华师大版数学八年级19.3正方形教学设计
课题
19.3正方形
单元
第十九章矩形、菱形与正方形
学科
数学
年级
八
学习
目标
知识目标：
1、掌握正方形的定义和性质定理．
2、会运用正方形的定义和性质进行有关的证明和计算．
3、知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算．
4、经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习 惯，逐步掌握说理的基本方法．
能力目标：
经历探究性质的过程，发展学生的合理论证能力．
情感目标：
理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点．激发学生的学习热情，加深对“特殊与一般”的认识．
重点
掌握正方形的性质及判定条件．
难点
会运用正方形的性质及判定进行有关的计算和证明．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出什么形状的纸片？
生：正方形．
师：正方形具有什么性质？本节课我们就对正方形的性质和判定进行探究．
折纸，进行猜想．
引入课题激发学生的兴趣．
讲授新课
师：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？
菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什发现？
生：有一组邻边相等的矩形是正方形．
有一个角是直角的矩形是正方形．
归纳：有一组邻边相等的矩形是正方形．
有一个角是直角的矩形是正方形．
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
师：请同学们归纳正方形的性质并填写下表：
师：请同学们完成正方形四边相等，四个角都是直角的证明．
生：根据命题画出图形、写出已知、求证并进行证明．
例1 如图，已知正方ABCD．求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数．
师：正方形的判定方法有哪些？
生：归纳正方形的判定方法．
板书：正方形的判定方法．
有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形．
有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形．
有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形．
师：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有何关系？
生：观察课件中平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系图并归纳出结论．
结论：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形．正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质．
进行探究活动．
归纳正方形的性质．
对命题进行证明．
完成例1的解答．
归纳正方形的判定方法．
归纳观察课件中平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系．
体会正方形是特殊的矩形、菱形和平行四边形．
掌握正方形的性质．
进一步掌握正方形的性质，培养学生推理的能力．
掌握正方形的判定方法．
进一步体会正方形是特殊的矩形、菱形、平行四边形．
课堂练习
1、下列判断中正确的是 ( )
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
2、正方形具有而矩形不一定有的性质是( )
A．四个角是直角 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角线相等
3、矩形,菱形,正方形都具有的性质是 ( )
A．邻边相等 B． 邻角相等
C．对边相等 D． 对角互补
4、在正方形ABCD中，∠ADB=_________，∠DAC=_________， ∠BOC=_________．
5、在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是_________．.
6、如图，分别延长等腰直角三角形OAB的两条直角边AO和BO，使AO=OC，BO=OD．求证：四边形ABCD是正方形．
拓展提高：
7、如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF．BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
中考链接：
【2018?浙江】如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°．求证：矩形ABCD是正方形．
完成课堂练习．
通过课堂练习的完成熟练掌握正方形的性质和判定，培养学生运用所学知识解决问题的能力．
课堂小结
1、正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
2、正方形的性质：
正方形的对边平行，四条边都相等，四个角都是直角．
正方形的对角线相等，且互相垂直平分．
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴．
3、正方形的判定：
有一组邻边相等的矩形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形；
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
对本节课所学的知识进行归纳．
通过对本节课知识的归纳，系统掌握本节课所学的知识，培养学生归纳的能力．
板书
1、正方形的定义：
2、正方形的性质：
3、正方形的判定：
例1
19.3 正方形
时间：30分钟，总分：100分 班级：_____________ 姓名：_____________
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分
C．对角线平分一组对角 D．四条边相等
2．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它为正方形的条件是（ ）
A．AO=CD B．AO=CO=BO=DO
C．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD D．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
3． 甲、乙、丙、丁四位同学到工厂实习，工人师傅拿一把尺子要他们帮助检测一个四边形构件是否为正方形，他们各自做了如下检测：
甲量得构件四边都相等；乙量得构件的两条对角线相等；丙量得构件的一组邻边相等；丁量得构件的四边相等且两条对角线也相等．检测后，他们都说是正方形，你认为说得最有把握的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4． 如图，正方形ABCD的对角AC，BD交于点O，则结论①AB=BC=CD=DA；②AO=BO=CO=DO；③AC⊥BD中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图，延长正方形ABCD的一边BC至E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC的度数是（ ）
A．112.5° B．120° C．122.5° D．135°
6．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2016次相遇在边（ ）
A．AB上 B．BC上 C．CD上 D．DA上
二．填空题（每小题5分，共30分）
7．如图，平行四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，请你添加一个适当的条件________________，使ABCD成为正方形（只需添加一个即可）．
8．如图，四边形ABCD为矩形，添加一个条件：_________，可使它成为正方形．
9．已知一个正方形的对角线长为4cm，则正方形的周长是________cm．
10．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F，若BE=2，则CF长为__________．
11．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足条件_____________时，四边形BEDF是正方形．
12．如图，在正方形ABCD中，点P在AB边上，AE⊥DP于E点，CF⊥DP于F点，若AE=3，CF=5，则EF=_________．
三、解答题（共40分）
13．（本题满分12分）如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE=CF，求证：DE=DF．
14．（本题满分14分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E，F．
求证：四边形DECF是正方形．
15．（本题满分14分）如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，直线AE交CD于点G．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）若∠CBF=65°，求∠AGC的度数．
参考答案
一、选择题：
1．【答案】A．
【解析】正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且平分一组对角；菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分．∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．故选A．
2．【答案】D．
【解析】A、不能判定为特殊的四边形；B、只能判定为矩形；C、只能判定为菱形；D、能判定为正方形；故选D．
3．【答案】D．
【解析】甲：∵构件四边都相等，∴此四边形是菱形；
乙：∵两条对角线相等，∴没法判定是什么四边形；
丙：∵一组邻边相等，∴没法判定是什么四边形；
丁：∵四边相等，∴此四边形是菱形，∵两条对角线也相等，∴此四边形是正方形．故选D．
4．【答案】D．
【解析】由正方形的性质知，①②③都正确，故选D．
5．【答案】A．
【解析】AC是正方形的对角线，∴∠ACD=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°，又∵CE=AC，∴∠CEF=22.5°，∴∠AFC=90°+22.5°=112.5°．故选A．
6．【答案】D．
【解析】根据题意分析可得：乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周长的；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，从第3次相遇起，5次一个循环．因此可得：从开始出发起，每次相遇的位置依次是：AD，DC，点C，CB，BA；依次循环．故它们第2016次相遇位置在边DA上．故选D．
二、填空题：
7．【答案】∠ABC=90°．
【解析】添加条件：∠ABC=90°；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形．
8．【答案】AB=AD．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴当AB=AD或AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形．故答案为：AB=AD．
9．【答案】8．
【解析】边长是4×=2cm．则周长是：8cm．
10．【答案】2．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠ACB=∠DCB=45°，∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，∴BE=EF，∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°，∵∠ACB=45°，∴∠FEC=45°=∠FCE，∴EF=FC=BE=2．
11．【答案】∠ABC=90°．
【解析】当△ABC满足条件∠ABC=90°，四边形DEBF是正方形．理由：∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形DEBF是平行四边形∵BD是∠ABC的平分线，∴∠EBD=∠FBD，又∵DE∥BC，∴∠FBD=∠EDB，则∠EBD=∠EDB，∴BE=DE．故平行四边形DEBF是菱形，当∠ABC=90°时，菱形DEBF是正方形．故答案为：∠ABC=90°．
12．【答案】2．
【解析】∵∠FDC+∠DCF=90°，∠CDF+∠ADE=90°，∴∠FDC=∠ADE，∵AE⊥DP于E点，CF⊥DP于F点∴∠CFD=∠AED=90°，∵CD=AD，在△CBF和△BAE中，∵，∴△CDF≌△DAE（AAS）．∴DE=CF=5，DF=AE=3，∴EF=DE﹣DF=5﹣3=2．
三、解答题：
13．【答案】见解析．
【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠EAD=∠BCD=90°，∴∠FCD=90°，在△ADE和△CDF中，∵，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF．
14．【答案】见解析．
【解析】证明：∵CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE=DF，∠CED=∠CFD=90°，∵∠ACB=90°，∴四边形DECF是矩形，又∵DE=DF，∴四边形DECF是正方形．
15．【答案】（1）见解析；（2）115°．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵AE⊥l于点E，∴∠ABE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF，在△ABE和△BCF中，∵，∴△ABE≌△BCF（AAS）；
（2）∵△ABE≌△BCF，∠CBF=65°，∴∠BAE=65°，又由正方形ABCD得AB∥DC，∴∠AGD=∠BAE=65°，∴∠AGC=115°．
课件21张PPT。正方形数学华师大版 八年级下新知导入把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出什么形状的纸片？正方形具有什么性质？正方形新知讲解矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什发现？正方形新知讲解矩 形〃〃正方形邻边相等〃〃有一组邻边相等的矩 形是正方形．一个角是直角正方形∟有一个角为直角的菱形是正方形．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．新知讲解
对边平行，四条边都相等 四 个 角
都是直角对角线相等且互相垂直平分∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD，
AD∥BC，
AB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，AC=BD，OA=OB=OC=OD既是轴对称图形
又是中心对称图形新知讲解已知：如图，四边形ABCD是正方形．
求证：正方形ABCD四边相等，四个角都是直角．证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A=90°，AB=AC （正方形的定义）．
又∵正方形是平行四边形．
∴正方形是矩形（矩形的定义），
正方形是菱形(菱形的定义)．
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°，
AB= BC=CD=AD．正方形的四边相等，四个角都是直角．正方形的四边相等，四个角都是直角．新知讲解例1 如图，已知正方ABCD．求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数．分析：由正方形的特殊性质，可知∠DOC=90°．易证△ABO≌△CBO，
从而可得∠ABD= × 90°=45°，同理可得∠DAC= 45° ．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，
∴ ∠DOC=90°．
∵ ∠AOB=∠COD= 90°,
∴ △ABO≌△CBO，从而可得∠ABD= × 90°=45°，
同理可得∠DAC= 45° ．新知讲解正方形的判定方法：一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等新知讲解讨论：下面三名同学的说法正确吗？请说出你的理由．我是这样检验的：比较边的长度，发现四条边是相等的，所以我剪出的四边形是正方形．我发现对角线相等，所以我剪出的四边形是正方形．我比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的．所以我剪出的四边形是正方形．新知讲解矩形菱形正
方
形平行四边形正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形．正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质．平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：课堂练习1、下列判断中正确的是 ( )
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
2、正方形具有而矩形不一定有的性质是( )
A．四个角是直角 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角线相等
3、矩形,菱形,正方形都具有的性质是 ( )
A．邻边相等 B． 邻角相等
C．对边相等 D． 对角互补DBC课堂练习4、在正方形ABCD中，∠ADB= ，∠DAC= ， ∠BOC= .
5、在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 .45°90°22.5°45°课堂练习6、如图，分别延长等腰直角三角形OAB的两条直角边AO和BO，使AO=OC，BO=OD．求证：四边形ABCD是正方形．证明：∵AO=OC，BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形
∵等腰三角形OAB中，
AO⊥BO，AO=BO，
∴AO=BO=CO=DO ，AC⊥BD 即 AC=BD．
∴四边形ABCD是正方形．拓展提高7、如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF．BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．解：BE=DF，且BE⊥DF．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC,∠BCE =90° ，
∴∠DCF=180°-∠BCE=90°，
∴∠BCE=∠DCF．
又∵CE=CF，
∴△BCE≌△DCF．
∴BE=DF．中考链接【2018?浙江】如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°．求证：矩形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠D=∠C=90 ° ， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60 ° ， ∵∠CEF=45 ° ， ∴∠CFE=∠CEF=45 ° ， ∴∠AFD=∠AEB=180 ° ?45 ° ?60 ° =75 ° ， ∴△AEB?△AFD(AAS) ， ∴AB=AD，∴矩形ABCD是正方形． 课堂总结1、正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．2、正方形的性质：
正方形的对边平行，四条边都相等，四个角都是直角．
正方形的对角线相等，且互相垂直平分．
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴．3、正方形的判定：
有一组邻边相等的矩形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形；
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．课堂总结5种判定方法四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等或每一条对角线 平分一组对角板书设计1、正方形的定义：2、正方形的性质：3、正方形的判定：例1作业布置教材121页第1题、第2题、第3题．谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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