝x
C．x2＋3＝2x
D．(x－1)2＋1＝0
B
Δ＞0
夯实基础·逐点练
Δ＝0
Δ＝1＞0
Δ＝－8＜0
Δ＝－4＜0
先将所有方程转化为一般形式，再根据根的判别式进行判断
7．【中考 娄底】关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．不能确定
A
夯实基础·逐点练
Δ＝[
－(k＋3)]2－4k
Δ＝
(k＋1)2＋8
＞0
8．【中考 通辽】若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A
夯实基础·逐点练
Δ＝[
2(k＋1)]2－4
(k＋1)
k≥0
4k≥－4
k＋1≠0，k≠－1
k≥－1
9．【中考 菏泽】若关于x的一元二次方程(k＋1)x2－2x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A．k≥0
B．k≤0
C．k＜0且k≠－1
D．k≤0且k≠－1
D
夯实基础·逐点练
Δ＝(－2)2－4
(k＋1)
≥0
Δ＝(－2)2－4
(k＋1)
≥0
－4k≥0，k≤0
k＋1≠0
10．【中考 安徽】若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为( )
A．－1
B．1
C．－2或2
D．－3或1
A
夯实基础·逐点练
转化为一般形式：x2＋x＋
ax＝0，
x2＋(a＋1)x＝0
Δ＝(a＋1)2－4×1×0＝0
a＋1＝0
11．【中考 包头】若关于x的不等式x－
＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0的根的情况是
( )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
C
夯实基础·逐点练
x＜1
x＜1＋
1＋
＝1
a＝0
Δ＝a2－4×1×1＝－4＜0
12．【中考 宁夏】若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋3x－2＝0有实数根，则a的取值范围是( )
A．a＞－
B．a≥－
C．a＞－
且a≠1
D．a≥－
且a≠1
D
a－1≠0
夯实基础·逐点练
Δ＝32－4×
(a－1)×(－2)≥0
8a＋1≥0
13．【中考 玉林】已知关于x的一元二次方程x2－2x－k－2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
整合方法·提升练
解：根据题意得Δ＝(－2)2－4(－k－2)＞0，
解得k＞－3.
Δ＞0
已知关于x的一元二次方程x2－2x－k－2＝0有两个不相等的实数根．
(2)给k取一个负整数值，解这个方程．
0＜k＜－3
整合方法·提升练
解：答案不唯一，例如：取k＝－2，则方程为x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2.
14．【中考 岳阳】已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
Δ＞0
整合方法·提升练
证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1>0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.
(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值(要求先化简再求值)
将x＝0代入x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0
整合方法·提升练
m(m＋1)＝0
(4m2－4m＋1)＋(9－m2)＋7m－5
3(m2＋m)
＋5
3m(m＋1)
＋5
整合方法·提升练
解：∵x＝0是此方程的一个根，
∴把x＝0代入方程中得到m(m＋1)＝0，
∴m＝0或m＝－1，
(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5
＝4m2－4m＋1＋9－m2＋7m－5＝3m2＋3m＋5，
把m＝0代入3m2＋3m＋5得3m2＋3m＋5＝5；
把m＝－1代入3m2＋3m＋5得3m2＋3m＋5＝3×(－1)2－3＋5＝5，因此原式的值为5.
15．已知关于x的方程x2－(2k＋1)x＋4
＝0.
(1)求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
证明：因为Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×4
＝4k2－12k＋9＝(2k－3)2≥0，所以无论k取何值，这个方程总有实数根．
Δ≥0
整合方法·提升练
(2)若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
整合方法·提升练
分类讨论a＝4为底边；a＝4为腰，分别确定b、c的值，根据三角形的三边关系确定a、b、c能否组成三角形，再求三角形的周长.
解：若a为等腰三角形ABC的底边长，则b，c为等腰三角形ABC的两腰长，由题意知方程有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即k＝
.所以方程为x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2.
即b＝c＝2，不符合三角形三边关系，故舍去．
整合方法·提升练
若a为等腰三角形ABC的一腰长，由题意知4是方程的一个根，所以42－(2k＋1)×4＋4
＝0，解得k＝
.所以方程为x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，符合题意．所以△ABC的周长为2＋4＋4＝10.
16．对于实数m，n，定义一种运算“※”：m※n＝mn＋n.
(1)求2※5与2※(－5)的值；
解：2※5＝2×5＋5＝15；
整合方法·提升练
2※(－5)＝2×(－5)＋(－5)＝－15.
(2)如果关于x的方程x※(a※x)＝－
有两个相等的实数根，求实数a的值．
根据新定义运算得：x※(ax＋x)
整合方法·提升练
x※(ax＋x)＝
x(ax＋x)＋(ax＋x)
(a＋1)
x2＋(a＋1)
x＝－
4[(a＋1)
x2＋(a＋1)
x]＋1＝0
Δ
＝0
4(a＋1)x2＋4(a＋1)x＋1＝0
整合方法·提升练
解：x※(a※x)＝x※(ax＋x)＝x※[(a＋1)x]＝(a＋1)x2＋(a＋1)x＝－
，
整理，得4(a＋1)x2＋4(a＋1)x＋1＝0.
∵关于x的方程x※(a※x)＝－
有两个相等的实数根，
∴a＋1≠0，Δ＝16(a＋1)2－16(a＋1)＝0.
解得a＝0.(共23张PPT)
阶段核心方法专训
一元二次方程的九种解法
第二十一章
一元二次方程
人教版
九年级上
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
x1＝0，x2＝2；
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B
x1＝2＋2
，
x2＝2－2
.
x1＝－2＋
，
x2＝－2－
.
x1＝2，x2＝
x1＝－
x2＝
13
14
15
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x1＝1，x2＝－1.
9
10
11
0
12
x1＝
，x2＝
.
x1＝
，x2＝
.
x1＝
，x2＝
x1＝
，x2＝
.
x1＝
，
x2＝
.
x1＝2，x2＝
，
x3＝3，x4＝
.
16
x1＝4041，
x2＝－2.
1．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数解的方程为( )
A．x2－5＝5
B．－3x2＝0
C．x2＋4＝0
D．(x＋1)2＝0
C
x2－10＝0,Δ＝40＞0
Δ＝0
Δ＝－16＜0
x2＋2x＋1
＝0，
Δ＝16＞0
2．解方程：
(x－2)2＝8
解：(x－2)2＝24
x1＝2＋2
，x2＝2－2
.
x－2＝±2
3．解方程：x2＋4x－2＝0.
解：x2＋4x
＝2
x2＋4x
＋4＝2＋4
(x＋2)2＝6
x1＝－2＋
，x2＝－2－
.
x＋2＝±
4．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求
的值．
解：原方程整理得(x2－10x＋25)＋(y2－16y＋64)＝0
(x－5)2＋(y－8)2＝
0，
∴x＝5，y＝8.
∴
.
x－5＝0，y
－8
＝0.
5．【中考 宁夏】一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )
A．－1
B．0
C．1和2
D．－1和2
D
(x＋1)
(x－2)
＝0
6．解下列一元二次方程：
(1)x2－2x＝0；
解：x(x－2)＝0，
∴x1＝0，x2＝2.
(2)16x2－9＝0；
解：
(4x)2－(32)＝0
(4x＋3)(4x－3)＝0，
∴x1＝－
，x2＝
.
4x＋3＝0或4x－3＝0，
(3)【中考 巴中】3x(x－2)＝x－2.
解：移项得3x(x－2)－(x－2)＝0.
(3x－1)(x－2)＝0.
3x－1＝0或x－2＝0.
∴x1＝2，x2＝
.
7．用公式法解一元二次方程x2－
＝2x，方程的解应是( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
B
x2－2x－
＝0
x＝
8．【中考 绵阳】已知a＞b＞0，且
＋
＋
＝0，
则
＝________．
2b(b－a)＋a(b－a)＋3ab＝0
2
＋
－1＝0
9．用公式法解下列方程：
(1)3(x2＋1)－7x＝0；
解：化为一般形式3x2－7x＋3＝0.
其中a＝3，b＝－7，c＝3.
∴Δ＝(－7)2－4×3×3＝13.
∴x＝
.
即x1＝
，x2＝
.
(2)4x2－3x－5＝x－2.
解：化为一般形式4x2－4x－3＝0.
其中a＝4，b＝－4，c＝－3.
∴Δ＝(－4)2－4×4×(－3)＝64.
∴x＝
.
即x1＝
，x2＝
.
10．解方程：6x2＋19x＋10＝0.
解：将原方程两边同乘6，得(6x)2＋19×(6x)＋60＝0.
(6x－15)(6x
－
4)
＝0.
6x－15＝0或6x
－4
＝0.
6x＝15或6x
＝4.
∴x1＝
，x2＝
.
11．若m，n，p满足m－n＝8，mn＋p2＋16＝0，求m＋n＋p的值．
解：因为m－n＝8，所以m＝n＋8.
将m＝n＋8代入mn＋p2＋16＝0中，
得n(n＋8)＋p2＋16＝0，
所以n2＋8n＋16＋p2＝0，即(n＋4)2＋p2＝0.
又因为(n＋4)2≥0，p2≥0，
所以n＋4＝0，
p＝0，解得n＝－4
m＝4，
m＋n＋p＝4＋(－4)＋0＝0
12．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
解：原方程即为[(x－1)(x－4)][(x－2)(x－3)]＝48，
即(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48.
设y＝x2－5x＋5，则原方程变为(y－1)(y＋1)＝48.
y2
＝49，解得y1＝7，y2＝－7.
当x2－5x＋5＝7时，解得x1＝
，x2＝
；
当x2－5x＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根．
∴原方程的根为x1＝
，x2＝
.
13．解方程：x2＋
－2
－1＝0.
解：设x＋
＝y，则原方程为y2－2y－3＝0.
(y－3)(y＋1)＝0，解得y1＝3，y2＝－1.
当y＝3时，x＋
＝3，
∴x1＝
，x2＝
.
当y＝－1时，x＋
＝－1无实数根．
经检验，x1＝
，x2＝
都是原方程的根．
∴原方程的根为x1＝
，x2＝
.
14．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.
解：经验证x＝0不是方程的根，原方程两边同除以x2，
得6x2－35x＋62－
＋
＝0，
即6
－35
＋62＝0.
设y＝x＋
，则x2＋
＝y2－2，
原方程可变为6(y2－2)－35y＋62＝0.
解得y1＝
，y2＝
.
当
＝
时，
解得x1＝2，x2＝
；
当
＝
时，
解得x3＝3，x4＝
经检验，均符合题意．
∴原方程的根为x1＝2，x2＝
，x3＝3，x4＝
.
15．解方程：
－
＝2.
解：设
＝y，则原方程化为y－
＝2，
整理得y2－2y－3＝0，
(y－3)(y＋1)＝0
∴y1＝3，y2＝－1.
当y＝3时，
＝3，∴x＝－1.
当y＝－1时，
＝－1，∴x＝1
经检验，x＝±1都是原方程的根．
∴原方程的根为x1＝1，x2＝－1.
16.解方程：(x－2019)(x－2020)＝2021×2022.
解：方程组
的解一定是原方程的解，
解得x＝4
041.
方程组
的解一定是原方程的解，
解得x＝－2.
∵原方程最多有两个实数解，
∴原方程的根为x1＝4
041，x2＝－2.(共10张PPT)
第2节
解一元二次方程
第4课时
公式法解方程
第二十一章
一元二次方程
人教版
九年级上
1
2
3
4
5
6
7
A
D
C
D
D
x1＝
，x2＝
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(3＋2
)s或(3－2
)s时
1．方程3x2－x＝4化为一般形式后a，b，c的值分别为( )
A．3，1，4
B．3，－1，－4
C．3，－4，－1
D．－1，3，－4
B
夯实基础·逐点练
3x2＋(－1x)＋(－4)＝0
2．一元二次方程
x2＋4
x＝2
中，b2－4ac的值应是( )
A．64
B．－64
C．32
D．－32
A
化为一般形式：
x2＋4
x－2
＝0
夯实基础·逐点练
(4
)
2－4×
×(－2
)
16×3＋16＝64
3．以x＝
为根的一元二次方程可能是( )
A．x2＋bx＋c＝0
B．x2＋bx－c＝0
C．x2－bx＋c＝0
D．x2－bx－c＝0
D
x＝
夯实基础·逐点练
二次项系数为1，一次项系数为－b，常数项为－c
4．【中考 淄博】一元二次方程x2＋2
x－6＝0的根是( )
A．x1＝x2＝
B．x1＝0，x2＝－2
C．x1＝
，x2＝－3
D．x1＝－
，x2＝3
C
x＝
＝
＝
夯实基础·逐点练
5．【中考 泰安】一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5的根的情况是( )
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3
D．有两个正根，且有一根大于3
D
化为一般形式：x2－4x＋2＝0
夯实基础·逐点练
Δ＝16－8＝8＞0
x＝2±
6．已知a，b，c均为实数且
＋|b＋1|＋(c＋3)2＝0，求方程ax2＋bx＋c＝0的根．
整合方法·提升练
(a－1)
2＝0
,a＝1
b＋1＝0
，b＝－1
c＋3＝0，c＝－3
x2＋－x－3＝0
利用求根公式求方程的根
解：依题意，得a2－2a＋1＝0且b＋1＝0且c＋3＝0，
∴a＝1，b＝－1，c＝－3，代入方程可得x2－x－3＝0，∴x＝
，即x1＝
，x2＝
.
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问：几秒时△PDQ的面积为35
cm2
x
S△PDQ＝S矩形ABCD－S△ADP－S△PBQ－S△DCQ
AP＝x,
PB＝6－x
BQ＝2x,QC＝12－2x
整合方法·提升练
解：设xs时△PDQ的面积为35cm2，即S矩形ABCD－S△ADP－S△PBQ－S△DCQ＝12×6－
×12x－
(6－x) 2x
－
×6×(12－2x)＝35，解得x1＝3＋2
，x2＝3－2
，因为当其移动(3＋2
)s或(3－2
)s时均符合题意，所以(3＋2
)s或(3－2
)s时△PDQ的面积为35
cm2.
整合方法·提升练(共26张PPT)
第2节
解一元二次方程
第5课时
因式分解法解方程
第二十一章
一元二次方程
人教版
九年级上
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
B
D
A
C
A
D
①,④⑥,③⑤,②
A
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12
D
x1＝5,x2＝－3;
x1＝3，x2＝
x1＝4＋2
,x2＝4－2
x1＝
,x2＝
13
14
15
方程有两个不相等的实数根;答案不唯一
2，4；x1＝－1，x2＝4.
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换元；
x1＝－
，x2＝4.
1．【中考 山西】我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( )
A．转化思想
B．函数思想
C．数形结合思想
D．公理化思想
A
夯实基础·逐点练
2．用因式分解法解方程，下列过程正确的是( )
A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0
B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝1或x－1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3
D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0
A
夯实基础·逐点练
用因式分解法时，方程右边为0
，
x＝0
3．【中考 沈阳】一元二次方程x2－4x＝12的根是( )
A．x1＝2，x2＝－6
B．x1＝－2，x2＝6
C．x1＝－2，x2＝－6
D．x1＝2，x2＝6
B
夯实基础·逐点练
x2－4x－12＝0
(x－6)(x＋2)＝0
4．【中考 台湾】若一元二次方程x2－8x－3×11＝0的两根为a，b，且a＞b，则a－2b之值为何？( )
A．－25
B．－19
C．5
D．17
D
夯实基础·逐点练
x2－8x－33＝0
(x－11)(x＋3)＝0
x1＝11，x2＝－3
a＝11，b＝－3
a－2b＝17
5．【中考 凉山州】若关于x的方程x2＋2x－3＝0与
＝
有一个解相同，则a的值为
( )
A．1
B．1或－3
C．－1
D．－1或3
C
(x－1)(x＋3)＝0
夯实基础·逐点练
x1＝1，x2＝－3
整理，得x＋3＝2(x－a)
x＋3≠0，
x≠－3
将x＝1代入x＋3＝2(x－a)
a＝－1
6．【中考 安顺】一个等腰三角形的两条边的长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是( )
A．12
B．9
C．13
D．12或9
A
夯实基础·逐点练
(x－2)(x－5)＝0
x1＝2，x2＝5
若2为腰，2＋2＝4＜5，不能构成三角形；
若5为腰，5＋5＝10
＞2，所以周长＝5＋5＋2＝12
7．【中考 荆门】已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长为( )
A．7
B．10
C．11
D．10或11
D
夯实基础·逐点练
将x＝3代入方程，求得m＝6
原方程为x2－7x＋12＝0
(x－3)(x－4)＝0
x1＝3，x2＝4
根据三角形的三边关系，3和4
都可以为腰
8．解方程(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( )
A．直接开平方法
B．配方法
C．公式法
D．因式分解法
D
夯实基础·逐点练
移项，得(5x－1)2－3(5x－1)＝0
提取公因式，得(5x－1)
(5x－1－3)＝0
9．已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上．
①2(x－1)2＝6；
②(x－2)2＋x2＝4；
③(x－2)(x－3)＝3;
④x2－2x－1＝0；
⑤x2－
x＋
＝0;
⑥x2－2x－98＝0.
(1)直接开平方法：________；(2)配方法：________；
(3)公式法：________；(4)因式分解法：________．
①
夯实基础·逐点练
④⑥
③⑤
②
10.【中考 齐齐哈尔】解方程：2(x－3)＝3x(x－3)．
夯实基础·逐点练
解：移项，得2(x－3)－3x(x－3)＝0，
整理，得(x－3)(2－3x)＝0.
x－3＝0或2－3x＝0.
解得x1＝3，x2＝
.
11．已知x为实数，且满足(x2＋x＋1)2＋2(x2＋x＋1)－3＝0，那么x2＋x＋1的值为( )
A．1 B．－3 C．－3或1 D．－1或3
A
夯实基础·逐点练
x2＋x＋1＝y
y2＋2y－3＝0
(y－1)(y＋3)＝0
y1＝1，y2＝－3
x2＋x＋1
＝1，
或
x2＋x＋1
＝－3
x2＋x＋1＝－3无实数根，舍去
12．解下列方程：
(1)【中考 梧州】2x2－4x－30＝0；
夯实基础·逐点练
解：两边同时除以2，得x2－2x－15＝0
，
整理，得(x－5)(x＋3)＝0.
x－5＝0，或x＋3＝0.
∴x1＝5，x2＝－3.
(2)x2－(
＋
)x＋
＝0；
夯实基础·逐点练
解：(x－
)(x－
)＝0，
x－
＝0，或x－
＝0，
∴x1＝
，x2＝
.
(3)x2－8x＋4＝0.
夯实基础·逐点练
解：配方，得
x2－8x＋16＝－4＋16
(x－4)2＝12
x－4＝±2
，
∴x1＝4＋2
，x2＝4－2
.
∴x1＝
，x2＝
.
13.【中考 北京】关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.
(1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
整合方法·提升练
解：a≠0，
Δ＝b2－4a＝(a＋2)2－4a＝a2＋4a＋4－4a＝a2＋4.
∵a2＞0，∴Δ＞0.
∴方程有两个不相等的实数根
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
整合方法·提升练
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4a＝0，
若b＝2，a＝1，则方程为x2＋2x＋1＝0，
解得x1＝x2＝－1.(答案不唯一)
14．【中考 湘潭】由多项式乘法得(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3
＝(x＋2)(x＋3)．
整合方法·提升练
(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋____)(x＋____)；
(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
整合方法·提升练
2
4
解：∵x2－3x－4＝0，
∴(x＋1)(x－4)＝0，
则x＋1＝0或x－4＝0，
∴x1＝－1，x2＝4.
15．阅读材料：
为了解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1看作一个整体，然后设x2－1＝y，那么原方程可化为y2－5y＋4＝0
①，解得y1＝1，y2＝4，当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x＝±
；当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±
，故原方程的解为
x1＝
，x2＝－
，x3＝
，x4＝－
.
整合方法·提升练
换元
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_____法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；
整合方法·提升练
(2)请利用以上知识解方程：
－
＝1.
整合方法·提升练
＝y
y2－y－2＝0
(y－2)(y＋1)＝0
y1＝2，y2＝－1
x2＋x＋1＝0
Δ<0,舍去
2x2－x－1＝0
x1＝－
，x2＝1
整合方法·提升练
解：设
＝y，则原方程变形为y－
＝1，
解得y1＝－1，y2＝2.
经检验，y1＝－1，y2＝2都为方程y－
＝1的解．
当y＝－1时，
＝－1，
∴x2＋x＋1＝0，
∵Δ＝1－4＝－3<0，
∴
＝－1无实数解；
整合方法·提升练
当y＝2时，
＝2，
∴2x2－x－1＝0，
∴x1＝－
，x2＝1.
经检验，x1＝－
，x2＝1是方程
＝2的解．
∴原方程的解为x1＝－
，x2＝1.(共29张PPT)
第2节
解一元二次方程
第6课时
一元二次方程根与系数的关系
第二十一章
一元二次方程
人教版
九年级上
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
B
A
D
C
C
D
4
D
B
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12
B
D
13
14
15
B
m＝6；17
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16
k＞
k＝3
17
k＞
k＝4
1．【中考 宜宾】一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为( )
A．－2
B．1
C．2
D．0
D
夯实基础·逐点练
x1·x2＝
＝0
2．【中考 凉山州】一元二次方程3x2－1＝2x＋5两实根的和与积分别是( )
A.
，－2
B.
，－2
C．－
，2
D．－
，2
B
x1＋x2＝
＝
,
x1
·x2
＝
＝－2
夯实基础·逐点练
化为一般形式3x2－2x－6＝0
3．【中考 贵港】已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是( )
A．3
B．1
C．－1
D．－3
B
夯实基础·逐点练
α＋β＝
＝－1,
α
·β＝
＝－2
4．(中考 广西)已知实数x1,x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )
A．x2－7x＋12＝0
B．x2＋7x＋12＝0
C．x2＋7x－12＝0
D．x2－7x－12＝0
A
x1＋x2＝
，
x1·x2
＝
夯实基础·逐点练
x1＋x2＝7,
x1
·x2
＝12
x1＋x2＝－7,
x1
·x2
＝12
x1＋x2＝－7,
x1
·x2
＝－12
x1＋x2＝7,
x1
·x2
＝－12
5．【中考 怀化】设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则x21＋x22的值是( )
A．19
B．25
C．31
D．30
C
x21＋x22
＝(x1＋x2)2－2x1x2
x1＋x2＝
＝－5，
x1·x2
＝
＝－3
夯实基础·逐点练
6．【中考 眉山】若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两根，则
的值是( )
A.
B．－
C．－
D.
C
夯实基础·逐点练
整理，得
α＋β＝
＝
,
α
·β＝
＝－3
夯实基础·逐点练
7．(中考 天门)若α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为( )
A．－13
B．12
C．14
D．15
B
α＋β＝
，
α·β
＝
2α2－5α－1＝0，
2α2
＝
5α＋1
5α＋1＋3αβ＋5β
5(α＋β)＋3αβ＋1
8．【中考 荆州】关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2－k＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x12＋x22＝4，则x12－x1x2＋x22的值是________．
4
x1＋x2＝
2k，
x1·x2
＝
k2－k
夯实基础·逐点练
(x1＋x2)2－2x1x2
＝4
k＝－2或1
∵Δ≥0，∴k＝1
x1·x2
＝
k2－k＝0
x12＋x22
－x1x2
＝4－0
9．【中考 绵阳】若关于x的方程x2－2x＋c＝0有一根为－1，则方程的另一根为( )
A．－1
B．－3
C．1
D．3
D
夯实基础·逐点练
x1＋x2＝
,
－1＋
x2＝2，
x2＝3
10．【中考 烟台】若x1，x2是关于x的方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为( )
A．－1或2
B．1或－2
C．－2
D．1
D
夯实基础·逐点练
x1＋x2＋x1x2
＝1
x1＋x2＝
2m，
x1·x2
＝
m2－m－1
2m＋
m2－m－1
＝1
(m－1)(m＋2)
＝0
m1＝1，m2＝－2
Δ≥0，m≥
11．【中考 烟台】等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为( )
A．9
B．10
C．9或10
D．8或10
B
夯实基础·逐点练
a＋b＋
＝6
a
b＝
n－1
若a＝2，则b＝4，三角形的三边长为2，4，2，根据三角形的三边关系，不能组成三角形
若a＝b＝3，三角形的三边长为3，3，2，能组成三角形，
a
b＝
n－1，n＝10
12．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，则(m＋2)(n＋2)的最小值是( )
A．7
B．11
C．12
D．16
D
m＋n＝2t，m
n
＝
t2－2t＋4
夯实基础·逐点练
Δ≥0，t
≥2，t的最小值为2
整理，得mn＋2(m＋n)＋4
t2－2t＋4＋2×2t＋4
t2＋2t＋8
22＋2×2＋8＝16
13．【中考 呼和浩特】关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为( )
A．2
B．0
C．1
D．2或0
B
x1＋x2＝
－(a2－2a)＝0
a2－2a＝0
a＝2或0
a＝2时，
Δ＜0，不合题意
a＝0时，
Δ≥0
夯实基础·逐点练
14．若x1，x2是一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根，求下列代数式的值．
(1)(x1－x2)2；
整合方法·提升练
解：根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝
，x1x2＝－
.
(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝
－4×
＝
.
(2)
.
整合方法·提升练
解：
原方程＝x1x2＋1＋1＋
＝－
＋2－2
＝－
15．【中考 随州】已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
解：∵关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2k＋3)2－4k2＞0，
解得k＞－
.
Δ＞0
整合方法·提升练
整合方法·提升练
15．【中考 随州】已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(2)若
，求k的值．
x1＋x2＝
－(2k＋3)，
x1x2
＝
k2
整理，得
(k＋1)
(k－3)＝0
k1＝
－1，
k2
＝
3
k＞－
，
整合方法·提升练
解：∵x1，x2是方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝－2k－3，x1x2＝k2.
∴
＝
＝
＝－1，
解得k1＝3，k2＝－1.
经检验，k1＝3，k2＝－1都是原分式方程的根．
又∵k＞－
，∴k＝3.
16．【中考 泸州】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
x1＋x2＝
2(m＋1)，
x1x2
＝
m2＋5
整理，得x1
x2
－(x2＋
x1
)－27＝0
m2＋5
－
2(m＋1)
－27＝0
m2－
2m
－24＝0
(m－
6)(m
＋4)＝0
m1＝
6，m2
＝－4
Δ≥0,
m≥2
探究培优·拓展练
解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5.
∴(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28.
∴m2－2m－24＝0.∴m1＝6，m2＝－4.
又∵方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个实数根，
∴Δ＝[－2(m＋1)]2－4×1×(m2＋5)≥0.
解得m≥2.∴m2＝－4舍去，故m＝6.
探究培优·拓展练
(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长．
分类讨论7为腰和7为底边的两种情况，分别求出m的值，再根据三角形的三边关系确定三角形的周长
解：①当7为腰长时，7为方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的一个根．
将x＝7代入得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，
整理得m2－14m＋40＝0，即(m－4)(m－10)＝0，
∴m1＝4，m2＝10.
探究培优·拓展练
当m＝4时，原方程为x2－10x＋21＝0，
即(x－7)(x－3)＝0，∴x1＝7，x2＝3.即底边长为3，
7，7，3能组成三角形，此时周长为7＋7＋3＝17.
当m＝10时，原方程为x2－22x＋105＝0.
即(x－7)(x－15)＝0，
∴x1＝7，x2＝15.即底边长为15，
7，7，15不能组成三角形，故舍去．
探究培优·拓展练
②当7为底边长时，方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝4(m＋1)2－4×1×(m2＋5)＝8m－16＝0，
∴m＝2.
此时方程为x2－6x＋9＝0，
∴(x－3)2＝0，∴x1＝x2＝3.
7，3，3不能组成三角形，故舍去．
∴这个三角形的周长为17.
探究培优·拓展练
17．【中考 鄂州】关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
Δ＞0
探究培优·拓展练
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[－(2k－1)]2－4(k2－2k＋3)＝4k－11>0，
解得k>
.
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|＝
？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
探究培优·拓展练
x1＋x2＝
2k－1，
x1x2
＝
k2－2k＋3
原方程：x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0
整理得(x1＋x2)2－4x1x2＝5
(2k－1)2－4(k2－2k＋3)＝5
4k2－2k＋1
－4k2＋8k－12＝5
4k＝16
探究培优·拓展练
解：存在．
∵x1x2＝k2－2k＋3＝(k－1)2＋2＞0，
∴将|x1|－|x2|＝
两边平方可得x12－2x1x2＋x22＝5，即(x1＋x2)2－4x1x2＝5，
∵x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2－2k＋3，
∴(2k－1)2－4(k2－2k＋3)＝5，
整理得4k－11＝5，
解得k＝4.
