第2课时 绝对值不等式的解法
[核心必知]
1．含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解法
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a
{x|－a＜x＜a}
?
?
|x|＞a
{x|x＞a或x＜－a}
{x∈R|x≠0}
R
2．|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
(1)|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；
(2)|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解．
(2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性进而去掉绝对值符号是解题关键．
(3)构造函数，结合函数的图象求解．
[问题思考]
1．|x|以及|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？
提示：|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点O的距离；|x－a|±|x－b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a，b的点的距离之和(差)．
2．如何解|x－a|＜|x－b|、|x－a|＞|x－b|(a≠b)型的不等式的解集？
提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．
考点1
|f(x)|≥g(x)和|f(x)|≤g(x)型不等
式的解法
解下列不等式：(1)1＜|x－2|≤3；
(2)|2x＋5|＞7＋x；
(3)≤.
[精讲详析] 本题考查较简单的绝对值不等式的解法．解答本题(1)可利用公式转化为|ax＋b|＞c(c＞0)或|ax＋b|＜c(c＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式．
(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式．
(3)可分类讨论去掉分母和绝对值．
(1)法一：原不等式等价于不等式组
即
解得－1≤x＜1或3＜x≤5，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．
法二：原不等式可转化为：
①或②
由①得3＜x≤5，由②得－1≤x＜1，
所以原不等式的解集是{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．
法三：原不等式的解集就是1＜(x－2)2≤9的解集，
即解得
∴－1≤x＜1或3＜x≤5.
∴原不等式的解集是{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．
(2)由不等式|2x＋5|＞7＋x，
可得2x＋5＞7＋x或2x＋5＜－(7＋x)，
整理得x＞2或x＜－4.
∴原不等式的解集是{x|x＜－4或x＞2}．
(3)①当x2－2＜0且x≠0，
即当－＜x＜，
且x≠0时，原不等式显然成立．
②当x2－2＞0时，
原不等式与不等式组等价，
x2－2≥|x|，即|x|2－|x|－2≥0，
∴|x|≥2，
∴不等式组的解为|x|≥2，
即x≤－2或x≥2.
∴原不等式的解集为
(－∞，－2]∪(－，0)∪(0，)∪[2，＋∞)．
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绝对值不等式的常见类型及其解法：
(1)形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式
此类不等式的简单解法是等价命题法，即
①当a＞0时，|f(x)|＜a?－a＜f(x)＜a.
|f(x)|＞a?f(x)＞a或f(x)＜－a；
②当a＝0时，|f(x)|＜a无解．
|f(x)|＞a?f(x)≠0；
③当a＜0时，|f(x)|＜a无解．
|f(x)|＞a?f(x)有意义．
(2)形如|f(x)|＜|g(x)|型不等式
此类问题的简单解法是利用平方法，即
|f(x)|＜|g(x)|?[f(x)]2＜[g(x)]2
?[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]＜0.
(3)形如|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞g(x)型不等式
此类不等式的简单解法是等价命题法，即
①|f(x)|＜g(x)?－g(x)＜f(x)＜g(x)，
②|f(x)|＞g(x)?f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)可正也可负)．
若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂．
(4)形如a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式
此类问题的简单解法是利用等价命题法，即
a＜|f(x)|＜b(0＜a＜b)
?a＜f(x)＜b或－b＜f(x)＜－a.
(5)形如|f(x)|＜f(x)，|f(x)|＞f(x)型不等式
此类问题的简单解法是利用绝对值的定义，即
|f(x)|＞f(x)?f(x)＜0，
|f(x)|＜f(x)?f(x)∈?.
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1．解下列不等式：
(1)|5x－2|≥8；
(2)2≤|x－2|≤4.
解：(1)|5x－2|≥8?5x－2≥8或5x－2≤－8?x≥2或x≤－，∴原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于
由①得x－2≤－2或x－2≥2，∴x≤0或x≥4，
由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0或4≤x≤6}.
考点2
含多个绝对值的不等式的解法
解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
[精讲详析] 解答本题，可以采用零点分段法求解，也可以转化为分段函数，借助函数图象求解．
法一：当x≤－1时，原不等式可以化为－(x＋1)－(x－1)≥3，
解得：x≤－.
当－1
x＋1－(x－1)≥3，即2≥3.不成立，无解．
当x≥1时，原不等式可以化为x＋1＋x－1≥3.所以x≥.
综上，可知原不等式的解集为.
法二：将原不等式转化为|x＋1|＋|x－1|－3≥0.
构造函数y＝|x＋1|＋|x－1|－3，
即y＝
作出函数的图象，如图所示：
函数的零点是－，.
从图象可知，当x≤－或x≥时，y≥0，即|x＋1|＋|x－1|－3≥0.
所以原不等式的解集为∪.
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(1)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．
(2)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式．不妨设a＜b，于是f(x)＝
这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想．
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2．解不等式|2x＋1|－|x－4|＞2.
解：法一：令y＝|2x＋1|－|x－4|，则y＝作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|与函数y＝2的图象，
它们的交点为(－7,2)和.所以|2x＋1|－|x－4|＞2的解集为(－∞，－7)∪.
法二：当x≥4时，(2x＋1)－(x－4)＞2，解得x＞－3，∴x≥4.
当－≤x＜4时，(2x＋1)＋(x－4)＞2，解得x＞，∴＜x＜4.
当x＜－时，－(2x＋1)＋(x－4)＞2，解得x＜－7，∴x＜－7.
综上可知，不等式的解集为.
考点3
含参数的绝对值不等式的解法
设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|，如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
[精讲详析] 本题考查绝对值不等式的解法．解答本题应先对a进行分类讨论，求出函数f(x)的最小值，然后求a的取值范围．
若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件．
若a＜1，f(x)＝
f(x)的最小值为1－a.
若a＞1，f(x)＝
f(x)的最小值为a－1.
所以?x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，
从而a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
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含有参数的不等式的求解问题分两类，一类要对参数进行讨论，另一类如本例，对参数a并没有进行讨论，但去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后把两个不等式组的解集合并，即得该不等式的解集．
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3．已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.根据以下情形分别求出m的取值范围：
(1)若不等式有解；
(2)若不等式的解集为R；
(3)若不等式的解集为?.
解：法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差，即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.
则(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.
即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值范围为(－∞，1)．
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m<－1，m的取值范围为(－∞，－1)．
(3)若不等式的解集为?，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为[1，＋∞)．
法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，
|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．
(2)若不等式的解集为R，则m∈(－∞，－1)．
(3)若不等式的解集为?，则m∈[1，＋∞)．
本节热点命题关注
本课时在高考中基本上以考查含绝对值不等式的解法为主，全国卷Ⅲ通过解绝对值不等式，考查等价转化思想及运算求解能力，通过求参数的m的取值范围，考查推理论证能力和分类讨论思想．
[考题印证]
(全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
[命题立意] 本题主要考查含绝对值不等式的解法，利用绝对值三角不等式求参数取值范围的方法．
[解] (1)f(x)＝
当x＜－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．
(2)由f(x)≥x2－x＋m，
得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.
而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，
且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.
故m的取值范围为－∞，.
一、选择题
1．若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a的值为( )
A．8 B．2
C．－4 D．－8
解析：选C 原不等式化为－6＜ax＋2＜6，
即－8＜ax＜4.
又∵－1＜x＜2，
∴验证选项易知a＝－4适合．
2．不等式＞的解集是( )
A．{x|0＜x＜2} B．{x|x＜0或x＞2}
C．{x|x＜0} D．{x|x＞2}
解析：选B 由＞，可知＜0，
∴x＜0或x>2.
3．关于x的不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．[1,2]
D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
解析：选A ∵|x＋3|－|x－1|≤|4|＝4，
∴a2－3a≥4，即a2－3a－4≥0，
解得a≤－1或a≥4.
4．当|x－2|A．(－2，＋∞) B．(0，－2]
C．[－2，＋∞) D．以上都不正确
解析：选B 由|x－2|由|x2－4|<1，得∴即0或无解．
二、填空题
5．不等式|2x－1|－x＜1的解集是________．
解析：原不等式等价于|2x－1|＜x＋1?－x－1＜2x－1＜x＋1??0＜x＜2.
答案：{x|0＜x＜2}
6．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
解析：|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.
答案：[－2,4]
7．已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a＝________.
解析：①当a≤2时，f(x)＝
②当a>2时，f(x)＝
由①②可得f(x)min＝f
＝＝3，
解得a＝－4或8.
答案：－4或8
8．已知a＋b＝1，对任意的a，b∈(0，＋∞)，＋≥|2x－1|－|x＋1|恒成立，则x的取值范围为________．
解析：因为a>0，b>0且a＋b＝1，
所以＋＝(a＋b)·＝5＋＋≥9，
故＋的最小值为9，
因为对任意的a，b∈(0，＋∞)，使＋≥|2x－1|－|x＋1|恒成立，
所以|2x－1|－|x＋1|≤9，
当x≤－1时，2－x≤9，所以－7≤x≤－1;
当－1当x≥时，x－2≤9，所以≤x≤11.
综上所述x的取值范围为[－7,11]．
答案：[－7,11]
三、解答题
9．解不等式|2x－4|－|3x＋9|＜1.
解：当x＞2时，原不等式可化为
解得x＞2.
当－3≤x≤2时，原不等式可化为
解得－＜x≤2.
当x＜－3时，原不等式可化为
解得x＜－12.
综上所述，原不等式的解集为.
10．设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
解：(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.
由此可得x≥3或x≤－1.
故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．
(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0，
此不等式化为不等式组
或即或
因为a>0，所以不等式组的解集为.
由题设可得－＝－1，故a＝2.
11．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0. ①
当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；
当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，
从而1＜x≤.
所以f(x)≥g(x)的解集为.
(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2.
所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，
等价于当x∈[－1，1]时，f(x)≥2.
又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，
所以f(－1)≥2且f(1)≥2，
得－1≤a≤1.
所以a的取值范围为[－1,1]．
课件29张PPT。 谢谢！一、选择题
1．若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a的值为( )
A．8 B．2
C．－4 D．－8
解析：选C 原不等式化为－6＜ax＋2＜6，
即－8＜ax＜4.
又∵－1＜x＜2，
∴验证选项易知a＝－4适合．
2．不等式＞的解集是( )
A．{x|0＜x＜2} B．{x|x＜0或x＞2}
C．{x|x＜0} D．{x|x＞2}
解析：选B 由＞，可知＜0，
∴x＜0或x>2.
3．关于x的不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．[1,2]
D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
解析：选A ∵|x＋3|－|x－1|≤|4|＝4，
∴a2－3a≥4，即a2－3a－4≥0，
解得a≤－1或a≥4.
4．当|x－2|A．(－2，＋∞) B．(0，－2]
C．[－2，＋∞) D．以上都不正确
解析：选B 由|x－2|由|x2－4|<1，得∴即0或无解．
二、填空题
5．不等式|2x－1|－x＜1的解集是________．
解析：原不等式等价于|2x－1|＜x＋1?－x－1＜2x－1＜x＋1??0＜x＜2.
答案：{x|0＜x＜2}
6．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
解析：|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.
答案：[－2,4]
7．已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a＝________.
解析：①当a≤2时，f(x)＝
②当a>2时，f(x)＝
由①②可得f(x)min＝f
＝＝3，
解得a＝－4或8.
答案：－4或8
8．已知a＋b＝1，对任意的a，b∈(0，＋∞)，＋≥|2x－1|－|x＋1|恒成立，则x的取值范围为________．
解析：因为a>0，b>0且a＋b＝1，
所以＋＝(a＋b)·＝5＋＋≥9，
故＋的最小值为9，
因为对任意的a，b∈(0，＋∞)，使＋≥|2x－1|－|x＋1|恒成立，
所以|2x－1|－|x＋1|≤9，
当x≤－1时，2－x≤9，所以－7≤x≤－1;
当－1当x≥时，x－2≤9，所以≤x≤11.
综上所述x的取值范围为[－7,11]．
答案：[－7,11]
三、解答题
9．解不等式|2x－4|－|3x＋9|＜1.
解：当x＞2时，原不等式可化为
解得x＞2.
当－3≤x≤2时，原不等式可化为
解得－＜x≤2.
当x＜－3时，原不等式可化为
解得x＜－12.
综上所述，原不等式的解集为.
10．设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
解：(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.
由此可得x≥3或x≤－1.
故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．
(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0，
此不等式化为不等式组
或即或
因为a>0，所以不等式组的解集为.
由题设可得－＝－1，故a＝2.
11．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0. ①
当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；
当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，
从而1＜x≤.
所以f(x)≥g(x)的解集为.
(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2.
所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，
等价于当x∈[－1，1]时，f(x)≥2.
又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，
所以f(－1)≥2且f(1)≥2，
得－1≤a≤1.
所以a的取值范围为[－1,1]．
