19.3 正方形(试卷)
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文档简介
19.3 正方形
时间：30分钟，总分：100分 班级：_____________ 姓名：_____________
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分
C．对角线平分一组对角 D．四条边相等
2．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它为正方形的条件是（ ）
A．AO=CD B．AO=CO=BO=DO
C．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD D．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
3． 甲、乙、丙、丁四位同学到工厂实习，工人师傅拿一把尺子要他们帮助检测一个四边形构件是否为正方形，他们各自做了如下检测：
甲量得构件四边都相等；乙量得构件的两条对角线相等；丙量得构件的一组邻边相等；丁量得构件的四边相等且两条对角线也相等．检测后，他们都说是正方形，你认为说得最有把握的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4． 如图，正方形ABCD的对角AC，BD交于点O，则结论①AB=BC=CD=DA；②AO=BO=CO=DO；③AC⊥BD中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图，延长正方形ABCD的一边BC至E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC的度数是（ ）
A．112.5° B．120° C．122.5° D．135°
6．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2016次相遇在边（ ）
A．AB上 B．BC上 C．CD上 D．DA上
二．填空题（每小题5分，共30分）
7．如图，平行四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，请你添加一个适当的条件________________，使ABCD成为正方形（只需添加一个即可）．
8．如图，四边形ABCD为矩形，添加一个条件：_________，可使它成为正方形．
9．已知一个正方形的对角线长为4cm，则正方形的周长是________cm．
10．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F，若BE=2，则CF长为__________．
11．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足条件_____________时，四边形BEDF是正方形．
12．如图，在正方形ABCD中，点P在AB边上，AE⊥DP于E点，CF⊥DP于F点，若AE=3，CF=5，则EF=_________．
三、解答题（共40分）
13．（本题满分12分）如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE=CF，求证：DE=DF．
14．（本题满分14分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E，F．
求证：四边形DECF是正方形．
15．（本题满分14分）如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，直线AE交CD于点G．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）若∠CBF=65°，求∠AGC的度数．
参考答案
一、选择题：
1．【答案】A．
【解析】正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且平分一组对角；菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分．∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．故选A．
2．【答案】D．
【解析】A、不能判定为特殊的四边形；B、只能判定为矩形；C、只能判定为菱形；D、能判定为正方形；故选D．
3．【答案】D．
【解析】甲：∵构件四边都相等，∴此四边形是菱形；
乙：∵两条对角线相等，∴没法判定是什么四边形；
丙：∵一组邻边相等，∴没法判定是什么四边形；
丁：∵四边相等，∴此四边形是菱形，∵两条对角线也相等，∴此四边形是正方形．故选D．
4．【答案】D．
【解析】由正方形的性质知，①②③都正确，故选D．
5．【答案】A．
【解析】AC是正方形的对角线，∴∠ACD=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°，又∵CE=AC，∴∠CEF=22.5°，∴∠AFC=90°+22.5°=112.5°．故选A．
6．【答案】D．
【解析】根据题意分析可得：乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周长的；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，从第3次相遇起，5次一个循环．因此可得：从开始出发起，每次相遇的位置依次是：AD，DC，点C，CB，BA；依次循环．故它们第2016次相遇位置在边DA上．故选D．
二、填空题：
7．【答案】∠ABC=90°．
【解析】添加条件：∠ABC=90°；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形．
8．【答案】AB=AD．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴当AB=AD或AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形．故答案为：AB=AD．
9．【答案】8．
【解析】边长是4×=2cm．则周长是：8cm．
10．【答案】2．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠ACB=∠DCB=45°，∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，∴BE=EF，∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°，∵∠ACB=45°，∴∠FEC=45°=∠FCE，∴EF=FC=BE=2．
11．【答案】∠ABC=90°．
【解析】当△ABC满足条件∠ABC=90°，四边形DEBF是正方形．理由：∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形DEBF是平行四边形∵BD是∠ABC的平分线，∴∠EBD=∠FBD，又∵DE∥BC，∴∠FBD=∠EDB，则∠EBD=∠EDB，∴BE=DE．故平行四边形DEBF是菱形，当∠ABC=90°时，菱形DEBF是正方形．故答案为：∠ABC=90°．
12．【答案】2．
【解析】∵∠FDC+∠DCF=90°，∠CDF+∠ADE=90°，∴∠FDC=∠ADE，∵AE⊥DP于E点，CF⊥DP于F点∴∠CFD=∠AED=90°，∵CD=AD，在△CBF和△BAE中，∵，∴△CDF≌△DAE（AAS）．∴DE=CF=5，DF=AE=3，∴EF=DE﹣DF=5﹣3=2．
三、解答题：
13．【答案】见解析．
【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠EAD=∠BCD=90°，∴∠FCD=90°，在△ADE和△CDF中，∵，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF．
14．【答案】见解析．
【解析】证明：∵CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE=DF，∠CED=∠CFD=90°，∵∠ACB=90°，∴四边形DECF是矩形，又∵DE=DF，∴四边形DECF是正方形．
15．【答案】（1）见解析；（2）115°．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵AE⊥l于点E，∴∠ABE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF，在△ABE和△BCF中，∵，∴△ABE≌△BCF（AAS）；
（2）∵△ABE≌△BCF，∠CBF=65°，∴∠BAE=65°，又由正方形ABCD得AB∥DC，∴∠AGD=∠BAE=65°，∴∠AGC=115°．
时间：30分钟，总分：100分 班级：_____________ 姓名：_____________
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分
C．对角线平分一组对角 D．四条边相等
2．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它为正方形的条件是（ ）
A．AO=CD B．AO=CO=BO=DO
C．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD D．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
3． 甲、乙、丙、丁四位同学到工厂实习，工人师傅拿一把尺子要他们帮助检测一个四边形构件是否为正方形，他们各自做了如下检测：
甲量得构件四边都相等；乙量得构件的两条对角线相等；丙量得构件的一组邻边相等；丁量得构件的四边相等且两条对角线也相等．检测后，他们都说是正方形，你认为说得最有把握的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4． 如图，正方形ABCD的对角AC，BD交于点O，则结论①AB=BC=CD=DA；②AO=BO=CO=DO；③AC⊥BD中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图，延长正方形ABCD的一边BC至E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC的度数是（ ）
A．112.5° B．120° C．122.5° D．135°
6．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2016次相遇在边（ ）
A．AB上 B．BC上 C．CD上 D．DA上
二．填空题（每小题5分，共30分）
7．如图，平行四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，请你添加一个适当的条件________________，使ABCD成为正方形（只需添加一个即可）．
8．如图，四边形ABCD为矩形，添加一个条件：_________，可使它成为正方形．
9．已知一个正方形的对角线长为4cm，则正方形的周长是________cm．
10．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F，若BE=2，则CF长为__________．
11．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足条件_____________时，四边形BEDF是正方形．
12．如图，在正方形ABCD中，点P在AB边上，AE⊥DP于E点，CF⊥DP于F点，若AE=3，CF=5，则EF=_________．
三、解答题（共40分）
13．（本题满分12分）如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE=CF，求证：DE=DF．
14．（本题满分14分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E，F．
求证：四边形DECF是正方形．
15．（本题满分14分）如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，直线AE交CD于点G．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）若∠CBF=65°，求∠AGC的度数．
参考答案
一、选择题：
1．【答案】A．
【解析】正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且平分一组对角；菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分．∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．故选A．
2．【答案】D．
【解析】A、不能判定为特殊的四边形；B、只能判定为矩形；C、只能判定为菱形；D、能判定为正方形；故选D．
3．【答案】D．
【解析】甲：∵构件四边都相等，∴此四边形是菱形；
乙：∵两条对角线相等，∴没法判定是什么四边形；
丙：∵一组邻边相等，∴没法判定是什么四边形；
丁：∵四边相等，∴此四边形是菱形，∵两条对角线也相等，∴此四边形是正方形．故选D．
4．【答案】D．
【解析】由正方形的性质知，①②③都正确，故选D．
5．【答案】A．
【解析】AC是正方形的对角线，∴∠ACD=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°，又∵CE=AC，∴∠CEF=22.5°，∴∠AFC=90°+22.5°=112.5°．故选A．
6．【答案】D．
【解析】根据题意分析可得：乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周长的；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，从第3次相遇起，5次一个循环．因此可得：从开始出发起，每次相遇的位置依次是：AD，DC，点C，CB，BA；依次循环．故它们第2016次相遇位置在边DA上．故选D．
二、填空题：
7．【答案】∠ABC=90°．
【解析】添加条件：∠ABC=90°；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形．
8．【答案】AB=AD．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴当AB=AD或AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形．故答案为：AB=AD．
9．【答案】8．
【解析】边长是4×=2cm．则周长是：8cm．
10．【答案】2．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠ACB=∠DCB=45°，∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，∴BE=EF，∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°，∵∠ACB=45°，∴∠FEC=45°=∠FCE，∴EF=FC=BE=2．
11．【答案】∠ABC=90°．
【解析】当△ABC满足条件∠ABC=90°，四边形DEBF是正方形．理由：∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形DEBF是平行四边形∵BD是∠ABC的平分线，∴∠EBD=∠FBD，又∵DE∥BC，∴∠FBD=∠EDB，则∠EBD=∠EDB，∴BE=DE．故平行四边形DEBF是菱形，当∠ABC=90°时，菱形DEBF是正方形．故答案为：∠ABC=90°．
12．【答案】2．
【解析】∵∠FDC+∠DCF=90°，∠CDF+∠ADE=90°，∴∠FDC=∠ADE，∵AE⊥DP于E点，CF⊥DP于F点∴∠CFD=∠AED=90°，∵CD=AD，在△CBF和△BAE中，∵，∴△CDF≌△DAE（AAS）．∴DE=CF=5，DF=AE=3，∴EF=DE﹣DF=5﹣3=2．
三、解答题：
13．【答案】见解析．
【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠EAD=∠BCD=90°，∴∠FCD=90°，在△ADE和△CDF中，∵，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF．
14．【答案】见解析．
【解析】证明：∵CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE=DF，∠CED=∠CFD=90°，∵∠ACB=90°，∴四边形DECF是矩形，又∵DE=DF，∴四边形DECF是正方形．
15．【答案】（1）见解析；（2）115°．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵AE⊥l于点E，∴∠ABE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF，在△ABE和△BCF中，∵，∴△ABE≌△BCF（AAS）；
（2）∵△ABE≌△BCF，∠CBF=65°，∴∠BAE=65°，又由正方形ABCD得AB∥DC，∴∠AGD=∠BAE=65°，∴∠AGC=115°．