高三函数最值问题的解决策略微专题

函数的最值习题课
学习目标：
1.掌握求函数最值过程中的分类讨论；
2.掌握最值问题中的特殊值与恒成立之间的相互转化。

一、求函数最值中的分类讨论
例1.设函数f(x)＝－x3＋mx2－m(m＞0)，函数g(x)＝|f(x)|，求g(x)在区间[0，m]上的最大值．











例2.已知函数和.
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）当时，求函数在区间上的值域.




















二、已知函数的最值求参数的值
例3. 在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为____________.










例4.已知,其中是自然常数,是否存在实数,使
()有最小值3？








例5. 设函数(,).
若在上的最大值为,求的值.













巩固练习
1.已知函数，，其中.
（1）当时，求函数的值域；
（2）若对任意，均有，求的取值范围；
（3）当时，设，若的最小值为，求实数的值.












2.的最大值为2,则的值为_________.






3.若函数的值域为，则的取值是_________．





4.已知a＞0，函数在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________．




解析与答案
例1解：因为f(x)＝－x3＋mx2－m，所以f ′(x)＝－3x2＋2mx＝－x(3x－2m)．
由f ′(x)＝0，得x＝或x＝0．
当0＜x＜时，f ′(x)＞0，所以f(x)在上为增函数；
当＜x＜m时，f ′(x)＜0，所以f(x)在上为减函数；
所以，f(x)极大值＝f＝m3－m．
因为|f(0)|＝|f(m)|＝m．
①当≥m，即m≥，g(x)max＝m3－m．(6分)
②当＜m，即0＜m＜时，g(x)max＝m．
综上，g(x)max＝


例2解：（1）函数，其定义域为，
1°当时，，∵，
∴为偶函数；
2°当时，，取，，
∵，∴且，∴既非奇函数又非偶函数；
（2）函数，其中，
设函数，其对称轴为，，，
1°当，即时，对恒成立且在上单调递增，
∴在上单调递减，∴，，
即的值域为；
2°当，即时，令，有（舍）和，
在上单调递增，且当时，；当时，，
∴在上递减，在上递增，且，∴，

①当，即时，，即的值域为；
②当，即时，，即的值域为.


例3解析：即已知的最小值为8,求a；
令，换元后讨论对称轴
答案：或




例4.答案：
① 当时,,所以, 所以在上单调递减,
,(舍去),
所以,此时无最小值
②当时,在上单调递减,在上单调递增
,,满足条件
③ 当时,,所以,
所以在上单调递减,,(舍去),
所以,此时无最小值
综上,存在实数,使得当时有最小值3

例5.解：由知①②,
①加②得又∵∴∴
将代入①②得∴





巩固练习
1.解析：（1）当a=0时，，，借助换元法及二次函数图象及性质即可求函数g（x）的值域；
（2）分类讨论，|f（x）|≤2，可化为，变量分离，构建新函数求最值，即可求a的取值范围；
（3）分类讨论，利用配方法，结合的最小值为，求实数a的值．
答案（1）;(2) ;(3) .
2. 解析：计算即可。答案：
3.解析：注意到，故有相同零点。答案：－1
4. 解析：注意到故。答案：3或