(共30张PPT)
第1节
菱形的性质与判定
第2课时
菱形的判定
第一章
特殊平行四边形
北师版
九年级上
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
D
互相垂直；四边形
一组邻边相等；四边形
B
C
C
C
四边形BFDE是菱形
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13
△ECG≌△GHD；
AD＝AP＋PD＝AC＋EC；
四边形AEGF是菱形
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11
12
∠BOD＝∠BCD；
四边形OBCD是菱形
四边形BEDF是菱形．
1．对角线______________的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的__________是菱形．
互相垂直
课堂导练
四边形
2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．AB＝BC
B．AC，BD互相平分
C．AC＝BD
D．AB∥CD
B
课堂导练
对角线互相垂直平分的四边形是菱形
3．如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的做法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，则四边形AFCE是菱形．
课堂导练
AC、EF互相垂直平分
乙：分别作∠A与∠B的平分线AE，BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形
课堂导练
∠FAE＝∠BAE，∠ABF＝∠EBF，
E
F
AF∥BE
△AOE≌△BOE
O
△AOB≌△EOF
△AOF≌△AOB
四个三角形全等
FA＝AB＝BE＝EF
对于甲、乙两人的做法，可知( )
A．甲正确，乙错误
B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确
D．甲、乙均错误
C
课堂导练
4．(中考 泰安)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：
①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；
③BC＝FB；④PF＝PC.
其中正确结论的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
课堂导练
D
四边形EFBC为菱形
CF、BE为菱形EFBC的对角线
O
△FOP≌△COP
5．有__________________的平行四边形是菱形；四边相等的__________是菱形．
一组邻边相等
课堂导练
四边形
6．(中考 日照)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是( )
A．AB＝AD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．∠ABO＝∠CBO
B
课堂导练
四边形ABCD是平行四边形
一组邻边相等的平行四边形
对角线互相垂直平分
可以证明AB＝CB
7．如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD的边至少满足条件( )
A．AB＝AD
B．AB＝BC
C．AB＝CD
D．BC＝CD
C
课堂导练
EF＝FG＝GH＝HE
AB＝2GH
CD＝2FG
8．(中考 舟山)用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )
课堂导练
C
根据菱形的判定方法进行判断
9．(中考 遵义)如图，将 ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是( )
A．AF＝EF
B．AB＝EF
C．AE＝AF
D．AF＝BE
课堂导练
AB＝AF
C
AF∥BE
四边形ABEF为菱形
10．(中考 郴州)如图，在 ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF.求证：四边形BFDE是菱形．
ED∥BF
EF⊥BD，EO＝FO，BO＝DO
∠EBF＝∠EDF
BE∥FD
EBFD为平行四边形
EBFD为菱形
课后训练
证明：如图所示．
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，BF＝DF.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DE∥BF.
∴∠1＝∠3.∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.
∴BE∥DF.∴四边形BFDE是平行四边形．
又∵BD⊥EF，∴四边形BFDE是菱形．
课后训练
11．(中考 南京)如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD，O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：
(1)∠BOD＝∠C；
课后训练
证明：如图，作AO的延长线OE.
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO.
∵∠BOE＝∠ABO＋∠BAO，
同理∠DOE＝2∠DAO.
∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)，
即∠BOD＝2∠BAD.
又∵∠BCD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠BCD.
课后训练
(2)四边形OBCD是菱形．
证明：如图，连接OC.
∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，
∴△BOC≌△DOC(SSS)．
∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO.
∴∠BOC＝
∠BOD，∠BCO＝
∠BCD.
课后训练
由(1)知∠BOD＝∠BCD，
∴∠BOC＝∠BCO.
∴OB＝CB.
又∵OB＝OD，CB＝CD，
∴OB＝BC＝CD＝DO.
∴四边形OBCD是菱形．
课后训练
12．(中考 娄底)如图，已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD，BC于点E，F.
四边形ABCD为平行四边形
课后训练
AD∥BC，ED∥BF
∠EAO＝∠OCF
OA＝OC
∠AOE＝∠COF
△AOE≌△COF
CF＝AE
BF＝ED
四边形BEFD为菱形
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)．
(1)求证：△AOE≌△COF；
课后训练
(2)判断四边形BEDF的形状，并说明理由．
解：四边形BEDF是菱形．
∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF.
又易知AD＝BC，∴DE＝BF.
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．
课后训练
13．(中考 泰安)如图，在△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD
∠FGA＝∠FAG
截长补短法
精彩一题
∠EAG＝∠FAG
∠EAG＝∠FGA
AC∥FG
DE⊥
FG
DE∥BC
AC⊥BC
EH＝DH
△HEG≌△HDG
GE＝GD，
∠HEG＝∠HDG
∠HEG＝∠EGC
∠C＝90°
∠FHD＝90°
△ECG≌△GHD
证明：∵AF＝FG，∴∠FAG＝∠FGA.
∵AG平分∠CAB，∴∠CAG＝∠FAG.
∴∠CAG＝∠FGA.∴AC∥FG.
∵DE⊥AC，∴FG⊥DE.∴∠DHG＝90°.
∵FG⊥BC，∴DE∥BC.
∴AC⊥BC，∠CGE＝∠GED.
∴∠C＝∠DHG＝90°.
(1)求证：△ECG≌△GHD；
精彩一题
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴H是ED的中点．
∴FG是线段ED的垂直平分线．
∴GE＝GD.
∴∠GDH＝∠GED.∴∠CGE＝∠GDH.
∴△ECG≌△GHD(AAS)．
精彩一题
(2)小亮同学经过探究发现：AD＝AC＋EC，请你帮助小亮同学证明这一结论；
精彩一题
证明：如图，过点G作GP⊥AB于点P.
由(1)知AC⊥BC.
易得GC＝GP，
∴Rt△CAG
≌
Rt△PAG(HL)．
由(1)得EG＝DG，
∴Rt△ECG≌Rt△DPG(HL)．
∴AD＝AP＋PD＝AC＋EC.
又∵AG＝AG，
∴AC＝AP.
∴EC＝PD.
精彩一题
(3)若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
∠ADE＝30°
30°所对的边是斜边的一半
AE＝
AD＝AF.
AE＝AF＝FG
AE∥FG
邻边相等的平行四边形
精彩一题
解：四边形AEGF是菱形．
理由：∵∠B＝30°，ED∥BC，
∴∠ADE＝30°.∴AE＝
AD＝AF.
∴AE＝AF＝FG.
由(1)得AE∥FG，
∴四边形AEGF是平行四边形．
又∵AE＝AF，∴四边形AEGF是菱形．
精彩一题(共30张PPT)
第1节
菱形的性质与判定
第1课时
菱形及其性质
第一章
特殊平行四边形
北师版
九年级上
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
B
四条边；12cm
邻边；邻边相等
(－5,4)
A
互相平分且垂直；平分一组对角；一半；对称轴
A
B
D
B
△ADE≌△CDF;
∠BEF＝∠BFE
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13
四边形ACDE是平行四边形;18
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14
15
8;2
BP＝CE,
CE⊥AD;
结论仍然成立
答案显示
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1．有一组________相等的平行四边形叫做菱形，因此有：平行四边形＋__________ 菱形．
邻边
课堂导练
邻边相等
2．(中考 十堰)菱形不具备的性质是( )
A．四条边都相等
B．对角线一定相等
C．是轴对称图形
D．是中心对称图形
B
①菱形的四条边都相等
②两条对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角
③既是轴对称图形又是中心对称图形
课堂导练
3．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( )
A．AB＝BC
B．AC＝BC
C．∠B＝60°
D．∠ACB＝60°
B
AC∥DE，AC＝DE
课堂导练
四边形ACED为平行四边形
DE＝CE，即AC＝BC
4．菱形的________相等．边长为3
cm的菱形的周长为________．
课堂导练
四条边
12
cm
5．(中考 广州)如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是________．
(－5，4)
课堂导练
AB＝CD＝AD＝CB＝5
AB∥CD
OA＝3，
AD＝5，根据勾股定理得
OD＝4
点D的坐标为(0,4)
C(－5,4)
6．(中考 贵阳)如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为( )
A．24
B．18
C．12
D．9
A
课堂导练
EF是△ACB的中位线，CB＝2EF＝6
AD＝DC＝BA＝CB＝6
7．菱形的对角线__________________，且每条对角线____________．菱形的面积等于两条对角线长的乘积的______；对角线所在的直线是菱形的________．
互相平分且垂直
课堂导练
平分一组对角
一半
对称轴
8．(中考 孝感)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，BD＝24，则菱形ABCD的周长为( )
A．52
B．48
C．40
D．20
课堂导练
A
菱形的对角线互相垂直平分
OC＝5，OB＝12
根据勾股定理可得CB＝13
9．(中考 河北)求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.求证：AC⊥BD.
课堂导练
AB＝AD
AC平分∠A
BO＝OD
AO为△ABD的高
AO⊥BD
AC⊥BD
以下是排乱的证明过程：
①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；
③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB＝AD.
证明步骤正确的顺序是( )
A．③→②→①→④
B．③→④→①→②
C．①→②→④→③
D．①→④→③→②
课堂导练
B
10．(中考 烟台)对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B′M＝1，则CN的长为( )
A．7
B．6
C．5
D．4
课堂导练
D
CN＝CD－ND
CD＝5
ND＝BM＝
B′M
＝1
11．(中考 新疆)如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边的中点，则MP＋PN的最小值是( )
A．
B．1
C．
D．2
课堂导练
B
AM＇∥BN
M
＇
·
P
AM
＇
＝BN
PN∥AB
AM
＇
NB为平行四边形
PN为△CAB的中位线
同理可得M
＇
P为△CDA的中位线
12．(中考 沈阳)如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF.求证：
(1)△ADE≌△CDF；
AD＝DC,∠A＝∠C
∠DEA＝∠DFC＝90°
课后训练
证明：∵四边形ABCD是菱形∴AD＝CD，∠A＝∠C.
∵DE⊥BA，DF⊥CB，∴∠AED＝∠CFD＝90°.
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF(AAS)．
课后训练
(2)∠BEF＝∠BFE.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB.
∵△ADE≌△CDF，
∴AE＝CF.
∴BE＝BF.
∴∠BEF＝∠BFE.
课后训练
13．(中考 苏州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
课后训练
AB∥CD，AC⊥BD
BD⊥DE
AC∥DE
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD.
∵DE⊥BD，
∴DE∥AC.
∴四边形ACDE是平行四边形．
课后训练
(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．
课后训练
对角线垂直且平分
AO＝4，OD＝3
根据勾股定理，AD＝5
AD＋DE＋AE
四边形ACDE是平行四边形
CD＝AE＝5，DE＝AC＝8
课后训练
解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，AC⊥BD.
∴AD＝CD＝
＝
＝5.
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.
∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.
14．(中考 柳州)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2.
(1)求菱形ABCD的周长；
课后训练
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2.
∴菱形ABCD的周长为8.
菱形的四条边都相等
(2)若AC＝2，求BD的长．
课后训练
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝
AC＝1，OB＝OD，且∠AOB＝90°.
∴OB＝
＝
＝
.
∴BD＝2OB＝2
.
BD＝2BO
BO＝
15．(中考 江西)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．
类比法
精彩一题
(1)如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________，CE与AD的位置关系是__________．
精彩一题
BP＝CE
CE⊥AD
AB＝BC＝CD＝DA
∠ABC＝60°
△ABC为等边三角形
AB＝AC
∠BAC＝60°
△APE为等边三角形
AP＝AE
∠PAE＝60°
∠BAP＝∠CAE
△ABP≌△ACE
BP＝CE
BD是菱形的对角线，∠ABP＝30°
H
△ABP≌△ACE,
∠ACE＝30°
∠ACE＝30°,∠CAH＝60°
∠CHA＝90°，CE⊥AD
(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由
(选择图②、图③中的一种情况予以证明或说理)．
精彩一题
用类比(1)中的方法解决问题
证明：选题图②，如图①，连接AC交BD于O，设CE交AD于H.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠ADC.
又∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝60°.
易得∠ABD＝∠CBD＝30°.
∴△ABC，△ACD都是等边三角形．
∴AB＝AC，∠BAC＝60°.
结论仍然成立．
精彩一题
精彩一题
选题图③，如图②，连接AC交BD于O，设CE交AD于H.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠ADC.
又∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝60°.
易得∠ABD＝∠CBD＝30°.
∴△ABC，△ACD都是等边三角形．
∴AB＝AC，∠BAC＝60°.
精彩一题
∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°.
∴∠BAP＝∠CAE.
∴△BAP≌△CAE(SAS)．
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°.
易知∠CAH＝60°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°.
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD.(共20张PPT)
第1节
菱形的性质与判定
第3课时
菱形性质与判定的灵活运用
第一章
特殊平行四边形
北师版
九年级上
1
2
3
4
△BDF是等腰三角形；
四边形BFDG是菱形；
6；8
C
△APD≌△BQC；
四边形ABQP为菱形
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答案显示
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1．(中考 毕节)如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP，BQ，PQ.
AD＝BC，AD∥BC
∠ADP＝∠DBC
∠DBC＝∠BCQ
∠ADP＝∠BCQ
△APD≌△BQC
(1)求证：△APD≌△BQC；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠ADP＝∠DBC.
∵CQ∥DB，∴∠BCQ＝∠DBC.
∴∠ADP＝∠BCQ.
∵DP＝CQ，∴△APD≌△BQC(SAS)．
(2)若∠ABP＋∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．
CQ∥DB，且CQ＝DP
四边形DPQC是平行四边形
DC∥PQ，且DC＝PQ
AB∥PQ，且AB＝PQ
四边形ABQP是平行四边形
∠APB＋∠APD＝180°
∠ABP＝∠APB
AB＝AP
证明：CQ∥DB，且CQ＝DP，
∴四边形CQPD是平行四边形，
∴CD＝PQ，CD∥PQ.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴AB＝PQ，AB∥PQ.
∴四边形ABQP是平行四边形．
∵△APD≌△BQC，∴∠APD＝∠BQC.
又∵∠APD＋∠APB＝180°，
∠ABP＋∠BQC＝180°，∴∠ABP＝∠APB.
∴AB＝AP.
∴四边形ABQP为菱形．
2．(中考 兰州)如图①，将一张长方形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证：△BDF是等腰三角形；
AD∥BC
∠FDB＝∠DBC
∠FBD＝∠DBC
∠FDB＝∠
FBD
证明：由折叠得△BDC≌△BDE，
∴∠DBC＝∠DBE.
又∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC.
∴∠DBC＝∠FDB.∴∠DBE＝∠FDB.
∴DF＝BF.
∴△BDF是等腰三角形．
(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
ABCD是长方形
AD∥BC，FD∥BG
BFDG是平行四边形
△BDF是等腰三角形
BF＝FD
BFDG是菱形
证明：①四边形BFDG是菱形．
理由：∵四边形ABCD是长方形，
∴FD∥BG.
又∵DG∥BE，
∴四边形BFDG是平行四边形．
∵DF＝BF，
∴四边形BFDG是菱形．
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
BD＝10，
四边形BFDG是菱形,
FG⊥BD
OD＝OB＝5
FG＝2
FO
FO2＝FD2－OD2
FD2
＝BF2＝
AF2
＋AB2
AF＝
8－FD
设FD＝x，求FO
的长
3．(中考 包头)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.
∠BAC＝60°
∠CAD＝30°
AD＝2
CD
AEDF是平行四边形
∠EAD＝∠FDA
AF＝FD
AEDF是菱形
利用勾股定理求DE的长
解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°.
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝
∠CAB＝30°.
在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD＝6.
(1)求AD的长；
(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
解：∵DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF.
又∵∠EAD＝∠FAD，∴∠ADF＝∠FAD.
∴AF＝DF.
∴四边形AEDF是菱形．
∴AE＝DE＝DF＝AF.
∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝30°.
在Rt△CED中，∵∠CDE＝30°，∴CE＝
DE.
又∵CE2＋CD2＝DE2，
∴
＋9＝DE2.
∴DE＝2
(负值舍去)．
∴四边形AEDF的周长为8
.
4．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠BAC＝30°.
根据已知判断△ABC≌△EFA
∠AEF＝∠BAC
EF⊥AC
∠BDF＝30°
△DBF≌△EFA
AE＝DF
FE＝AB
AD＝EF
ADFE是平行四边形
AD＝AB＝4AG
给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；
④FH＝
BD.其中正确的结论是( )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
C
