(共30张PPT)
第2节
矩形的性质与判定
第1课时
矩形及其性质
第一章
特殊平行四边形
北师版
九年级上
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
直角;平行;相等
B
直角；平行四边形；平行四边形；直角
C
相等,
互相平分;4
B
D
等于斜边的一半
D
B
AFCE是平行四边形;EG＝FH.
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13
MN⊥CD
;
3
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14
15
DF＝AB;
8
OE＝OF;
△DOF，
△FOB，
△EOB，
△DOE.
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1．有一个角是________的平行四边形是矩形，它包含两层含义：一是______________＋一直角可得矩形；二是矩形一定是______________且有一个角是_______.
直角
课堂导练
平行四边形
平行四边形
直角
2．(中考 内江)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE与AD交于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为( )
A．31°
B．28°
C．62°
D．56°
D
课堂导练
∠E＝∠C＝90°，∠BDC＝∠BDE＝62°
∠DFE＝180°－∠E－∠FDE
∠FDE＝∠BDE－(∠ADC－∠BDC)
3．矩形的四个角都是__________；
矩形的对边________且________．
直角
课堂导练
平行
相等
4．(中考 荆门)如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是( )
A．△AFD≌△DCE
B．AF＝
AD
C．AB＝AF
D．BE＝AD－DF
课堂导练
B
AD∥BC
,AB＝DC,AD＝BC
∠ADF＝∠DEC
△AFD≌△DCE
AF＝DC＝AB
DF＝EC
BE＝BC－EC
5．(中考 遵义)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为( )
A．10
B．12
C．16
D．18
C
课堂导练
M
N
MN∥AB
MN和EF将矩形ABCD分为4个矩形
S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN.
S△PDF＝S△BEP
6．矩形的对角线________且____________，它们把矩形分成________个等腰三角形．
相等
课堂导练
互相平分
4
7．(中考 兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC等于( )
A．5
B．4
C．3.5
D．3
课堂导练
B
BD＝2AB＝8
AC＝BD＝2OC＝8
8．(中考 益阳)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是( )
A．∠ABC＝90°
B．AC＝BD
C．OA＝OB
D．OA＝AD
课堂导练
D
根据矩形的性质进行判断
9．根据矩形的两条对角线相等且互相平分，将矩形沿一条对角线切去一半后，可得出直角三角形斜边上的中线__________________．
课堂导练
等于斜边的一半
10．(中考 贺州)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为( )
A．3
B．
3
C．6
D．6
课堂导练
D
BC＝2AE
AE2＝AD2＋DE2
11．(中考 绵阳)如图， ABCD的周长是26
cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC的中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3
cm，则AE的长度为( )
A．3
cm
B．4
cm
C．5
cm
D．8
cm
课堂导练
B
AD－AB＝3
AB＝5，AD＝BC＝8
BC＝2AE
12．(中考 百色)在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，CE，AF分别交BD于G，H两点．求证：
(1)四边形AFCE是平行四边形；
AD＝BC,AD∥BC
课后训练
AE＝FC
AE∥FC
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝
AD，CF＝
BC.
∴AE＝CF.
∴四边形AFCE是平行四边形．
课后训练
12．(中考 百色)在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，CE，AF分别交BD于G，H两点．求证：
(2)EG＝FH
课后训练
AD＝BC,AD∥BC
∠EDG＝∠FBH
DE＝FB
四边形AFCE是平行四边形
∠DGE＝∠CGB＝∠FHB
△DEG≌△BFH
EG＝FH
证明：∵四边形AFCE是平行四边形，
∴CE∥AF.
∴∠DGE＝∠AHD＝∠BHF.
∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH.
∵DE＝
AD，BF＝
BC，AD＝BC，
∴DE＝BF.
课后训练
课后训练
在△DEG和△BFH中，
∴△DEG≌△BFH
(AAS)．
∴EG＝FH.
13．如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，M，N分别是AB，CD的中点．
(1)求证：MN⊥CD；
课后训练
根据三角形中位线的性质进行证明
证明：如图，连接CM，DM.
由已知易得CM＝
AB，DM＝
AB，
∴CM＝DM.
又∵点N为CD的中点，
∴MN⊥CD.
课后训练
(2)若AB＝10，CD＝8，求MN的长．
课后训练
解：∵AB＝10，CD＝8，
∴DM＝
AB＝5，DN＝
CD＝4.
又∵MN⊥CD，
∴MN＝
＝3.
14．(中考 张家界)如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.
(1)求证：DF＝AB.
课后训练
∠B＝90°，
AD∥BC
∠DAF＝∠AEB
∠AFD＝∠B＝90°
△ADF≌△EAB
课后训练
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC.
∴∠AEB＝∠DAF.
∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°.
∴∠DFA＝∠B.
又∵AD＝EA
，∴△ADF≌△EAB(AAS)．
∴DF＝AB.
(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD.
课后训练
∠ADF＝90°－30°＝60°
∠DAF＝30°
AD＝2DF＝2
AB
解：∵∠DAF＋∠FDA＝90°，
∠FDC＋∠FDA＝90°，
∴∠DAF＝∠FDC＝30°.
∴AD＝2DF.
又∵DF＝AB，
∴AD＝2AB＝2×4＝8.
课后训练
15．(中考 香坊区)如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F.
(1)求证：OE＝OF；
定义法
精彩一题
AB＝DC,AB∥DC
∠FDO＝∠EBO
∠DOF＝
∠BOE,
OD＝OB
△AOE≌△COF
精彩一题
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD.
∴∠OAE＝∠OCF.
在△OAE和△OCF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)．∴OE＝OF.
(2)如图②，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于
BD的所有的等腰三角形．
精彩一题
四边形ABCD是平行四边形
DF∥EB
△DOF＝△BOE
DF＝EB
四边形DFEB是矩形
矩形对角线相等且互相平分
解：腰长等于
BD的所有的等腰三角形为△DOF，△FOB，△EOB，△DOE.
精彩一题(共20张PPT)
第2节
矩形的性质与判定
第3课时
矩形性质与判定的灵活运用
第一章
特殊平行四边形
北师版
九年级上
1
2
3
4
四边形ACDF是平行四边形；BC＝2CD
ABCD是矩形；
18°
四边形ABFC为矩形；4
四边形AECF是平行四边形；30
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1．(中考 扬州)如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
AB＝DC，AD∥BC
AF∥EC
∠FNC＝∠EMA
∠ANF＝∠CME
AM＝AB,NC＝CD
AN＝CN
∠FAN＝∠ECM
△ANF≌△CME
AF＝CE
证明：由题意可得AM＝AB，CN＝CD，
∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，
∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°.
∴∠ANF＝∠CME.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC.
∴AM＝CN，∠FAN＝∠ECM.
∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.
在△ANF和△CME中，
∴△ANF≌△CME
(ASA)．
∴AF＝CE.
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
S四边形AECF＝CE×AB
CE＝BC－BE
BC＝8,CM＝4
BE＝ME
∠B＝∠EMC＝90°
CE2＝EM2＋CM2
求出CE的值，再求面积
解：∵AB＝6，AC＝10，∴BC＝8.
设CE＝x，则EM＝BE＝8－x，
CM＝10－6＝4.
在Rt△CEM中，(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5.
∴四边形AECF的面积为CE AB＝5×6＝30.
2．(中考 连云港)如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
AF∥CD
∠FAE＝∠CDE
AE＝DE
∠FEA＝∠
DEC
△FAE≌△CDE
AF＝CD
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴FB∥CD.∴∠FAE＝∠CDE.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE
(ASA)．∴CD＝FA.
∵CD∥FA，∴四边形ACDF是平行四边形．
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
∠DEC＝45°
∠DCE＝45°
DE＝DC
BC＝AD＝2DE
解：BC＝2CD.理由如下：
∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝45°.
∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形．
∴CD＝DE.
∵E是AD的中点，∴AD＝2ED.∴AD＝2CD.
∵AD＝BC，∴BC＝2CD.
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
四边形ABCD是平行四边形
对角相等
∠ABC＝∠ADC＝90°
证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴∠ABC＝∠ADC.
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°.
∴ ABCD是矩形．
(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
∠
FDC＝36°
∠
DCO＝90°－∠FDC
∠
BDF＝∠ODC－∠FDC
OD＝OC
∠ODC＝∠
DCO
解：∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，
∴∠FDC＝36°.
∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°.
∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD.
∴∠ODC＝∠DCO＝54°.
∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝54°－36°＝18°.
4．如图，已知点E是 ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形；
AB∥CF
∠BAE＝∠EFC
BE＝EC
∠AEB＝∠CEF
△ABE≌△FCE
△ABE≌△FCE
AE＝EF
∠AEC＝∠ABC＋∠BAE
∠ABC＝∠BAE
AB＝CF
AE＝BE
AF＝BC
AB＝CF
ABCF是平行四边形
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC.
∴∠ABE＝∠ECF.
又∵点E为BC的中点，∴BE＝CE.
在△ABE和△FCE中，
∴△ABE≌△FCE
(ASA)．∴AB＝CF.
又∵AB∥CF，∴四边形ABFC为平行四边形．
∴AE＝EF.
∵∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.
又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠EAB.
∴AE＝BE.
∵BE＝CE，∴AE＋EF＝BE＋CE，即AF＝BC.
∴四边形ABFC为矩形．
(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．
四边形ABCF是矩形
∠ACF＝90°
S矩形ABFC＝AC×CF
CF＝CD＝2
AC2＝AD2－CD2
解：∵四边形ABFC是矩形，
∴AC⊥DF.
又∵△AFD是等边三角形，
∴CF＝CD＝
＝2.
∴AC＝
＝2
.
∴S矩形ABFC＝2
×2＝4
.(共27张PPT)
第2节
矩形的性质与判定
第2课时
矩形的判定
第一章
特殊平行四边形
北师版
九年级上
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
B
相等；相等；互相平分
平行四边形；直角；四边形
C
A
B
C
B
AB＝AF;
四边形ACDF是矩形
△DCA≌△EAC;
四边形ABCD为矩形
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13
四边形EFGH是平行四边形；
AC⊥BD
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1．对角线________的平行四边形是矩形；
对角线________且______________的四边形是矩形．
相等
课堂导练
相等
互相平分
2．在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A．AB＝AD
B．OA＝OB
C．AC＝BD
D．DC⊥BC
A
课堂导练
对角线互相平分
对角线相等且互相平分，四个角都是直角
可能是菱形
3．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件可以是( )
A．AB＝CD
B．AD＝AC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
D
课堂导练
四边形ABCD是平行四边形
4．(中考 攀枝花)下列关于矩形的说法中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
课堂导练
B
平行四边形
相等且互相平分
相等且互相平分
5．有一个角是直角的______________是矩形．
有三个角是________的__________是矩形．
平行四边形
课堂导练
直角
四边形
6．(中考 崇左)如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，FH，则图中的矩形共有( )
A．5个
B．8个
C．9个
D．11个
课堂导练
C
O
7．(中考 广安)下列说法：
①三角形的三条高一定都在三角形内；
②有一个角是直角的四边形是矩形；
③两边及一角对应相等的两个三角形全等；
④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
其中正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
课堂导练
A
钝角三角形两条高在三角形外部
平行四边形
SSA不成立
可能是等腰梯形
8．(中考 上海)已知 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠A＝∠B
B．∠A＝∠C
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
课堂导练
B
有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
邻角互补
9．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH成为矩形，应添加的条件是( )
A．AB∥DC
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．AB＝DC
课堂导练
C
EF＝GH，EH＝FG
四边形EFGH是平行四边形
有一个角是直角的平行四边形是矩形;
对角线相等的平行四边形是矩形
10．如图，在锐角三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角平分线于点F，连接AE，AF.
课堂导练
∠BCE＝∠ACE
∠ACF＝∠FCD
∠OEC＝∠BCE＝∠ACE,
∠OFC＝∠FCD＝∠ACF,
OE＝OC,
OF＝OD
下列结论正确的是( )
①OE＝OF；②CE＝CF；
③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；
④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．
A．①②
B．①④
C．①③④
D．②③④
课堂导练
B
OC＞6
OC＝OE＝AO
AC＝EF且互相平分
11．(中考 青岛)已知：如图， ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.
(1)求证：AB＝AF；
AB∥DC，AB＝DC
∠AFG＝∠DCG
AG＝GD,
∠AGF＝∠DGC
△AGF≌△DGC
AF＝DC
课后训练
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BF∥CD，AB＝CD.
∴∠AFG＝∠DCG.
∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，
∴△AGF≌△DGC
(AAS)．
∴AF＝CD.
∴AB＝AF.
课后训练
(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
AG＝AF
∠ABC＝60°＝∠FAD
AB＝AF
AF∥CD，AF＝CD
四边形AFDC是平行四边形
△AGF是等边三角形
FG＝AG
AG＝GD＝FG＝GC
FC＝AD
对角线相等且互相平分
课后训练
结论：四边形ACDF是矩形．
证明:∵AF＝CD，AF∥CD,∴四边形ACDF是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°.∴∠FAG＝60°.
∵AB＝AG＝AF，
∴△AGF是等边三角形．∴AG＝GF.
∵△AGF≌△DGC，∴FG＝CG.
∵AG＝GD，∴AD＝CF.∴四边形ACDF是矩形．
课后训练
12．(中考 日照)如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：△DCA≌△EAC.
课后训练
AC为公共边
SSS
△DCA≌△EAC
证明：在△DCA和△EAC中，
∴△DCA≌△EAC
(SSS)．
课后训练
(2)只需添加一个条件，即________，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
课后训练
AD＝BC
∠D＝90°
添加条件使四边形ABCD为平行四边形
证明：∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵CE⊥AE，∴∠E＝90°.
由(1)得△DCA≌△EAC，
∴∠D＝∠E＝90°.∴四边形ABCD为矩形．
13．(中考 兰州)阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是
平行四边形吗？
逆向思维法
精彩一题
小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.
精彩一题
结合小敏的思路作答：
(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由．
精彩一题
EF
与GH的位置与长度关系不变
证明：四边形EFGH还是平行四边形．理由如下：
连接AC.
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝
AC.
∵H，G分别是AD，CD的中点，
∴HG∥AC,
HG＝
AC.
∴EF∥HG，EF＝HG.
∴四边形EFGH是平行四边形．
精彩一题
(2)如图②，在(1)的条件下，若连接AC，BD.当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是矩形？直接写出结论．
EF∥AC，FG∥BD
EF⊥FG
AC⊥BD
精彩一题
解：当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．
精彩一题
