(共31张PPT)
第3节
正方形的性质与判定
第2课时
正方形的判定
第一章
特殊平行四边形
北师版
九年级上
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13cm
B
B
轴，4，
，a2
B
C
矩形；菱形；矩形；菱形；平行四边形；菱形；矩形
A
D
D
B
四边形ABCD是菱形;四边形ABCD是正方形
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13
矩形ABCD是正方形
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14
a2＋b2,拼接成正方形MNED;能
1．正方形是________对称图形，它有______条对称轴．若正方形的边长为a，则它的对角线长为________，面积为________．
轴
课堂导练
4
a2
2．如图，菱形ABCD的面积为120
cm2，正方形AECF的面积为50
cm2，则菱形的边长为________．
13
cm
课堂导练
S菱形ABCD
＝
AC×BD＝120
S正方形AECF
＝
AC×EF＝
AC
2
AC＝＝10
BD＝24
根据菱形的性质和勾股定理求菱形边长
3．(中考 宜昌)如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J，则图中阴影部分的面积等于( )
A．1
B.
C.
D.
B
课堂导练
△ABC≌△ADC
△AGE≌△AIE
△AHF≌△AJF
S阴影＝S△ADC
4．(中考 台州)小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了( )
A．1次
B．2次
C．3次
D．4次
课堂导练
B
正方形的对角线相等且互相垂直平分
5．将五个边长都为2
cm的正方形按如图所示摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分面积的和为( )
A．2
cm2
B．4
cm2
C．6
cm2
D．8
cm2
课堂导练
B
根据割补法确定一块阴影的面积是正方形面积的
6．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点O旋转，若两正方形的边长相等，则两正方形的重合部分的面积( )
A．由小变大
B．由大变小
C．始终不变
D．先由大变小，后由小变大
课堂导练
C
根据割补法得S重合部分＝S△BOC＝S□ABCD
7．判定一个四边形是正方形，就要判定它既是______，又是________．具体判定方法如下：
对角线互相垂直的________是正方形；
对角线相等的________是正方形；
对角线互相垂直且相等的____________是正方形；
有一个角是直角的________是正方形；
有一组邻边相等的________是正方形．
课堂导练
矩形
菱形
矩形
菱形
平行四边形
菱形
矩形
8．(中考 常州)下列命题中，假命题是( )
A．一组对边相等的四边形是平行四边形
B．三个角是直角的四边形是矩形
C．四边相等的四边形是菱形
D．有一个角是直角的菱形是正方形
课堂导练
A
根据正方形的判定进行判断
9．(中考 滨州)下列命题，其中是真命题的为( )
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
课堂导练
D
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
菱形对角线互相垂直平分
矩形对角线相等且互相平分
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，连接CE，CF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )
A．BC＝AC
B．CF⊥BF
C．BD＝DF
D．AC＝BF
课堂导练
D
BE＝EC，BF＝FC
ECFB是菱形
再根据正方形的判定进行判断
11．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF，交AD于O，则下列结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③AE＋DF＝AF＋DE；④当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．
其中一定正确的是( )
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②③④
B
课堂导练
△AED≌△AFD
AE＝AF，DE＝DF
△AEO≌△AFO
EO＝FO
AD⊥EF
AEDF是矩形
AE＝AF
AEDF是正方形
12．(中考 上海)已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且
EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
课后训练
△ADE≌△CDE
∠ADE＝∠CDE
∠ADE＝∠DBC
∠CBD＝∠CDE
BC＝CD＝AD
ABCD是菱形
证明：在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE
(SSS)．
∴∠ADE＝∠CDE.
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD.
课后训练
∴∠CDE＝∠CBD.∴BC＝CD.
∵AD＝CD，∴BC＝AD.
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
课后训练
(2)如果BE＝BC，且∠CBE
：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
课后训练
∠BEC＝∠ECB
∠CBD＝45°
∠CDB＝45°
∠ADB＝∠CDB＝45°
∠ADC＝90°
有一个直角的菱形是正方形
课后训练
证明：∵BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC.
∵∠CBE：∠BCE＝2：3，
∴∠CBE＝180°×
＝45°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝45°.∴∠ABC＝90°.
∴四边形ABCD是正方形．
13．(中考 舟山)如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.
求证：矩形ABCD是正方形．
四个角都是直角
CE＝CF
∠AEB＝∠AFD
AF＝AE
△AEB≌△AFD
AD＝AB
有一组邻边相等的矩形是正方形
课后训练
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.
∵∠CEF＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°.
课后训练
∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°.
∴△ABE≌△ADF
(AAS)．
∴AB＝AD.
∴矩形ABCD是正方形．
课后训练
14．对于边长均为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图①所示的方式摆放，沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为四边形BNED.
从拼接的过程容易得到结论：
①四边形BNED是正方形．
②S四边形ABCD＋S正方形EFGH＝S正方形BNED.
动手操作题
精彩一题
实践与操作
(1)对于边长分别为a，b(a＞b)的两个正方形ABCD和EFGH，按图②所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作
MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN
与EN相交于点N.
精彩一题
△ADM≌△CDE
∠ADM＋∠MDC＝∠EDC＋∠MDC
∠ADM＝∠EDC
DMNE是矩形
DM＝DE
①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；
精彩一题
AD＝a,
GF＝b
△ADM≌△CDE
AM＝CE＝GF＝b
S正方形MNED＝MD
2
MD
2＝AM2＋AD2
证明：由作图的过程可知四边形MNED是矩形．
∵∠ADM＋∠MDC＝∠CDE＋∠MDC
＝90°，∴∠ADM＝∠CDE.
在△ADM和△CDE中，
∴△ADM≌△CDE
(ASA)．
精彩一题
∴DM＝DE.
∴矩形MNED是正方形．
∵DE2＝CD2＋CE2＝a2＋b2，
∴正方形MNED的面积为a2＋b2.
精彩一题
②在图②中，将正方形ABCD和正方形EFGH剪开后，能够拼接成正方形MNED，请简略说明你的拼接方法(类比图①，用数字表示对应的图形)；
精彩一题
过点N作NP⊥BE，垂足为P
P
根据全等三角形的判定求得拼接方法
解：如图，过点N作NP⊥BE，垂足为P.
可证明图中的6与5位置的两个直角三
角形全等，4与3位置的两个直角三角形全等，1与2位置的两个直角三角形全等，
故将5放到6的位置，将4放到3的位置，将1放到2的位置，恰好拼接成正方形MNED.
精彩一题
(2)对于n(n是大于2的自然数)个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接为一个正方形？请简略说明你的理由．
精彩一题
解：能．理由如下：
从上述的拼接过程可以看出：任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形再拼接为一个正方形，…，以此类推．
由此可见，对于n(n是大于2的自然数)个任意的正方形，可以通过(n－1)次拼接，得到一个正方形．
精彩一题(共17张PPT)
第3节
正方形的性质与判定
第3课时
正方形性质与判定的灵活运用
第一章
特殊平行四边形
北师版
九年级上
1
2
3
四边形EGFH是平行四边形；菱形EGFH是正方形
PC＝PE；∠CPE＝90°；AP＝CE
EF＝
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1．如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.
(1)求证：EF＝FM；
△DAE≌△DCM
∠EDM＝90°
∠FDM＝∠EDF＝45°
△DEF≌△DFM
DE＝DM
证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD＋∠DCM＝180°.
∴F，C，M三点共线，DE＝DM，∠EDM＝90°.
∵∠EDF＝45°.
∴∠MDF＝∠EDF＝45°.
又∵DF＝DF，
∴△DEF≌△DMF
(SAS)．
∴EF＝MF.
(2)当AE＝1时，求EF的长．
BE＝2
EF2＝BE2＋BF2
BF＝BM－FM＝BM－EF
BM＝BC＋CM＝4
将相关数据代入EF2＝BE2＋BF2，求EF的值
解：设EF＝MF＝x.
∵AE＝CM＝1，且BC＝3，
∴BM＝BC＋CM＝3＋1＝4.
∴BF＝BM－MF＝BM－EF＝4－x.
∴EB＝AB－AE＝3－1＝2.
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2＋BF2＝EF2，即22＋(4－x)2＝x2，
解得x＝
，则EF＝
.
2．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上任意一点(E与A，D不重合)，G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
FH∥GE，GF∥EH
证明：∵G，F分别是BE，BC的中点，∴GF∥EC.
同理，FH∥BE.
∴四边形EGFH是平行四边形．
(2)EF和BC满足什么关系时，平行四边形EGFH是正方形？
GH∥BC，
GH＝BC
EF⊥GH
EGFH是菱形
EF＝BC
EF＝GH
EGFH是正方形
解：EF和BC满足关系EF＝
BC且EF⊥BC时，平行四边形EGFH是正方形．证明如下：
连接GH.
∵G，H分别是BE，CE的中点，
∴GH∥BC，GH＝
BC.
∵EF⊥BC，
∴EF⊥GH.
又由(1)知四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形EGFH是菱形．
∵GH＝
BC，EF＝
BC，
∴EF＝GH.
∴菱形EGFH是正方形．
3．如图①，在正方形ABCD中，P是BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.
(1)求证：PC＝PE；
AD＝CD
△ADP≌△CDP
PA＝PC
∠ADP＝∠CDP
DP＝DP
PC＝PE
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP.
∵DP＝DP，
∴△ADP≌△CDP
(SAS)．
∴PA＝PC.
∵PA＝PE，
∴PC＝PE.
(2)求∠CPE的度数；
△ADP≌△CDP
∠EAP＝∠DCP＝∠E
∠E＋∠EFD＝90°
∠EFD＝∠CFP
∠FCP＋∠CFP＝90°
∠CPE＝90°
解：∵△ADP≌△CDP，
∴∠DAP＝∠DCP.
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠E.
∴∠FCP＝∠E.
∵∠PFC＝∠DFE，∠EDF＝90°，
∴∠CPE＝∠EDF＝90°.
(3)如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
AD＝CD
∠ABD＝∠DBC＝60°
∠EDF＝60°
∠CPE＝∠EDF＝60°
PC＝PE
△PCE是等边三角形
PA＝PE
PE＝CE
AP＝CE
解：AP＝CE.理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴∠ADC＝120°.∴∠EDF＝60°.
由(2)可得∠CPE＝∠EDF＝60°.
又∵PC＝PE，∴△PCE是等边三角形．
∴PE＝CE.
∵PA＝PE，∴AP＝CE.(共35张PPT)
第3节
正方形的性质与判定
第1课时
正方形及其性质
第一章
特殊平行四边形
北师版
九年级上
1
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8
9
10
11
12
D
D
矩形,菱形; 相等;直角; 互相平分,垂直,相等
邻边；直角；菱形；矩形
B
C
A
C
C
C
8
AB＝EF
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13
GF＝GC;
BH＝
AE.
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14
①垂直,②BC＝CD＋CF;
①成立，②不成立,正确结论为BC＝CD－CF;
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1．有一组________相等，并且有一个角是________的平行四边形是正方形，因此正方形既是________，又是________．
邻边
课堂导练
直角
菱形
矩形
2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A．∠D＝90°
B．AB＝CD
C．AD＝BC
D．BC＝CD
D
课堂导练
四边形ABCD是矩形
有一组邻边相等
3．下列说法错误的是( )
A．正方形是平行四边形
B．正方形是菱形
C．正方形是矩形
D．菱形和矩形都是正方形
D
课堂导练
正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形、特殊的菱形，
4．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的______、特殊的______，因此它具有矩形、菱形的性质．
(1)边：四条边都________，对边平行．
(2)角：四个角都是________．
(3)对角线：对角线____________、____________、________，并且每条对角线平分一组对角．
课堂导练
矩形
菱形
相等
直角
互相平分
垂直
相等
5．(中考 衡阳)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．每条对角线平分一组对角
B
课堂导练
正方形性质和菱形性质的区别
6．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC等于( )
A．45°
B．55°
C．60°
D．75°
课堂导练
C
∠BAD＝90°，∠BAF＝45°
∠DAE＝60°
∠BCF＝180°－∠BFA
∠BFA＝180°－∠FBA－∠BAF
∠FBA＝(180°－∠BAE)÷2
7．(中考 临沂)如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法中正确的个数是( )
课堂导练
HG∥AC∥EF
EH∥BD∥FG
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等
A．1
B．2
C．3
D．4
课堂导练
√
有可能是正方形
有可能是正方形
不一定互相平分
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且BF＝CE，连接BE，AF相交于点G，则下列结论不正确的是( )
A．BE＝AF
B．∠DAF＝∠BEC
C．∠AFB＋∠BEC＝90°
D．AG⊥BE
课堂导练
C
△ABF≌△BCE
AD∥BC
∠DAF＝∠AFB
∠GBF＋∠BFG＝90°
9．(中考 郴州)如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是( )
A．7
B．8
C．7
D．7
课堂导练
C
G
H
△ABE≌△DCF
△ABE≌△DAH
△DCF≌△BCG
EH＝EG＝7
EHFG是正方形
10．(中考 仙桃)如图，在正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG折叠至△AFG处，延长GF交DC于点E，则DE的长是( )
A．1
B．1.5
C．2
D．2.5
课堂导练
C
AD＝AB＝AF
△ADE≌△AFE
AE＝FE
CE2＝GC2＋CE2
求DE的值
11．(中考 深圳)如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是________．
课堂导练
8
AC＝AF
∠CAE＋∠FAB＝90°
∠CAE＝∠AFB
△CEA≌△FBA
AB＝CE
12．(中考 广安)如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F.求证：AB＝EF.
∠EAF＝∠AMB
课后训练
∠BAF＋∠FAE＝90°
∠AEF＋∠FAE＝90°
∠AEF＝∠BAF
△ABM≌△EFA
AB＝EF
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠B＝90°.
∴∠AMB＝∠EAF.
∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°＝∠B.
又∵AM＝EA，∴△AMB≌△EAF
(AAS)．
∴AB＝EF.
课后训练
13．(中考 北京)如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG
的延长线于点H，连接BH.
(1)求证：GF＝GC；
课后训练
AE＝EF
DA＝DF
△DAE≌△DFE
△DCG≌△DFG
证明：如图，连接DF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°.
∵点A关于直线DE的对称点为F，
∴DA＝DF＝DC，AE＝FE.
在△ADE和△FDE中，
∴△ADE≌△FDE
(SSS)
课后训练
∴∠DFE＝∠A＝90°.
∴∠DFG＝90°.
在Rt△DFG和Rt△DCG中，
∴Rt△DFG≌Rt△DCG
(HL)．
∴GF＝GC.
课后训练
(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
课后训练
通过画辅助线，根据正方形和三角形的性质解题
课后训练
解：BH＝
AE.
证法一：如图①，在线段AD上截取AM，
使AM＝AE，连接ME.
∵AD＝AB，∴DM＝BE.
由(1)知∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵∠ADC＝90°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°.
∴2∠2＋2∠3＝90°.
课后训练
∴∠2＋∠3＝45°，即∠EDG＝45°.
∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°.
∴△DEH是等腰直角三角形．
∴∠AED＋∠BEH＝∠AED＋∠1＝90°，DE＝EH.
∴∠1＝∠BEH.
课后训练
在△DME和△EBH中，
∴△DME≌△EBH
(SAS)．
∴EM＝HB.
在Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，
∴EM＝
AE.∴BH＝
AE.
课后训练
证法二：如图②，过点H作HN⊥AB，
交AB的延长线于点N，
∴∠ENH＝90°.∴∠A＝∠ENH.
由证法一可知DE＝EH，∠1＝∠NEH.
在△DAE和△ENH中，
∴△DAE≌△ENH
(AAS)．
课后训练
∴AE＝NH，AD＝EN.
∵AD＝AB，
∴AB＝EN＝AE＋BE＝BE＋BN.
∴AE＝BN＝HN.
∴△BNH是等腰直角三角形．
∴BH＝
HN＝
AE.
14．(中考 达州)某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.
类比思想
精彩一题
(1)观察猜想
如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为________；
精彩一题
垂直
∠BAC＝90°
∠BAD＝∠FAC
正方形ADEF
AB＝AC
AD＝AF
△BAD≌△CAF
∠B＝∠ACF
∠B＋∠ACB＝90°
∠FCA＋∠ACB＝90°
②BC，CD，CF之间的数量关系为_______________．(将结论直接写在横线上)
精彩一题
BC＝CD＋CF
BC＝CD＋CF
△BAD≌△CAF
CF＝BD
(2)数学思考
如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
精彩一题
∠BAC＝90°
∠BAD＝∠FAC
正方形ADEF
AB＝AC
AD＝AF
△BAD≌△CAF
∠ADB＝∠AFC
∠ADB＋∠AGB＝90°
∠CFA＋∠FGC＝90°
BC＝CD－BD＝CD－CF
G
①成立，②不成立．
正确结论为BC＝CD－CF.
证明：∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°.
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝90°－∠BAF＝∠FAC.
又∵AD＝AF，AB＝AC，
精彩一题
∴△DAB≌△FAC
(SAS)．
∴BD＝CF，∠DBA＝∠FCA.
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
∴∠DBA＝∠FCA＝135°.
∴∠BCF＝90°，即CF⊥BC.
∵BC＝CD－BD，BD＝CF，
∴BC＝CD－CF.
精彩一题
(3)拓展延伸
如图③，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若已知AB＝2
，CD＝
BC，请求出GE的长．
精彩一题
M
N
P
∟
∟
∟
根据等腰直角三角形的性质得到BC、AM、DM的值
根据正方形的性质得到AD＝AE，∠ADE＝90°
根据矩形的性质得到EP＝CN，EN＝CP
根据全等三角形的性质得到EN＝DM，DN＝AM
等量代换得CP＝EN＝3，EP＝CN＝3
CG＝BC＝4，根据勾股定理求GE的长
解：分别过点A，E作AM⊥BC，EN⊥BC，EP⊥CF，垂足分别为M，N，P，易得四边形PCNE为矩形．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2
，
∴BC＝4，AM＝BM＝MC＝2.
∵CD＝
BC，∴CD＝1，MD＝3.
易得∠ADM＋∠EDN＝90°，∠EDN＋∠DEN＝90°，∴∠ADM＝∠DEN.
∵∠AMD＝∠DNE＝90°，AD＝DE，
∴△AMD≌△DNE
(AAS)．
∴AM＝DN＝2，EN＝MD＝3.
∴CP＝EN＝3.
又易知CG＝BC＝4，∴GP＝4－3＝1.
在Rt△GPE中，GP＝1，PE＝CN＝1＋2＝3，
∴GE＝
＝
.
