一 不 等 式
第1课时 不等式的基本性质
[核心必知]
1.实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系
(1)设a,b∈R,则
①a>b?a-b>0;②a=b?a-b=0;③a<b?a-b<0.
(2)设b∈(0,+∞),则
①>1?a>b;②=1?a=b;③<1?a<b.
2.不等式的基本性质
对称性
如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即a>b?b<a
传递性
如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c?a>c
可加性
如果a>b,那么a+c>b+c
可乘性
如果a>b,c>0,那么ac>bc;
如果a>b,c<0,那么ac<bc
乘方
如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2)
开方
如果a>b>0,那么>(n∈N,n≥2)
[问题思考]
1.若x>y,a>b,则在①a-x>b-y,②a+x>b+y,③ax>by,④x-b>y-a,⑤>这五个不等式中,恒成立的不等式有哪些?
提示:令x=-2,y=-3,a=3,b=2,
符合题设条件x>y,a>b,
则∵a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5,
∴a-x=b-y,因此①不成立.
又∵ax=-6,by=-6,∴ax=by,因此③也不正确.
又∵==-1,==-1,
∴=,因此⑤不正确.
由不等式的性质可推出②④恒成立.
即恒成立的不等式有②④.
2.已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0,->0(其中a,b,c,d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题有几个?
提示:由已知可组成三个命题.
①若ab>0,bc-ad>0,则->0,此命题正确,只需在不等式bc-ad>0两侧同除以ab,根据不等式性质,整理即得结论;
②若ab>0,->0,则bc-ad>0,此命题正确,只需在不等式->0两侧同乘以ab,根据不等式性质,整理即得结论;
③若->0,bc-ad>0,则ab>0,此命题正确,
因为->0?>0,又因为bc-ad>0,故ab>0.
即可组成的正确命题有3个.
考点1
作差法比较大小
x∈R,比较x3-1与2x2-2x的大小.
[精讲详析] 本题考查利用作差法比较两个代数式的大小.解答本题需要将作差后的代数式分解因式,然后根据各因式的符号判断x3-1与2x2-2x的大小.
(x3-1)-(2x2-2x)=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1).
∵x2-x+1=2+≥>0,
∴当x>1时,(x-1)(x2-x+1)>0.即x3-1>2x2-2x;
当x=1时,(x-1)(x2-x+1)=0,即x3-1=2x2-2x;
当x<1时,(x-1)(x2-x+1)<0,即x3-1<2x2-2x.
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(1)用作差法比较两个数(式)的大小时,要按照“三步一结论”的程序进行,即:→→→,其中变形是关键,定号是目的.
(2)在变形中,一般是变形得越彻底越有利于下一步的
判断.变形的常用技巧有:因式分解、配方、通分、分母有理化等.
(3)在定号中,若为几个因式的积,需每个因式均先定号,当符号不确定时,需进行分类讨论.
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1.设x∈R,且x≠-1,比较与1-x的大小.
解:∵-(1-x)=,而x2≥0,
①当x=0时,=0,∴=1-x.
②当1+x<0,即x<-1时,<0,
∴<1-x.
③当1+x>0,且x≠0,
即-1
0时,>0,∴>1-x.
综上可知:当x=0时,=1-x;
当x<-1时,<1-x;
当-10时,>1-x.
考点2
不等式性质的简单应用
下列命题中正确的是( )
(1)若a>b,c>b,则a>c;
(2)若a>b,则lg>0;
(3)若a>b,c>d,则ac>bd;
(4)若a>b>0,则<;
(5)若>,则ad>bc;
(6)若a>b,c>d,则a-d>b-c.
A.(1)(2) B.(4)(6)
C.(3)(6) D.(3)(4)(5)
[精讲详析] 本题考查对不等式的性质的理解,解答本题需要利用不等式的性质或利用特殊值逐项判断.
(1)错误.因为当取a=4,b=2,c=6时,有a>b,c>b成立,但a>c不成立.
(2)错误.因为a、b符号不确定,所以无法确定>1是否成立,从而无法确定lg>0是否成立.
(3)错误.此命题当a、b、c、d均为正数时才正确.
(4)正确.因为a>b>0,
所以ab>0,两边同乘以,得<.
(5)错误.只有当cd>0时,结论才成立.
(6)正确.因为c>d,所以-d>-c,又a>b,
所以a-d>b-c.综上可知(4)(6)正确.
答案:B
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运用不等式的性质时要注意条件,如倒数法则要求两数同号;两边同乘一个数,不等号方向是否改变要视此数的正负而定;同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.
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2.设a,b为正实数,则“aA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
解析:选C 若a0,b>0,
则>?-<-,∴a-若a-且a>0,b>0?a2b-b考点3
利用不等式的性质求取值范围
已知60<x<84,28<y<33.求
(1)x-y的取值范围;
(2)的取值范围.
[精讲详析] 本题考查不等式性质的灵活应用.解答问题(1)需要先求出-y的取值范围,然后利用不等式的同向可加性解决;解答问题(2)需要先求出的取值范围,然后利用不等式的有关性质求解.
∵28<y<33,∴-33<-y<-28,<<.
又60<x<84,∴27<x-y<56,<<.
即<<3.
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本题不能直接用x的范围去减或除y的范围,应严格利用不等式的基本性质去求得范围,其次在有些题目中,还要注意整体代换的思想,即弄清要求的与已知的“范围”间的联系.如已知20<x+y<30,15<x-y<18,要求2x+3y的范围,不能分别求出x,y的范围,再求2x+3y的范围,应把
已知的“x+y”“x-y”视为整体,即2x+3y=(x+y)-(x-y),两范围相加可得2x+3y的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式,一旦变化出其他的范围问题,则不能再间接得出,必须“直来直去”,即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系,然后去求.
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3.已知x,y为实数,且1≤lg(xy)≤2,3≤lg≤4,求lg(x4y2)的取值范围.
解:由题意,设a=lg x,b=lg y,则lg(xy)=a+b,
lg =a-b,lg(x4y2)=4a+2b.
设4a+2b=m(a+b)+n(a-b),
则解得
又3≤3(a+b)≤6,3≤a-b≤4,
∴6≤4a+2b≤10,
∴lg(x4y2)的取值范围为[6,10].
本节热点命题关注
本课时考点主要考查不等式的性质,高考全国卷Ⅰ将不等式的性质及函数的单调性结合命题,是高考命题的一个新亮点.
[考题印证]
(全国卷Ⅰ)若a>b>1,0A.acB.abcC.alogbcD.logac[命题立意] 本题考查不等式性质在比较实数大小中的应用.
[解析] 选C ∵y=xα,α∈(0,1)在(0,+∞)上是增函数,
∴当a>b>1,0bc,选项A不正确.
∵y=xα,α∈(-1,0)在(0,+∞)上是减函数,
∴当a>b>1,0ac-1bac,选项B不正确.
∵a>b>1,∴lg a>lg b>0,∴alg a>blg b>0,
∴>.又∵0∴<,∴alogbc同理可证logac>logbc,选项D不正确.
一、选择题
1.已知a
A.> B.ab<1
C.>1 D.a2>b2
解析:选D 由ab2,故选D.
2.已知a,b,c∈R,且ab>0,则下面推理中正确的是( )
A.a>b?am2>bm2 B.>?a>b
C.a3>b3?< D.a2>b2?a>b
解析:选C 对于A,若m=0,则不成立;对于B,若c<0,则不成立;对于C,a3-b3>0?(a-b)(a2+ab+b2)>0,
∵a2+ab+b2=2+b2>0恒成立,
∴a-b>0,∴a>b.
又∵ab>0,∴<.∴C成立;
对于D,a2>b2?(a-b)(a+b)>0,不能说a>b.
3.若aA.> B.a2C.aa>ba D.<
解析:选D 当a=-2又aab,所以选项B不成立.
又-==<0,
所以<.
4.如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是( )
A.a2>a>-a2>-a B.-a>a2>-a2>a
C.-a>a2>a>-a2 D.a2>-a>a>-a2
解析:选B ∵a2+a<0,即a(a+1)<0可得,-1<a<0,
∴-a>a2>0,∴0>-a2>a.
综上有-a>a2>-a2>a.
二、填空题
5.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x).
解析:f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).
答案:>
6.有以下四个条件:
①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0.
其中能使<成立的有________个条件.
解析:①∵b>0,∴>0.
∵a<0,∴<0.∴<.
②∵b<a<0,∴>.
③∵a>0>b,∴>0,<0.∴>.
④∵a>b>0,∴<.
综上知,①②④均能使<成立.
答案:3
7.给出下列条件:①1<a<b;②0<a<b<1;③0<a<1<b.其中能推出logb<loga<logab成立的条件的序号是________(填所有可能的条件的序号).
解析:∵logb=-1,若1<a<b,则<<1<b,
∴loga<loga=-1,故条件①不可以;
若0<a<b<1,则b<1<<.
∴logab>loga>loga=-1=logb,故条件②可以;
若0<a<1<b,则0<<1,∴loga>0,logab<0,条件③不可以.
故应填②.
答案:②
8.给出下列命题:
①若a②若ac-3>bc-3,则a>b;
③若a>b且k∈N*,则ak>bk;
④若c>a>b>0,则>.
其中正确命题的序号是________.
解析:①当ab<0时,<不成立,故①不正确;
②当c<0时,a③当a=1,b=-2,k=2时,命题不成立,故③不正确;
④a>b>0?-a<-b<0?0两边同乘以,得0<<,
又a>b>0,∴>>,故④正确.
答案:④
三、解答题
9.已知-≤α<β≤,求,的范围.
解:∵-≤α<β≤,∴-≤<,-<≤.
因而两式相加得-<<.
又∵-<≤,∴-≤-<.
∴-≤<.
又∵α<β,∴<0.∴-≤<0.
即∈,∈.
10.已知函数f(x)=x2+a(x∈R).
(1)对任意的x1,x2∈R,比较[f(x1)+f(x2)]与f的大小;
(2)若-1≤a≤0,-1≤x≤1,求证:-1≤f(x)≤1.
解:(1)对任意的x1,x2∈R,有
[f(x1)+f(x2)]-f
=-2-a
==(x1-x2)2≥0,
所以[f(x1)+f(x2)]≥f.
(2)证明:由于f(x)=x2+a,-1≤x≤1,-1≤a≤0,
所以当x=0时,f(x)min=a≥-1;
当x=±1时,f(x)max=1+a≤1.
综上可知,-1≤f(x)≤1.
11.已知f(x)=ax2+c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.
解:由-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5得:
设u=a+c,v=4a+c,则有a=,c=,
∴f(3)=9a+c=-u+v.
又
∴
∴-1≤-u+v≤20,
即-1≤f(3)≤20.
∴f(3)的取值范围为[-1,20].
课件27张PPT。一 不 等 式 谢谢!一、选择题
1.已知a
A.> B.ab<1
C.>1 D.a2>b2
解析:选D 由ab2,故选D.
2.已知a,b,c∈R,且ab>0,则下面推理中正确的是( )
A.a>b?am2>bm2 B.>?a>b
C.a3>b3?< D.a2>b2?a>b
解析:选C 对于A,若m=0,则不成立;对于B,若c<0,则不成立;对于C,a3-b3>0?(a-b)(a2+ab+b2)>0,
∵a2+ab+b2=2+b2>0恒成立,
∴a-b>0,∴a>b.
又∵ab>0,∴<.∴C成立;
对于D,a2>b2?(a-b)(a+b)>0,不能说a>b.
3.若aA.> B.a2C.aa>ba D.<
解析:选D 当a=-2又aab,所以选项B不成立.
又-==<0,
所以<.
4.如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是( )
A.a2>a>-a2>-a B.-a>a2>-a2>a
C.-a>a2>a>-a2 D.a2>-a>a>-a2
解析:选B ∵a2+a<0,即a(a+1)<0可得,-1<a<0,
∴-a>a2>0,∴0>-a2>a.
综上有-a>a2>-a2>a.
二、填空题
5.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x).
解析:f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).
答案:>
6.有以下四个条件:
①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0.
其中能使<成立的有________个条件.
解析:①∵b>0,∴>0.
∵a<0,∴<0.∴<.
②∵b<a<0,∴>.
③∵a>0>b,∴>0,<0.∴>.
④∵a>b>0,∴<.
综上知,①②④均能使<成立.
答案:3
7.给出下列条件:①1<a<b;②0<a<b<1;③0<a<1<b.其中能推出logb<loga<logab成立的条件的序号是________(填所有可能的条件的序号).
解析:∵logb=-1,若1<a<b,则<<1<b,
∴loga<loga=-1,故条件①不可以;
若0<a<b<1,则b<1<<.
∴logab>loga>loga=-1=logb,故条件②可以;
若0<a<1<b,则0<<1,∴loga>0,logab<0,条件③不可以.
故应填②.
答案:②
8.给出下列命题:
①若a②若ac-3>bc-3,则a>b;
③若a>b且k∈N*,则ak>bk;
④若c>a>b>0,则>.
其中正确命题的序号是________.
解析:①当ab<0时,<不成立,故①不正确;
②当c<0时,a③当a=1,b=-2,k=2时,命题不成立,故③不正确;
④a>b>0?-a<-b<0?0两边同乘以,得0<<,
又a>b>0,∴>>,故④正确.
答案:④
三、解答题
9.已知-≤α<β≤,求,的范围.
解:∵-≤α<β≤,∴-≤<,-<≤.
因而两式相加得-<<.
又∵-<≤,∴-≤-<.
∴-≤<.
又∵α<β,∴<0.∴-≤<0.
即∈,∈.
10.已知函数f(x)=x2+a(x∈R).
(1)对任意的x1,x2∈R,比较[f(x1)+f(x2)]与f的大小;
(2)若-1≤a≤0,-1≤x≤1,求证:-1≤f(x)≤1.
解:(1)对任意的x1,x2∈R,有
[f(x1)+f(x2)]-f
=-2-a
==(x1-x2)2≥0,
所以[f(x1)+f(x2)]≥f.
(2)证明:由于f(x)=x2+a,-1≤x≤1,-1≤a≤0,
所以当x=0时,f(x)min=a≥-1;
当x=±1时,f(x)max=1+a≤1.
综上可知,-1≤f(x)≤1.
11.已知f(x)=ax2+c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.
解:由-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5得:
设u=a+c,v=4a+c,则有a=,c=,
∴f(3)=9a+c=-u+v.
又
∴
∴-1≤-u+v≤20,
即-1≤f(3)≤20.
∴f(3)的取值范围为[-1,20].