【华师大版八年级下册进阶培优训练】第十五讲 正方形性质与判定培优辅导（含答案）
文档属性
| 名称 | 【华师大版八年级下册进阶培优训练】第十五讲 正方形性质与判定培优辅导（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-05 20:40:35 | ||
图片预览
文档简介
第十五讲 正方形性质与判定培优辅导
知识梳理
1、正方形的定义： 叫做正方形。
2、正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质，还具有自己独特的性质① 边的性质： ．
② 角的性质： ．
③ 对角线性质： ．
④ 对称性：正方形是 图形，也是 图形．
3、正方形的判定
判定① 是正方形．
判定② 是正方形．
判定③ 是正方形．
二、经典例题<正方形形的性质>
【例1】如图，为正方形对角线上一点，于，于. PA与EF有怎样的关系？ 请说明理由．
【变式题组】
如图所示，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE，DG．观察猜想BE与DG之间的关系，并证明你的猜想的结论．
【例2】如图，正方形ABCD中，E，F分别为AD，DC的中点，BF，CE相交于点M，求证：AM=AB．
【变式题组】如图①，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．
(1)求证：OE＝OF；
(2)如图②，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
图① 图②
<正方形的判定>
【例3】如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
⑴求证：四边形ABCD是菱形；
⑵若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
【变式题组】如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E， 交∠BCA的外角平分线于F．
（1）探究线段OE与OF的数量关系并证明；
⑵当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
⑶当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；
三、正方形最值问题
【例4】如图，在平行四边形ABCD中，AB=4a，E是BC的中点，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的动点，则PE+PC的最小值为? ．
2、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为 ．
3、如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
【变式题组】如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM。
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。
四、【综合提升】【例5】数学课上，张老师提出了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC边的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE＝EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则似AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．
在此基础上，同学们进一步的研究：
⑴小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
(2）小华提出：如图3，点E是边BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
【例5】探究问题：（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE， ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°，
即∠GAF=∠_________，
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌_______，
∴_________=EF，
故DE+BF=EF；
（2）方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠DAB =2∠EAF．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠DAB =2∠EAF，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
培优升级检测
选择题
1、正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直
2、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（ ）
A. 由小变大 B. 由大变小 C. 始终不变 D. 先由大变小，然后又由小变大
2题图 3题图 4题图 5题图
3、如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 3 D. 无法确定
4、如图,在△ABC中,O是AC上一动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,若点O运动到AC的中点, 且∠ACB=( )时,则四边形AECF是正方形.?
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
5、如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM＝2，N是AC上一动点，则DN＋MN的最小值为（ ）A. 8 B. C. D. 10
6、P为正方形ABCD内一点，若PA﹕PB﹕PC＝1﹕2﹕3，则∠APB的度数为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．以上都不对
7、在正方形所在的平面内有一点P，便△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有这样性质的P点共有（ ）
A．9个 B．7个 C．5个 D．1个
二、填空题
8、已知是正方形内的一点，且为等边三角形，那么 ．
9、将n个边长为1的正方形，按照如图所示方式摆放，O1， O2， O3， O4，O5， …是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于________．
10、如图所示，是正方形，为上的一点，四边形恰好是一个菱形，则15°.
11、如图，平面直角坐标系中，点A、B分别是x、y轴上的动点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD，则OC的最大值为_____ ．
9题图 10题图 11题图 12题图
12、如图，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，则的度数为_____ ．
三、解答题
13、如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．
（1）求证：四边形PMAN是正方形；
（2）求证：EM=BN．
14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
第十五讲 正方形性质与判定培优辅导答案
知识梳理
1、正方形的定义： 有一组邻边相等的矩形或者有一个内角是直角的菱形 叫做正方形
2、正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质，还具有自己独特的性质① 边的性质： 四条边都相等 ．
② 角的性质： 四个角都是直角 ．
③ 对角线性质： 对角线互相垂直平分且相等 ．
④ 对称性：正方形是 轴对称对称图形，也是 中心对称 图形．
3、正方形的判定判定
判定① 有一组邻边相等的矩形 是正方形．
判定② 有一个内角是直角的菱形 是正方形．
判定③ 对角线互相垂直平分且相等的四边形 是正方形．
二、经典例题<正方形形的性质>
【例1】如图，为正方形对角线上一点，于，于. PA与EF有怎样的关系？ 请说明理由．
解：法一：EF=AP．理由： ∵PE⊥BC，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形， ∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°， ∴四边形PECF是矩形， 连接PC， ∴PC=EF， ∵P是正方形ABCD对角线上一点， ∴AD=CD，∠PDA=∠PDC， 在△PAD和△PCD中， ∴△PAD≌△PCD（SAS）， ∴PA=PC， ∴EF=AP． 法二：延长FP交AB于点G， 则四边形PEBG是正方形， ∴PE=PG，∠AGP=∠EPF=90°， ∵AG=AB-BG，PF=FG-PG， ∴AG=PF， 在△APG和△FEP中，
∴△PAG≌△EFP（SAS）， ∴AP=EF．
【变式题组】
如图所示，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE，DG．观察猜想BE与DG之间的关系，并证明你的猜想的结论．
解：BE与DG之间的关系是BE=DG，BE⊥DG， 证明：延长GD交BE于H， ∵四边形ABCD和四边形EFGC是正方形， ∴∠DCG=∠ECB=90°，CE=CG，CD=BC， ∵在△DCG和△BCE中
∴△DCG≌△BCE（SAS）， ∴BE=DG，∠1=∠2， ∵∠3=∠4，∠2+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠EHD=180°-90°=90°， ∴BE⊥DG， 即BE与DG之间的关系是BE=DG，BE⊥DG．
【例2】如图，正方形ABCD中，E，F分别为AD，DC的中点，BF，CE相交于点M，求证：AM=AB．
证明：分别延长BA，CE交于N点， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD=AB=CD，∠D=∠BCF=90°，AB∥CD， ∵E是AD中点，F是CD中点， ∴DE=CF， 在△BCF和△CDE中， ∴△BCF≌△CDE（SAS）， ∴∠CBF=∠DCE， ∴∠CBF+∠BCM=∠DCE+∠BCM=90°， ∵E是AD的中点，AN∥CD， ∴AE=DE，∠N=∠ECD，∠NAE=∠CDE， 在△ANE和△DCE中， ∴△ANE≌△DCE（AAS）， ∴AN=CD， ∴AN=AB， 在Rt△BMN中，AM=BN， ∴AM=AB．
【变式题组】如图①，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．
(1)求证：OE＝OF；
(2)如图②，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
图① 图②
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠BOE=∠AOF=90°， OB=OA， 又∵AM⊥BE， ∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE， ∴∠MEA=∠AFO， ∴Rt△BOE≌Rt△AOF， ∴OE=OF； （2）OE=OF成立； 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA， 又∵AM⊥BE， ∴∠F+∠MBF=90°=∠B+∠OBE， 又∵∠MBF=∠OBE， ∴∠F=∠E， ∴Rt△BOE≌Rt△AOF， ∴OE=OF。
<正方形的判定>
【例3】如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
⑴求证：四边形ABCD是菱形；
⑵若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO， 又∵△ACE是等边三角形， ∴，即， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）∵△ACE是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∴四边形ABCD是正方形。
【变式题组】如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E， 交∠BCA的外角平分线于F．
（1）探究线段OE与OF的数量关系并证明；
⑵当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
⑶当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；
解：（1）， 其证明如下： ∵CE是∠ACB的平分线， ∴ ∵，∴， ∴，∴， 同理可证， ∴； （2）当点O运动到AC中点时，，则四边形为平行四边形，要使为正方形，必须使， ∵，∴， ∴是以为直角的直角三角形， ∴当点O为AC中点且是以为直角的直角三角形时，四边形是正方形。 （3）四边形不可能是菱形，若为菱形，则，而由（1）可知，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线； 三、正方形最值问题
【例】1、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4a，E是BC的中点，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的动点，则PE+PC的最小值为? ．
2、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为 ．
3、如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 2 ．
【变式题组】如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM。
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。
解：（1）∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°，
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN，
即∠BMA=∠NBE，
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；
①当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小； ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小， 理由如下：连接MN， 由（1）知，△AMB≌△ENB， ∴AM=EN， ∵∠MBN=60°，MB=NB， ∴△BMN是等边三角形， ∴BM=MN， ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM， 根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短 ∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长；
（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF=90°-60°=30°， 设正方形的边长为x，则BF=x，EF=， 在Rt△EFC中， ∵EF2+FC2=EC2， ∴（）2+（x+x）2=， 解得，x=（舍去负值）， ∴正方形的边长为。
【综合提升】1、数学课上，张老师提出了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC边的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE＝EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则似AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．
在此基础上，同学们进一步的研究：
⑴小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
(2）小华提出：如图3，点E是边BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
解：小题1:正确；小题2:正确
（1）正确.
证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连结ME，
∴BM=BE.?∴∠BME=45°.??∴∠AME=135°.
∵CF是外角平分线，∴∠DCF = 45°.?∴∠ECF = 135°.
∴∠AME = ∠ECF .
∵∠AEB +∠BAE=90°，∠AEB + ∠CEF =90°,
∴∠BAE =∠CEF.
∴△AME ≌ △ECF（ASA).
∴AE=EF.
（2）正确.
证明：
在BA的延长线上取一点N，
使AN=CE，连接NE.
∴BN=BE.
∴∠N=∠FCE=45°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE ∴∠DAE=∠BEA .
∴∠NAE=∠CEF ∴△ANE≌△ECF（ASA).
∴AE=EF.
2、探究问题：（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE， ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°，
即∠GAF=∠_________，
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌_______，
∴_________=EF，
故DE+BF=EF；
（2）方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠DAB =2∠EAF．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠DAB =2∠EAF，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
解：（1）EAF、△EAF、GF；
（2）DE+BF=EF，证明如下：
假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转m°得到△ABG， 此时AB与AD重合，
由旋转可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
∴点G，B，F在同一条直线上，
∵∠EAF=， ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF， 即， ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=，
即∠GAF=∠EAF，
又∵AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴GF=EF，
又∵GF=BG+BF=DE+BF，
∴DE+BF=EF；
（3）当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF。
培优升级检测
选择题
1、正方形具有而菱形不具有的性质是（ B ）
A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直
2、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（ C ）
A. 由小变大 B. 由大变小 C. 始终不变 D. 先由大变小，然后又由小变大
2题图 3题图 4题图 5题图
3、如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为（ B ）
A. 2 B. 3 C. 3 D. 无法确定
4、如图,在△ABC中,O是AC上一动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,若点O运动到AC的中点, 且∠ACB=( D )时,则四边形AECF是正方形.?
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
5、如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM＝2，N是AC上一动点，则DN＋MN的最小值为（ D ）A. 8 B. C. D. 10
6、P为正方形ABCD内一点，若PA﹕PB﹕PC＝1﹕2﹕3，则∠APB的度数为（ B ）
A．120° B．135° C．150° D．以上都不对
7、在正方形所在的平面内有一点P，便△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有这样性质的P点共有（ A ）
A．9个 B．7个 C．5个 D．1个
二、填空题
8、已知是正方形内的一点，且为等边三角形，那么15°或75° ．
9、将n个边长为1的正方形，按照如图所示方式摆放，O1， O2， O3， O4，O5， …是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于________．
10、如图所示，是正方形，为上的一点，四边形恰好是一个菱形，则15°.
11、如图，平面直角坐标系中，点A、B分别是x、y轴上的动点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD，则OC的最大值为_____．
9题图 10题图 11题图 12题图
12、如图，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，则的度数为_45°____
13、如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．
（1）求证：四边形PMAN是正方形；
（2）求证：EM=BN．
【解析】试题分析：
（1）先证四边形PMAN是矩形，再证PM=PN；
（2）用ASA证明△EPM≌△BPN.
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，
∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM=PN，∠PMA=∠PNA=90°，
∴四边形PMAN是矩形，
∵PM=PN，∴四边形PMAN是正方形；
（2）证明：∵四边形PMAN是正方形，∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵∠EPB=90°，∴∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90°，∴∠MPE=∠NPB，
在△EPM和△BPN中，
，
∴△EPM≌△BPN（ASA），
∴EM=BN．
14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【解析】分析：（1）由BC⊥AC，DE⊥BC，得到DE∥AC，从而判断出四边形ADEC是平行四边形．即可，
（2）先判断出△BFD≌△CFE，再判断出BC和DE垂直且互相平分，得到四边形BECD是菱形．
（3）先判断出∠CDB=90°，从而得到有一个角是直角的菱形是正方形．
解：（1）证明：∵直线m∥AB，
∴EC∥AD．
又∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC．
又∵DE⊥BC，
∴DE∥AC．
∵EC∥AD，DE∥AC，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE=AD．
（2）当点D是AB中点时，四边形BECD是菱形．
证明：∵ D是AB中点，
∴DB=DA
又∵直线m∥AB，CE=AD
∴DB= CE，DB ∥ CE
∴四边形BDCE是平行四边形
又∵DE⊥BC
∴四边形BECD是菱形
（3）当∠A的大小是45°时，四边形BECD是正方形．
知识梳理
1、正方形的定义： 叫做正方形。
2、正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质，还具有自己独特的性质① 边的性质： ．
② 角的性质： ．
③ 对角线性质： ．
④ 对称性：正方形是 图形，也是 图形．
3、正方形的判定
判定① 是正方形．
判定② 是正方形．
判定③ 是正方形．
二、经典例题<正方形形的性质>
【例1】如图，为正方形对角线上一点，于，于. PA与EF有怎样的关系？ 请说明理由．
【变式题组】
如图所示，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE，DG．观察猜想BE与DG之间的关系，并证明你的猜想的结论．
【例2】如图，正方形ABCD中，E，F分别为AD，DC的中点，BF，CE相交于点M，求证：AM=AB．
【变式题组】如图①，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．
(1)求证：OE＝OF；
(2)如图②，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
图① 图②
<正方形的判定>
【例3】如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
⑴求证：四边形ABCD是菱形；
⑵若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
【变式题组】如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E， 交∠BCA的外角平分线于F．
（1）探究线段OE与OF的数量关系并证明；
⑵当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
⑶当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；
三、正方形最值问题
【例4】如图，在平行四边形ABCD中，AB=4a，E是BC的中点，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的动点，则PE+PC的最小值为? ．
2、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为 ．
3、如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
【变式题组】如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM。
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。
四、【综合提升】【例5】数学课上，张老师提出了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC边的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE＝EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则似AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．
在此基础上，同学们进一步的研究：
⑴小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
(2）小华提出：如图3，点E是边BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
【例5】探究问题：（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE， ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°，
即∠GAF=∠_________，
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌_______，
∴_________=EF，
故DE+BF=EF；
（2）方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠DAB =2∠EAF．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠DAB =2∠EAF，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
培优升级检测
选择题
1、正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直
2、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（ ）
A. 由小变大 B. 由大变小 C. 始终不变 D. 先由大变小，然后又由小变大
2题图 3题图 4题图 5题图
3、如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 3 D. 无法确定
4、如图,在△ABC中,O是AC上一动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,若点O运动到AC的中点, 且∠ACB=( )时,则四边形AECF是正方形.?
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
5、如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM＝2，N是AC上一动点，则DN＋MN的最小值为（ ）A. 8 B. C. D. 10
6、P为正方形ABCD内一点，若PA﹕PB﹕PC＝1﹕2﹕3，则∠APB的度数为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．以上都不对
7、在正方形所在的平面内有一点P，便△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有这样性质的P点共有（ ）
A．9个 B．7个 C．5个 D．1个
二、填空题
8、已知是正方形内的一点，且为等边三角形，那么 ．
9、将n个边长为1的正方形，按照如图所示方式摆放，O1， O2， O3， O4，O5， …是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于________．
10、如图所示，是正方形，为上的一点，四边形恰好是一个菱形，则15°.
11、如图，平面直角坐标系中，点A、B分别是x、y轴上的动点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD，则OC的最大值为_____ ．
9题图 10题图 11题图 12题图
12、如图，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，则的度数为_____ ．
三、解答题
13、如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．
（1）求证：四边形PMAN是正方形；
（2）求证：EM=BN．
14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
第十五讲 正方形性质与判定培优辅导答案
知识梳理
1、正方形的定义： 有一组邻边相等的矩形或者有一个内角是直角的菱形 叫做正方形
2、正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质，还具有自己独特的性质① 边的性质： 四条边都相等 ．
② 角的性质： 四个角都是直角 ．
③ 对角线性质： 对角线互相垂直平分且相等 ．
④ 对称性：正方形是 轴对称对称图形，也是 中心对称 图形．
3、正方形的判定判定
判定① 有一组邻边相等的矩形 是正方形．
判定② 有一个内角是直角的菱形 是正方形．
判定③ 对角线互相垂直平分且相等的四边形 是正方形．
二、经典例题<正方形形的性质>
【例1】如图，为正方形对角线上一点，于，于. PA与EF有怎样的关系？ 请说明理由．
解：法一：EF=AP．理由： ∵PE⊥BC，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形， ∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°， ∴四边形PECF是矩形， 连接PC， ∴PC=EF， ∵P是正方形ABCD对角线上一点， ∴AD=CD，∠PDA=∠PDC， 在△PAD和△PCD中， ∴△PAD≌△PCD（SAS）， ∴PA=PC， ∴EF=AP． 法二：延长FP交AB于点G， 则四边形PEBG是正方形， ∴PE=PG，∠AGP=∠EPF=90°， ∵AG=AB-BG，PF=FG-PG， ∴AG=PF， 在△APG和△FEP中，
∴△PAG≌△EFP（SAS）， ∴AP=EF．
【变式题组】
如图所示，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE，DG．观察猜想BE与DG之间的关系，并证明你的猜想的结论．
解：BE与DG之间的关系是BE=DG，BE⊥DG， 证明：延长GD交BE于H， ∵四边形ABCD和四边形EFGC是正方形， ∴∠DCG=∠ECB=90°，CE=CG，CD=BC， ∵在△DCG和△BCE中
∴△DCG≌△BCE（SAS）， ∴BE=DG，∠1=∠2， ∵∠3=∠4，∠2+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠EHD=180°-90°=90°， ∴BE⊥DG， 即BE与DG之间的关系是BE=DG，BE⊥DG．
【例2】如图，正方形ABCD中，E，F分别为AD，DC的中点，BF，CE相交于点M，求证：AM=AB．
证明：分别延长BA，CE交于N点， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD=AB=CD，∠D=∠BCF=90°，AB∥CD， ∵E是AD中点，F是CD中点， ∴DE=CF， 在△BCF和△CDE中， ∴△BCF≌△CDE（SAS）， ∴∠CBF=∠DCE， ∴∠CBF+∠BCM=∠DCE+∠BCM=90°， ∵E是AD的中点，AN∥CD， ∴AE=DE，∠N=∠ECD，∠NAE=∠CDE， 在△ANE和△DCE中， ∴△ANE≌△DCE（AAS）， ∴AN=CD， ∴AN=AB， 在Rt△BMN中，AM=BN， ∴AM=AB．
【变式题组】如图①，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．
(1)求证：OE＝OF；
(2)如图②，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
图① 图②
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠BOE=∠AOF=90°， OB=OA， 又∵AM⊥BE， ∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE， ∴∠MEA=∠AFO， ∴Rt△BOE≌Rt△AOF， ∴OE=OF； （2）OE=OF成立； 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA， 又∵AM⊥BE， ∴∠F+∠MBF=90°=∠B+∠OBE， 又∵∠MBF=∠OBE， ∴∠F=∠E， ∴Rt△BOE≌Rt△AOF， ∴OE=OF。
<正方形的判定>
【例3】如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
⑴求证：四边形ABCD是菱形；
⑵若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO， 又∵△ACE是等边三角形， ∴，即， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）∵△ACE是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∴四边形ABCD是正方形。
【变式题组】如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E， 交∠BCA的外角平分线于F．
（1）探究线段OE与OF的数量关系并证明；
⑵当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
⑶当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；
解：（1）， 其证明如下： ∵CE是∠ACB的平分线， ∴ ∵，∴， ∴，∴， 同理可证， ∴； （2）当点O运动到AC中点时，，则四边形为平行四边形，要使为正方形，必须使， ∵，∴， ∴是以为直角的直角三角形， ∴当点O为AC中点且是以为直角的直角三角形时，四边形是正方形。 （3）四边形不可能是菱形，若为菱形，则，而由（1）可知，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线； 三、正方形最值问题
【例】1、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4a，E是BC的中点，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的动点，则PE+PC的最小值为? ．
2、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为 ．
3、如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 2 ．
【变式题组】如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM。
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。
解：（1）∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°，
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN，
即∠BMA=∠NBE，
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；
①当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小； ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小， 理由如下：连接MN， 由（1）知，△AMB≌△ENB， ∴AM=EN， ∵∠MBN=60°，MB=NB， ∴△BMN是等边三角形， ∴BM=MN， ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM， 根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短 ∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长；
（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF=90°-60°=30°， 设正方形的边长为x，则BF=x，EF=， 在Rt△EFC中， ∵EF2+FC2=EC2， ∴（）2+（x+x）2=， 解得，x=（舍去负值）， ∴正方形的边长为。
【综合提升】1、数学课上，张老师提出了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC边的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE＝EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则似AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．
在此基础上，同学们进一步的研究：
⑴小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
(2）小华提出：如图3，点E是边BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
解：小题1:正确；小题2:正确
（1）正确.
证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连结ME，
∴BM=BE.?∴∠BME=45°.??∴∠AME=135°.
∵CF是外角平分线，∴∠DCF = 45°.?∴∠ECF = 135°.
∴∠AME = ∠ECF .
∵∠AEB +∠BAE=90°，∠AEB + ∠CEF =90°,
∴∠BAE =∠CEF.
∴△AME ≌ △ECF（ASA).
∴AE=EF.
（2）正确.
证明：
在BA的延长线上取一点N，
使AN=CE，连接NE.
∴BN=BE.
∴∠N=∠FCE=45°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE ∴∠DAE=∠BEA .
∴∠NAE=∠CEF ∴△ANE≌△ECF（ASA).
∴AE=EF.
2、探究问题：（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE， ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°，
即∠GAF=∠_________，
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌_______，
∴_________=EF，
故DE+BF=EF；
（2）方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠DAB =2∠EAF．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠DAB =2∠EAF，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
解：（1）EAF、△EAF、GF；
（2）DE+BF=EF，证明如下：
假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转m°得到△ABG， 此时AB与AD重合，
由旋转可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
∴点G，B，F在同一条直线上，
∵∠EAF=， ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF， 即， ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=，
即∠GAF=∠EAF，
又∵AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴GF=EF，
又∵GF=BG+BF=DE+BF，
∴DE+BF=EF；
（3）当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF。
培优升级检测
选择题
1、正方形具有而菱形不具有的性质是（ B ）
A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直
2、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（ C ）
A. 由小变大 B. 由大变小 C. 始终不变 D. 先由大变小，然后又由小变大
2题图 3题图 4题图 5题图
3、如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为（ B ）
A. 2 B. 3 C. 3 D. 无法确定
4、如图,在△ABC中,O是AC上一动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,若点O运动到AC的中点, 且∠ACB=( D )时,则四边形AECF是正方形.?
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
5、如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM＝2，N是AC上一动点，则DN＋MN的最小值为（ D ）A. 8 B. C. D. 10
6、P为正方形ABCD内一点，若PA﹕PB﹕PC＝1﹕2﹕3，则∠APB的度数为（ B ）
A．120° B．135° C．150° D．以上都不对
7、在正方形所在的平面内有一点P，便△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有这样性质的P点共有（ A ）
A．9个 B．7个 C．5个 D．1个
二、填空题
8、已知是正方形内的一点，且为等边三角形，那么15°或75° ．
9、将n个边长为1的正方形，按照如图所示方式摆放，O1， O2， O3， O4，O5， …是正方形对角线的交点，那么阴影部分面积之和等于________．
10、如图所示，是正方形，为上的一点，四边形恰好是一个菱形，则15°.
11、如图，平面直角坐标系中，点A、B分别是x、y轴上的动点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD，则OC的最大值为_____．
9题图 10题图 11题图 12题图
12、如图，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，则的度数为_45°____
13、如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．
（1）求证：四边形PMAN是正方形；
（2）求证：EM=BN．
【解析】试题分析：
（1）先证四边形PMAN是矩形，再证PM=PN；
（2）用ASA证明△EPM≌△BPN.
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，
∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM=PN，∠PMA=∠PNA=90°，
∴四边形PMAN是矩形，
∵PM=PN，∴四边形PMAN是正方形；
（2）证明：∵四边形PMAN是正方形，∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵∠EPB=90°，∴∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90°，∴∠MPE=∠NPB，
在△EPM和△BPN中，
，
∴△EPM≌△BPN（ASA），
∴EM=BN．
14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【解析】分析：（1）由BC⊥AC，DE⊥BC，得到DE∥AC，从而判断出四边形ADEC是平行四边形．即可，
（2）先判断出△BFD≌△CFE，再判断出BC和DE垂直且互相平分，得到四边形BECD是菱形．
（3）先判断出∠CDB=90°，从而得到有一个角是直角的菱形是正方形．
解：（1）证明：∵直线m∥AB，
∴EC∥AD．
又∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC．
又∵DE⊥BC，
∴DE∥AC．
∵EC∥AD，DE∥AC，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE=AD．
（2）当点D是AB中点时，四边形BECD是菱形．
证明：∵ D是AB中点，
∴DB=DA
又∵直线m∥AB，CE=AD
∴DB= CE，DB ∥ CE
∴四边形BDCE是平行四边形
又∵DE⊥BC
∴四边形BECD是菱形
（3）当∠A的大小是45°时，四边形BECD是正方形．